Ableitung von Sinus

Kapitel aktualisiert am 12.01.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Ableitung von Sinus als Teil der Differentialrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir die allgemeine Formel, welche Regeln es für das Ableiten der Sinusfunktion gibt, die Herleitung der Ableitungsregel sowie veranschaulichende Beispiele und Aufgaben mit Lösungen.

Einleitung

Gewöhnliche Funktionen lassen sich in der Regel mit Hilfe der Ableitungsregeln, die du wahrscheinlich schon kennengelernt hast, ableiten.

Manchmal musst du aber Funktionen ableiten, bei denen sich diese Regeln auf den ersten Blick nicht anwenden lassen. Eine dieser Funktionen ist die Sinus-Funktion, die eine der wichtigsten elementaren Funktionen darstellt, die es in der Mathematik gibt.

Das hängt mit ihrer Rolle in der Berechnung von Dreiecken und Winkeln, aber auch mit ihrer Bedeutung in der Analysis zusammen.

Auch in der Physik hat sie zahlreiche Anwendungen, da sich mit der Sinusfunktion Schwingungen beschreiben lassen, die in der Welt sehr häufig auftreten (zum Beispiel in Schallwellen und Radiowellen).

Ableitung der Sinusfunktion

Die Formel für die Ableitung des Sinus ist zunächst einmal ganz einfach:

Formel
  \( \sin (x)‘ = \cos(x)  \)

Der nachfolgende Graph veranschaulicht, warum das so ist.

Sinus-Cosinus-Funktion

Die Sinus-und die Cosinusfunktion. Die Cosinusfunktion ist immer genau so groß wie die Steigung der Sinusfunktion. (Bildquelle: Sine cosine one period von Geek3 unter CC BY 3.0)

Wenn du dir in Erinnerung rufst, dass durch eine Ableitung der Steigungsverlauf einer Funktion ausgedrückt wird, kannst du einsehen, dass die Cosinusfunktion immer genau der Steigung der Sinusfunktion entspricht.

Anfangs steigt der Sinus am stärksten an, während der Cosinus bei 1 ist, und steigt dann immer schwächer an, während der Wert des Cosinus kleiner wird.

Bei Pi/2 ist das Maximum des Sinus erreicht. Der Cosinus und damit die Steigung ist entsprechend bei null.

Allgemeine Formel

Diese Formel lässt sich auf allgemeine Sinusfunktionen übertragen, das heißt Funktionen, bei denen die Sinusfunktion gestreckt, gestaucht oder verschoben oder aber ihre Periode verändert wurde.

Die allgemeine Form der Sinusfunktion wird abgeleitet durch:

Allgemeine Formel
  \( \frac{d}{dx}(A\sin (kx+\phi)+D) = A k\cos (kx+\phi)  \)

Den Vorfaktor k vor dem Cosinus-Term erhältst du direkt aus der Kettenregel, das heißt aus der inneren Ableitung der Funktion \( f(x)=kx  \rightarrow  f'(x)=k \), der einfach an das Ergebnis heranmultipliziert wird.

Das ist schon alles, was du brauchst, um alle dir begegnenden Sinus-Terme abzuleiten!

Beispiel

Probieren wir die Formel an einem Anwendungsbeispiel aus:

\( f(x)=3\sin (2x+\pi)+3) \\
\rightarrow \frac{d}{dx}(3\sin (2x+\pi)+3) = 6\cos (2x+\pi) \\ = \; – 6\cos (2x)  \).

Im letzten Schritt haben wir noch verwendet, dass für den Cosinus gilt \(  \cos(x+\pi)= -\cos(x) \).

Für Fortgeschrittene: Herleitung der Ableitungsregel

Falls dich interessiert, wie sich die Ableitungsregel des Sinus aus den üblichen Ableitungsregeln herleiten lässt, bist du hier richtig.

Dieses Wissen ist nicht notwendig, um die Regel anzuwenden, kann aber dein Verständnis der mathematischen Zusammenhänge weiter vertiefen. Sonst kannst du aber problemlos direkt zu den Aufgaben springen.

Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen (Cosinus-und Sinusfunktionen) und auch die Exponentialfunktion lassen sich über die Summe unendlich vieler Potenzfunktionen schreiben.

Diese Summen werden in der Mathematik als Reihen bezeichnet. Man spricht dementsprechend von der Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen.

Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen
  \( \sin (x) =\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+… \\ \cos (x) = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+… \)

Je mehr dieser Funktionen du addierst, desto näher gelangst du an eine echte Sinus-/Cosinusfunktion heran. Da es in der Mathematik möglich ist, unendlich viele Terme zu addieren, spricht man davon, dass in der Unendlichkeit die Reihendarstellung gegen die trigonometrischen Funktionen konvergiert.

Dieser faszinierende Zusammenhang hat viele praktische Anwendungen. Zum Beispiel werden in der Physik oft Sinusfunktionen für kleine Winkel genähert, weil sie dann durch \(sin(x)=x \) beschrieben werden können, was Rechnungen stark vereinfachen kann.

Außerdem ermöglicht dir dieser Zusammenhang nun ein tieferes Verständnis der Ableitungsregel.

Die Reihendarstellung erlaubt dir das Ableiten der einzelnen Terme. Dies folgt den üblichen Ableitungsregeln (zum Beispiel ist für \( f(x)= x^3  \rightarrow f(x)’= 3 x^2 \)).

Die Ableitung der Reihendarstellung des Sinus gibt dir dann genau die Reihendarstellung des Cosinus: \( \sin (x)‘ = 1- \frac{ x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+…= \cos (x)  \)

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Ableitung von Sinus mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Leite die folgenden Sinusfunktionen ab:

\( 1. \; \sin(2x) \\ 2.\; 3\sin(x) \\ 3.\; \sin(x+3)\\  4.\; 200\sin(5x) \\ 5. \; 200\sin(x+5) \\ 6.\;  -5\sin(x-5) \\ 7. \; 2.5\sin(2.5x+2.5) \\ 8. \; \sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x) \\ 9. \; 3\sin(2x)+5 \sin(x+2 \pi) \\ 10. \;   \sin(2x)-2\sin(2x)   \)
Lösungen
\( 1. \; 2\cos(2x) \\ 2.\; 3\cos(x) \\ 3.\; \cos(x+3)\\  4.\; 1000\cos(5x) \\ 5. \; 200\cos(x+5) \\ 6.\;  -5\cos(x-5) \\
7. \; 5\cos(2x+2.5) \\ 8. \; \cos(x)+2\cos(2x)+3\cos(3x) \\ 9. \; 6\cos (2x)+5 \cos(x) \\ 10. \;   -2\cos(2x)  \)
Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

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