Ableitung der e-Funktion

Kapitel aktualisiert am 23.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Ableitungen, hier speziell die Ableitung der e-Funktion als Teil der Differentialrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir die Ableitung der e-Funktion, die Anwendung der Kettenregel mit Beispielen, Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Das Ableiten mit den Ableitungsregeln hast du höchstwahrscheinlich schon kennengelernt. Nun lernst du die Ableitung spezieller Funktionen kennen, die nicht allein mit den Ableitungsregeln abgeleitet werden können. Eine dieser Funktionen ist die e-Funktion.

Was ist eine e-Funktion?

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form \( f(x) = a^x \) mit einer beliebigen Zahl \(a ( a>0, a\neq 1) \). Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, liegt dann vor, wenn a nicht irgendeine Zahl ist, sondern die sogenannte Eulersche Zahl \(  e = 2,718… \), also \(  f(x) = e^x  \) ist. Man schreibt auch: \( f(x) = exp(x) \).

Graph der Exponentialfunktion

Graph einer e-Funktion

Die Exponentialfunktion spielt eine sehr wichtige Rolle in den Naturwissenschaften, da viele Wachstumsprozesse in der Natur durch das exponentielle Wachstum beschrieben werden können. Aus dem Grund ist es sehr nützlich, die e-Funktion und ihre Ableitung, also die Steigung der e-Funktion, zu kennen.

Ableitung der e-Funktion

Ableitung
\( f(x) = e^x  \rightarrow f‘(x) = e^x \)

Genau. So einfach! \( e^x \) bleibt \( e^x \) beim Ableiten. Keine Panik, sobald du eine Funktion mit e hoch x ableiten musst, ganz im Gegenteil: das ist einfacher als alle anderen Ableitungen.

Falls im Exponenten nicht nur x steht, sondern eine Funktion, dann musst du die Kettenregel anwenden.

Zur Erinnerung die Kettenregel: \( f(x) = u(v(x)) \rightarrow f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x)) \)

Die innere Funktion v(x) ist immer der Exponent und u(x) ist die äußere Funktion. Wichtig ist hierbei, dass in der Ableitung des Exponenten, also v'(x) kein x enthalten ist. Genau das ist auch bei \(e^x\) der Fall: Der Exponent ist x und die Ableitung ist 1.

Vorgehensweise

1. Schritt: u(x) und v(x) aufschreiben.

2.Schritt: u(x) und v(x) ableiten, du erhältst u'(x) und  v'(x).

3.Schritt: Durch entsprechendes Einsetzen bildest du die Ableitung \( f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x)) \) von f(x).

Hier ein paar Beispiele dazu:

Beispiele

1. Beispiel:
\( f(x) = e^{2x+1} \\\)

1. Schritt: u(x) und v(x) aufschreiben: \( u(x) = e^x \) und \( v(x) = 2x+1 \)

2.Schritt: u(x) und v(x) ableiten: \( u'(x) = e^x \) und \( g'(x) = 2 \).

3.Schritt: Einsetzen: \( f‘(x) = v'(x) \cdot u'(v(x)) =  2 \cdot e^{2x+1} \)

Und fertig ist die Ableitung!

2. Beispiel:
\( f(x) = 5 \cdot e^{3x-1} \\ \)

1. Schritt: u(x) und v(x) aufschreiben: \( u(x) = 5e^x \) und \( v(x) = 3x-1 \)

2.Schritt: u(x) und v(x) ableiten: \( u'(x) = 5e^x \) und \( v'(x) = 3 \).

3.Schritt: Einsetzen: \( f‘(x) = v'(x) \cdot u'(v(x)) =  3 \cdot 5 \cdot e^{3x-1} = 15 \cdot e^{3x-1} \) 

3. Beispiel:
\( f(x) = e^{-x} \cdot e^{2x+2} \\ \)

Hier musst du die Produktregel anwenden, da f(x) ein Produkt zweier e-Funktionen ist. Dazu bestimmst du die Ableitung beider e-Funktionen.

In beiden Funktionen ist die äußere Funktion \( u(x) = e^x = u'(x) \). Deshalb kannst du dir diesen Schritt im nächsten Vorgehen sparen.

1. Schritt: Die Exponenten v_1(x) und v_2(x) der beiden e-Funktionen aufschreiben: \( v_1(x) = -x \) und \( v_2(x) = 2x+2 \).

2.Schritt: v_1(x) und v_2(x) ableiten: \( v_1′(x) = -1 \) und \( v_2′(x) = 2 \).

3.Schritt: Einsetzen in die Kettenregel:

Ableitung der ersten e-Funktion: \( -e^{-x} \)

Ableitung der zweiten e-Funktion: \( 2\cdot e^{2x+2} \)

4.Schritt: Einsetzen in die Produktregel: \( f‘(x) = -1 \cdot e^{-x} \cdot e^{2x+2} +  e^{-x} \cdot 2 \cdot e^{2x+2}  \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Ableitung der e-Funktion mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
Leite die folgenden Funktionen ab:

  1. \( f(x) = e^{2x} \)
  2. \( f(x) = e^{-3x} \)
  3. \( f(x) = e^{5x-7} \)
  4. \( f(x) = e^{2x+3} \)
  5. \( f(x) = e^{-x} + e^x \)
  6. \( f(x) = e^{3\cdot (10x+1)} \)
  7. \( f(x) = (e^x – 1)^2 \) Tipp: Verwende die Kettenregel
  8. \( f(x) = 2\cdot (e^{0,5x} +5)^3 \) Tipp: Verwende die Kettenregel
  9. \( f(x) = e^{2x} \cdot e^{x+1} \) Tipp: Verwende die Produktregel
  10. \( f(x) = e^{-x} \cdot e^{2x-1} \) Tipp: Verwende die Produktregel
Lösungen
  1. \( f‘(x) = 2e^x \)
  2. \( f‘(x) = -3e^{-3x} \)
  3. \( f‘(x) = 5e^{5x-7} \)
  4. \( f‘(x) = 2e^{2x+3} \)
  5. \( f‘(x) = -e^{-x} + e^x \)
  6. \( f‘(x) = 30 \cdot e^{3\cdot (10x+1)} \)
  7. \( f‘(x) = 2e^x \cdot e^{x – 1} \)
  8. \( f‘(x) = 3e^x \cdot (e^{0,5x} +5)^2 \)
  9. \( f‘(x) = 2e^{2x} \cdot e^{x+1} + e^{2x} \cdot e^{x+1} \)
  10. \( f‘(x) = -e^{-x} \cdot e^{2x-1}  + e^{-x} \cdot 2e^{2x-1}    \)  
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