Betrag eines Vektors

Kapitel aktualisiert am 03.10.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Betrag eines Vektors als Teil der Vektorrechnung im Bereich der Geometrie. Wir erklären dir, was Vektoren sind, wie du die Länge eines ebenen und eines räumlichen Vektors bestimmen kannst und geben dir veranschaulichende Beispiele und Aufgaben mit Lösungen.

Grundlegendes zu Vektoren

Vektoren sind in der Mathematik Objekte, die in einem sogenannten Vektorraum leben. Dieser ist dadurch definiert, dass man seine Elemente miteinander addieren oder aber mit Skalaren multiplizieren kann.

Einen Vektor kann man sich am besten wie einen Pfeil vorstellen, der von einem Punkt im Raum auf einen anderen Punkt im Raum zeigt. Eine Addition kannst du dir dann bildlich vorstellen, indem du die Spitzen deiner zwei Pfeile aneinander legst.

Eine Multiplikation mit einem Skalar ist einfach eine Streckung oder Stauchung des Pfeiles. Multiplizierst du beispielsweise mit dem Faktor 2, wird der Pfeil doppelt so lang, für den Faktor 1/2 wird der Pfeil halbiert.

Vektoren können im Prinzip in Räumen beliebiger Dimension auftreten. Am häufigsten begegnest du wahrscheinlich Vektoren in euklidischen Räumen mit zwei oder drei Dimensionen, die man entsprechend als ebenen Vektor und als räumlichen Vektor bezeichnet. Das sind auch die Vektoren, die sich am meisten mit der Alltagserfahrung von Vektoren decken.

Das Bestimmen des Betrags eines Vektors ist ein wichtiger Teil der Vektorenrechnung. Der Betrag von Vektoren ist nichts anderes als ihre Länge. Wenn du im echten Leben einen Pfeil vor dir hast, kannst du im Prinzip einfach ein Maßband daneben halten und so die Länge eines Vektors praktisch bestimmen. Bei einem abstrakten Vektor ist das nicht mehr möglich.

Dafür gibt es aber zum Glück mathematische Hilfsmittel, die wir dir jetzt genauer erläutern.

Betrag eines ebenen Vektors

Ein ebener Vektor ist ein Vektor in einer Ebene, das heißt in einem zweidimensionalen Raum. Ein Beispiel dafür ist der Bildschirm, auf dem du gerade diesen Artikel liest.

Ein anderes Beispiel sind die Zeiger einer Uhr. An dem Uhrzeiger kannst du sehen, dass ein Vektor durch zwei Eigenschaften charakterisiert ist. Ein Vektor hat immer eine Länge (also seinen Betrag) und eine Richtung.

Die Länge des Vektors ist dabei unabhängig von der Richtung des Vektors, deshalb kannst du auch immer den Stundenzeiger und den Minutenzeiger unterscheiden, egal in welche Richtung sie gerade zeigen.

Die Länge eines Vektors wird folgendermaßen bestimmt:

Formel
   Der Betrag eines Vektors \(  \vec{c}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix} \) wird berechnet durch \( a= |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} \)

Dieses Formel kannst du dir mit dem Satz des Pythagoras erklären:

Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras (Bildquelle:  Rechtwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras von Petrus374 unter CC BY-SA 4.0

Dein ebener Vektor ist in diesem Fall der Vektor c, dessen Länge du bestimmen willst.

Die beiden Seiten des Dreiecks a und b kannst du dir als die zwei Komponenten des Vektors (also in x-Richtung und in y-Richtung) vorstellen. Dadurch wird c zur Hypothenuse eines Dreiecks.

Da du jetzt Dank Pythagoras weißt, dass die Quadrate von a und b gleich dem Quadrat der Hypothenuse sind, erhältst du die Länge von c durch Wurzelziehen der Summe der Quadrate der einzelnen Seiten.

Betrag eines räumlichen Vektors

Das gleiche Verfahren kannst du nun eins zu eins auf räumliche Vektoren übertragen. Dabei hat dein Vektor einfach eine zusätzliche Komponente, die Formel ist im Endeffekt genau die gleiche:

Betrag eines räumlichen Vektors
Der Betrag eines räumlichen Vektors \(  \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \) ist gegeben durch \( a= |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \)

Diese Formel lässt sich auf beliebig viele Dimensionen ausweiten. Hast du also einen Vektor mit vier Komponenten, so kannst du den Betrag nach wie vor über die Wurzel der Summe der Quadrate der einzelnen Komponenten bestimmen.

Wie oben schon beschrieben, verändert sich die Länge eines Vektors nach Multiplikation mit einem Skalar genau proportional zu diesem Skalar. 

Das lässt sich anhand der Formel auch beweisen:

\(  \vec{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}  \rightarrow  \vec{a}’= k \cdot \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \\k \cdot  a_3 \end{pmatrix} \).

Rechnest du davon nun die Länge aus, erhältst du \( a’= |\vec{a}’|=\sqrt{k^2 a_1^2+k^2 a_2^2+k^2 a_3^2}= \sqrt{k^2 (a_1^2+ a_2^2+ a_3^2)}=k\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}= k a\), was genau der Multiplikation der Länge des Vektors mit dem Skalar entspricht.

Beispiele

Ebener Vektor

Betrachten wir den ebenen Vektor \(  \vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \). Einsetzen in die Gleichung liefert den Betrag \( a= |\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \)

Räumlicher Vektor

Fügen wir nun zu unserem Vektor noch eine zusätzliche Dimension dazu:  \( \vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\  5 \end{pmatrix} \). Einsetzen in die Formel liefert damit den Betrag \( a= |\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{50}\approx 7,07 \).

Strecken wir diesen Vektor jetzt mit einem Faktor 2, erhalten wir \(  \vec{a}’=2\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\  5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\  10 \end{pmatrix} \). Der Betrag bestimmt sich entsprechend auf \( a’= |\vec{a}’|=\sqrt{200}\approx 14,14= 2\cdot a\).

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Betrag eines Vektors mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Bestimme den Betrag der folgenden Vektoren:

\( 1. \; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ 2.\; \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}  \\ 3.\; \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\  4.\; \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \\ 5. 2\cdot \; \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \\ 6.\;  \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \end{pmatrix} \\ 7. \; 3\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\  0 \end{pmatrix} \\ 8. \; \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\  -1 \end{pmatrix}\\ 9. \; \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\  5 \end{pmatrix} \\ 10. \;   \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\  3 \end{pmatrix}   \)
Lösungen
\( 1. \;  a=1 \\ 2.\; a=\sqrt{2} \\ 3.\; a=\sqrt{2} \\  4.\; a=5 \\ 5. \; a=10 \\ 6.\;  a=1 \\
7. \; a=3 \\ 8. \; a=\sqrt{3} \\ 9. \; a=5\cdot \sqrt{3} \\ 10. \; a=\sqrt{29} \)
Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

Pirabel