Ableitungsregeln

Kapitel aktualisiert am 07.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Ableitungsregeln als Teil der Differentialrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir die grundlegenden Ableitungsregeln wie Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel mit Beispielen, Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Grundlegendes zu Ableitungen

Die Steigung von Funktionen an einem Punkt habt ihr bisher mit dem Differenzquotienten ermittelt. Wie du selbst auch schon mitbekommen hast, war das immer ein sehr langer und aufwendiger Rechenweg, nur um die Steigung einer Funktion an einem einzigen Punkt zu berechnen.

Mit der sogenannten Ableitung kannst du die Steigung gleich allgemein für die ganze Funktion berechnen und das in nur ganz wenigen Schritten! Dazu gibt es einige Regeln, die du beachten musst und genau das zeigen wir dir in diesem Abschnitt.

Definition von Ableitungen

Beispiel:
Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt, wobei der Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat.

Notation:

Die erste Ableitung von \( f(x) \) ist \( f‘(x) \). Die 1. Ableitung kannst du mit denselben Regeln wieder ableiten, dann erhältst du die 2.Ableitung \( f‘‘(x) \) und wenn du das wieder ableitest, die 3. Ableitung \( f‘‘‘(x) \) usw.

Ableitungsregeln

Je nachdem, was für eine Funktion du vorliegen hast, verwendest du verschiedene Regeln beim Ableiten. Das heißt, es macht beim Ableiten einen Unterschied, ob du \( 2 + x \) oder \( 2 \cdot x \) ableitest. Schauen wir uns die Regeln an:

Potenzregel

Die Potenzregel wendest du an, wenn du eine Potenz der Form \( x^n \) gegeben hast. Die Potenzregel lautet:

\( f(x) = x^n \\ f‘(x) = n \cdot x^{n-1} \\\)

Das heißt, du musst den Exponenten n als Faktor mit der Potenz multiplizieren und den Exponenten um 1 verringern.

Faktorregel

Die Faktorregel wendest du an, wenn du vor der Potenz noch einen Faktor stehen hast, also die Potenz mit einer Zahl multiplizierst. Wenn die Funktion also \( k \cdot x^n \) lautet, wobei k jetzt als allgemeiner Platzhalter für einen beliebigen Faktor stehen soll, wendest du die Faktorregel an:

\( f(x) = k \cdot x^n \\ f‘(x) = k \cdot n \cdot x^{n-1} \\\)

Das heißt, du lässt den Faktor k einfach vorne stehen und multiplizierst ihn gegebenenfalls mit dem Faktor n, der wegen der Potenzregel ja auch als Faktor vorne „dazugekommen“ ist.

Summenregel

Die Summenregel wendest du an, wenn in der Funktion, die du ableiten möchtest, eine Summe vorkommt. u(x) und v(x) stehen hierbei allgemein für die beiden Summanden. Die Summenregel sieht folgendermaßen aus:

\( f(x) = u(x) + v(x) \\ f‘(x) = u‘(x) + v‘(x) \\\)

Das heißt, du leitest die beiden Summanden einzeln ab und addierst sie wieder.

Produktregel

Die Produktregel wendest du an, wenn du eine Multiplikation von Termen ableiten musst. Achtung: nicht zu verwechseln mit der Faktorregel! Bei der Faktorregel wird eine Zahl k mit einem Term multipliziert. Hier werden zwei Terme, die beide von einer Variable (meist x) abhängig sind, multipliziert. Also wendest du bei einem Ausdruck der Form \( u(x) \cdot v(x) \) die Produktregel an:

\( f(x) = u(x) \cdot v(x) \\ f‘(x) = u‘(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v‘(x) \\\)

Das heißt, du leitest u(x) und v(x) ab und multiplizierst einmal die Ableitung von u mit v und einmal u mit der Ableitung von v. Diese beiden Multiplikationen addierst du dann.

Quotientenregel

Die Quotientenregel wendest du an, wenn du die Funktion ein Quotient zweier Terme ist, also die Form \( \frac{u(x)}{v(x)} \) hat. Die Quotientenregel lautet dann:

\( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}  \\ f‘(x) = \frac{u‘(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v‘(x)}{v^2(x)} \\\)

Ähnlich wie bei der Produktregel werden die beiden Multiplikationen diesmal nicht addiert, sondern subtrahiert und zudem durch das Quadrat von v(x) geteilt.

Kettenregel

Das Symbol für die Verkettung ist der Kreisoperator \( \circ \).

Die Kettenregel wendest du an, wenn du eine Verkettung von Termen in der Form \( u(v(x)) \) vorliegen hast. Die Teilfunktion u(x) heißt äußere Funktion und v(x) heißt innere Funktion. Die Kettenregel lautet:

\(  f(x) = u \circ v = u(v(x)) \\ f‘(x) = u‘(v(x)) \cdot v‘(x) \\\)

Das heißt, die Ableitung von u(x) wird mit v(x) verkettet und das ganze anschließend mit der Ableitung von v(x) multipliziert.

Beispiele

1. Beispiel:
Potenzregel/Faktorregel

\( f(x) = x^3 \\\)

Das leitest du mit der Potenzregel ab: \( f‘(x) = 3x^{3-1} = 3x^2\)

Wenn ein Faktor davorsteht, wie zum Beispiel \( f(x) = 4 \cdot x^2 \), dann wendest du die Faktorregel an: \( f‘(x) = 4 \cdot 2 \cdot x^1 = 8x \)

2. Beispiel:
Summenregel

\( f(x) = 2x^3 + 4x \\\)

Bei dieser Ableitung musst du die Summenregel anwenden, wobei \( u(x) = 2x^3  \rightarrow u‘(x) = 6x^2 \) und \( v(x) = 4x \rightarrow v‘(x) = 4\)

Also lautet die Ableitung: \( f(x) = 6x^2 + 4 \)

3. Beispiel:
Produktregel

\( f(x) = 2x^3 \cdot  4x \\\)

Die beiden Terme werden diesmal multipliziert, also wendest du hier die Produktregel an: \( u(x) = 2x^3  \rightarrow u‘(x) = 6x^2 \) und \( v(x) = 4x \rightarrow v‘(x) = 4\)

Die Ableitung lautet: \( f(x) = 6x^2 \cdot 4x + 2x^3 \cdot 4  = 24x^3 + 8x^3 = 32x^3 \)

4. Beispiel:
Quotientenregel

\( f(x) = \frac{ 2x^3}{4x} \\\)

Und hier wendest du die Quotientenregel an, weil \( u(x) = 2x^3 \) durch \( v(x) = 4x \) geteilt wird: \( u(x) = 2x^3  \rightarrow u‘(x) = 6x^2 \) und \( v(x) = 4x \rightarrow v‘(x) = 4\)

Die Ableitung lautet dann also: \( f(x) = \frac {6x^2 \cdot 4x – 2x^3 \cdot 4}{(4x)^2} \\ = \frac {24x^3 – 8x^3 }{16x^2} \\ = \frac{24x – 8x }{16} = \frac{16x}{16}  = x   \)

5. Beispiel:
Kettenregel

Im Beispiel zur Kettenregel gehen wir wieder von denselben Teilfunktionen u und v aus: \( u(x) = 2x^3  \rightarrow u‘(x) = 6x^2 \) und \( v(x) = 4x \rightarrow v‘(x) = 4 \)

Diesmal addieren, multiplizieren oder dividieren wir sie nicht, sondern verketten sie. Die Funktionen u(x) und v(x) sind verkettet, wenn überall, wo in der Funktion von u(x) ein x steht, die ganze Funktion v(x) eingesetzt wird; deshalb ist es auch u(v(x)).

Also: \( f(x) = u(x) \circ v(x) = u(v(x)) = 2 \cdot (4x)^3 \)

Diese Funktion leitest du nun mit der Kettenformel ab. Das ergibt: \( f‘(x) = u‘(v(x)) \cdot v‘(x) = 6\cdot (4x)^2 \cdot 4 = 6\cdot 16x^2 \cdot 4 = 384x^2 \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Ableitungen mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

  1. \( f(x) = 2x \)

  2. \( f(x) = 3x^4 \)

  3. \( f(x) = 3x + 2x^5 \)

  4. \( f(x) = 2x^2 + x \)

  5. \( f(x) = (4x+2) \cdot 3x^3 \)

  6. \( f(x) = x^2 \cdot (5x-1) \)

  7. \( f(x) = \frac{2x+1}{10x^2} \)

  8. \( f(x) = \frac{3x-2}{x^3} \)

  9. \( f(x) = 2\cdot(5x+2)^2 \)

  10. \( f(x) = 3\cdot(x-1)^3 \)  
Lösungen
  1. \( f‘(x) = 2 \)

  2. \( f‘(x) = 12x \)

  3. \( f‘(x) = 3 + 10x^4 \)

  4. \( f‘(x) = 4x +1 \)

  5. \( f‘(x) = 48x^3 +18x^2  \)

  6. \( f‘(x) =  15x^2 – 2x \)

  7. \( f‘(x) =  \frac{-x-1}{5x^4}  \)

  8. \( f‘(x) = \frac{-6x+6}{x^4}  \)

  9. \( f‘(x) = 100x+40 \)

  10. \( f‘(x) = 9 \cdot (x-1)^2 \)
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