Ableitungsrechner

Ableitungen spielen bei vielen praktischen Problemen eine wichtige Rolle. Historisch geht die Berechnung von Ableitungen daher auch auf sehr anschauliche Probleme zurück. Gottfried Wilhelm Leibniz interessierte sich für die Berechnung der Tangenten einer Funktion. Ungefähr zeitgleich dachte Isaac Newton darüber nach, wie der Begriff der „momentanen Geschwindigkeit“ präzise definiert werden kann.

Heute wissen wir, dass beide eigentlich dasselbe Problem vor Augen hatten, denn die momentane Geschwindigkeit ist nichts anderes als die Steigung der Tangente der Kurve \(x(t)\), wobei \(x\) den Ort und \(t\) die Zeit bezeichnet. Aber damals lagen diese Zusammenhänge, die heute im Matheunterricht so einfach und selbstverständlich erscheinen, selbst für die klügsten Köpfe der Welt noch teilweise im Dunkeln.

Definition einer Ableitung

Die durchschnittliche Steigung einer Funktion (wir gehen hier von stetigen Funktionen aus, also von Funktionen, die keine Sprünge aufweisen) zwischen den Punkten \(a\) und \(b\) ist offensichtlich gegeben durch \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Die Steigung am Punkt \(a\) erhält man, indem man die rechte Intervallgrenze \(b\) immer näher an \(a\) heran schiebt. Dafür schreiben wir \(b\) in der Form \(b = a +∆x\). Die Steigung im Punkt a ist dann gegeben durch \(f\acute{}(a)=\lim _{{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{f(a+{\Delta}x)-f(a)}{(a+{\Delta}x)-a}=\lim _{{\Delta}x\rightarrow
0}\frac{f(a+{\Delta}x)-f(a)}{{\Delta}x}\).

Dabei bezeichnet \(f´\) die Ableitung von \(f\). Weil dies für jedes \(a\) gilt, können wir also die Ableitungsfunktion \(f´(x)\) definieren als

Ein einfaches Beispiel

Die Funktion \(f(x)=x^2\)  eignet sich sehr gut, um die Berechnung dieses Grenzwerts zu demonstrieren. Es gilt \(f\acute{}(x)=\lim _{{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{(x+{\Delta}x)^2-x^2}{{\Delta}x}=\lim _{{\Delta}x\rightarrow
0}\frac{x^2+2x{\Delta}x+{\Delta}x^2-x^2}{\mathit{dx}}=2x\).

Für andere Funktionen ist das manuelle Berechnen der Ableitung nicht immer ganz so einfach. Sicher weißt Du zum Beispiel, dass die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion ergibt. Schauen wir uns das an und berechnen die Ableitung \(f\acute{}(x)=\lim _{{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{e^{(x+{\Delta}x)}-e^x}{{\Delta}x}=\lim _{{\Delta}x\rightarrow
0}\frac{e^x\cdot e^{{\Delta}x}-e^x}{{\Delta}x}=e^x\lim _{{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{e^{{\Delta}x}-1}{{\Delta}x}\).

Und jetzt muss Du wissen, dass \(\lim _{{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{e^{{\Delta}x}-1}{{\Delta}x}=1\) gilt. Es ist übrigens die Definition (genauer: eine der möglichen Definitionen) der Zahl \(e\), dass dieser Grenzwert 1 ergibt. Das gilt für keine andere Zahl!

Damit ist klar, dass für die e-Funktion gilt: \(f´(x) = f(x)\).

Auch bei der Berechnung anderer Ableitungen musst Du ein wenig mehr wissen. So kommst Du beispielsweise bei der Berechnung der Ableitung von \(f(x) = sin(x)\) nicht ohne das Additionstheorem \(sin(x+∆x) = sin(x) cos(∆x) + sin(∆x) cos(x)\) aus. Damit sollte es dann aber klappen – viel Erfolg!

Warum sind Ableitungen so wichtig?

Ableitungen tauchen in der Schule meist im Zusammenhang mit Kurvendiskussionen beziehungsweise Extremwertaufgaben auf. Der Zusammenhang zwischen Ableitungen und Extremwerten ist offensichtlich: An einem Extremwert ist die Tangente einer Funktion waagerecht, ihre Steigung also Null. Extremwertaufgaben sind also also nichts anderes als Suche nach Nullstellen der Ableitung. (Beachte, dass nicht jede Nullstelle ein Extremwert sein muss! Aber Kurvendiskussionen sind nicht unser Thema.)

Man muss schon ehrlich zugeben, dass das alles nicht sehr relevant für den Alltag erscheint. Die Versuche, irgendeinen Praxisbezug herzustellen, wirken schon ein wenig konstruiert. Und weil es so wenige einfache und anschauliche Beispiele gibt, werden überall dieselben verwendet. Zum Beispiel die Aufgabe, mit einem Seil der Länge l ein möglichst großes Rechteck einzuschließen. Die Lösung funktioniert so:

Die Fläche eines Rechtecks der Kantenlängen \(a\) und \(b\) ist gegeben durch \(F=ab\). Der Umfang ist gegeben durch \(U=2a + 2b\). Die in der Aufgabenstellung vorgegebene Randbedingung lautet, dass der Umfang durch die Länge \(l\) des Seils gegeben ist. Damit können wir eine Variable eliminieren, weil \(b=\frac{l-2a} 2\).

Damit wird die Fläche des Rechtecks zu \(A=a\cdot \frac{l-2a} 2=\frac{\mathit{al}} 2-a^2\).

Die Ableitung nach \(a\) ergibt \(A’=\frac l 2-2a\).

Die Nullstelle liegt offenbar bei \(a=\frac l 4\).

Das größte Rechteck ist also das Quadrat, dessen Seitenlänge natürlich ein Viertel der Seillänge beträgt. (Dass es sich wirklich um ein Maximum handelt, erkennst Du daran, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle kleiner als null ist.)

Wirklich wichtig sind Ableitungen aber in allen Wissenschaften, in denen reale Vorgänge modelliert oder exakt beschrieben werden. Besonders offensichtlich ist das in den Ingenieurwissenschaften und der Physik, weil zum Beispiel die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit ist und die Beschleunigung die zweite Ableitung. Oft ist auch die zeitliche Änderung (=Ableitung) einer Größe unter anderem von ihrem aktuellen Wert abhängig. So ist beispielsweise bei Verläufen von Epidemien anfangs die Zahl der Neuinfektionen proportional zur Zahl der bereits infizierten Personen.

Ableitungen erlauben es also, Gleichungen aufzustellen, die verschiedene Größen in Beziehung zueinander setzen. Man braucht sie überall, wo dynamische Systeme beschrieben werden – zum Beispiel in der Ökonomie, in den quantitativen Sozialwissenschaften, in der Demoskopie oder in der Ökologie. Leider sind all diese Modelle ein wenig zu kompliziert für den Einstieg, weswegen anfangs der fatale Eindruck entstehen kann, dass Ableitungen nur zur Lösung ziemlich realitätsferner Lehrbuchaufgaben zu gebrauchen sind.

Einige Ableitungen wichtiger Funktionen

Keine Sorge, niemand berechnet Ableitungen in der Praxis, indem er wie oben beschrieben den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt. Dafür gibt es Tabellen und Ableitungsrechner. Aber ein paar wichtige Ableitungen solltest Du schon auswendig kennen:

Funktion Ableitung
\(f(x)=x^n\) \(f\acute{}(x)=nx^{n-1}\)
\(f(x)=e^x\) \(f\acute{}(x)=e^x\)
\(f(x)=\sin (x)\) \(f\acute{}(x)=\cos (x)\)
\(f(x)=\cos (x\) \(f\acute{}(x)=-\sin (x)\)
\(f(x)=\ln (x)\) \(f\acute{}(x)=\frac 1 x\)

Elementare Rechenregeln

Zunächst ist offensichtlich, dass konstante Faktoren vor die Ableitung gezogen werden können. Wenn \(c\) eine Konstante ist, gilt als \((\mathit{cf}(x))\acute{}=cf\acute{}(x)\).

Außerdem ist die Summer zweier Ableitungen gleich der Ableitung der Summe, also \((f(x)+g(x))\acute{}=f\acute{}(x)+g\acute{}(x)\).

Die Produktregel

Für Ableitung des Produkts zweier Funktionen gilt die Produktregel \((f(x)g(x))’=f\acute{}(x)g(x)+f(x)g\acute{}(x)\). Betrachte beispielsweise die Funktion \(h(x)=x^2\sin (x)\).

Wir wählen \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=\sin (x)\), daraus ergibt sich \(f\acute{}(x)=2x\) und \(g\acute{}(x)=\cos (x)\).

Damit ergibt sich \(h\acute{}(x)=2x\sin (x)+x^2\cos (x)\).

Die Quotientenregel

Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen wird nach der Quotientenregel berechnet: Wenn \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\), dann ist die Ableitung gegeben durch \(h\acute{}(x)=\frac{f\acute{}(x)g(x)-f(x)g\acute{}(x)}{(g(x))^2}\).

Wieder betrachten wir ein einfaches Beispiel, nämlich die Funktionen \(h(x)=\frac{e^x}{x^2}\).

Hier ist \(f(x)=e^x\) und \(g(x)=x^2\). Damit haben wir \(f\acute{}(x)=e^x\) und \(g\acute{}(x)=2x\).

Wir setzen in die Formel der Quotientenregel ein und erhalten \(h\acute{}(x)=\frac{e^xx^2-e^x2x}{x^4}=\frac{e^x(x-2)}{x^3}\).

Die Kettenregel

Die Kettenregel erlaubt das Ableiten von verketteten Funktionen. So werden Funktionen bezeichnet, die als Argument selbst wieder eine Funktion haben, also Funktionen der Form \(h(x)=f(g(x))\).

Deren Ableitung wird nach der Kettenregel berechnet: \((f(g(x)))\acute{}=f'(g(x))\cdot g'(x)\).

Die so genannte „äußere Ableitung“ wird also mit der „inneren Ableitung“ multipliziert.

Auch dazu ein Beispiel: Wir betrachten die Funktion \(h(x)=\sin (x^3)\).

Hier lautet \(g(x)=x^3\) und \(f(g)=\sin (g)\). Damit wird \(f\acute{}(g)=\cos (g)\) und \(g\acute{}(x)=3x^2\).

Setzen wir in Gleichung der Kettenregel ein, so erhalten wir \(h\acute{}(x)=3x^2\cos (x^3)\).


Zu viele Formeln? Das Ganze gibt es auch noch als Video anhand eines praxisnahen Beispiels erklärt: