Ableitung von ln (Logarithmus)

Kapitel aktualisiert am 14.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Ableitungen, hier speziell die Ableitung von ln (Logarithmus), als Teil der Differentialrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir die Ableitung von ln, die Anwendung der Kettenregel mit Beispielen, Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Mit den Ableitungsregeln, die du kennengelernt hast, kannst du schon die meisten Funktionen ableiten. Es gibt auch spezielle Funktionen, die du allein mit den Ableitungsregeln nicht ableiten kannst. Eine solche Funktion ist die Logarithmus-Funktion (auch „ln-Funktion“ genannt).

Ableitung einer ln-Funktion

Die Ableitung von \( ln(x) \) ist \( \frac{1}{x} \). Das solltest du dir merken!

Falls in der Klammer nicht nur x steht, sondern eine Funktion, dessen Ableitung ebenfalls unabhängig von x ist (d.h. in der Ableitung kommt kein x vor), musst du die Kettenregel anwenden.

Dabei ist der ganze Ausdruck in der ln-Klammer die innere Funktion \( v(x) \) und die äußere Funktion \( u(x) \) ist \( ln(x)\).

(Wenn die Ableitung der inneren Funktion also v'(x) von x abhängig sein sollte, darfst du die Kettenregel nicht anwenden. Wie eine solche Funktion dann abgleitet wird, musst du aber nicht wissen, da es zu anspruchsvoll für Schulmathematik ist und in der Regel nicht gefordert wird.)

Zur Erinnerung nochmal die Kettenregel: 

\( f(x) = u(v(x)) \rightarrow f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x)) \)

Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an:

Beispiele

1. Beispiel:
 \( f(x) = ln(2x) \\ \)

Hier ist die innere Funktion \( v(x) = 2x \rightarrow v‘(x) = 2 \)

Und die äußere Funktion \( u(x) = ln(x) \rightarrow u‘(x) = \frac{1}{x} \)

Also: \(  f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x)) \\ = 2 \cdot \frac {1}{2x} \\ = \frac{1}{x} \)

2. Beispiel:
\( f(x) = ln(3x-1)^2 \\ \)

Hier ist die innere Funktion \( v(x) = 3x-1 \rightarrow v‘(x) = 3 \)

Und die äußere Funktion \( u(x) = ln(x)^2 = ln(x) \cdot ln(x) \rightarrow u‘(x) = \frac{1}{x} \cdot ln(x) + ln(x) \cdot \frac{1}{x} = 2 \cdot \frac{ln(x)}{x} \)

Hier verwendest du die Produktregel, da du \( ln(x)^2 \) auch als \( ln(x) \cdot ln(x) \) schreiben kannst und somit ein Produkt zweier Funktionen vorliegt. (siehe Ableitungsregeln)

Also: \(  f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x)) \\ = 3 \cdot 2 \cdot \frac {ln(3x-1)}{3x-1} \\ = 6 \cdot \frac {ln(3x-1)}{3x-1}\)

3. Beispiel:
\( f(x) = 3 \cdot ln(2x+1) \\ \)

Hier ist die innere Funktion \( v(x) = 2x+1 \rightarrow v‘(x) = 2 \)

Und die äußere Funktion \( u(x) = 3\cdot ln(x) \rightarrow u‘(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \)

Hier verwendest du die Faktorregel, indem du ln(x) ableitest und den Faktor, also die 3, auch in der Ableitung als Faktor beibehältst. (siehe Ableitungsregeln)

Also: \(  f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x)) \\ = 2 \cdot \frac {3}{2x+1} \\ = \frac {6}{2x+1}\)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Ableitung von Logarithmusfunktionen mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
Leite die folgenden Funktionen ab:

  1. \( f(x) = ln(x) \)
  2. \( f(x) = 2 \cdot ln(x) \)
  3. \( f(x) = ln (5x-3) \)
  4. \( f(x) = 0,5 \cdot ln(2x) \)
  5. \( f(x) = 0,5 \cdot ln(2x+1) \)
  6. \( f(x) = ln(4x-3) +4x \)
  7. \( f(x) = 3*ln(x-1) – x^2 \)
  8. \( f(x) = x \cdot ln(x) \)
  9. \( f(x) = 2x^3 \cdot ln(x) \)
  10. \( f(x) = ln(x)^2 \)
Lösungen
  1. \( f‘(x) = \frac{1}{x} \)
  2. \( f‘(x) = \frac{2}{x} \)
  3. \( f‘(x) = \frac{5}{5x-3} \)
  4. \( f‘(x) = \frac{1}{2x} \)
  5. \( f‘(x) = \frac{1}{2x+1} \)
  6. \( f‘(x) = \frac{4}{4x-3} + 4 \)
  7. \( f‘(x) = \frac{3}{x-1} -2x \)
  8. \( f‘(x) = ln(x) + 1 \)
  9. \( f‘(x) = 6x^2 \cdot ln(x) + 2x^2 \)
  10. \( f‘(x) = \frac{2ln(x)}{x} \)
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