Binomialkoeffizient

Kapitel aktualisiert am 31.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Binomialkoeffizient als Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Bereich der Stochastik. Wir zeigen dir, wie du den Binomialkoeffizienten berechnest, das Pascalsche Dreieck, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Binomialkoeffizient berechnen

Der Binomialkoeffizient \( \binom{n}{k} \) – sprich: „n über k“ – gibt an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Elementen k Elemente auszuwählen,

  • ohne Zurücklegen und
  • ohne Beachtung der Reihenfolge.
1. Beispiel:

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus einer Urne mit 5 durchnummerierten Kugeln 2 verschiedene Kugeln herauszuziehen?

Folgende Paare sind möglich:

\( (1;2), (1;3), (1;4) (1;5), \\ (2;3), (2;4), (2;5), \\ (3;4), (3;5), \\ (4;5) \\ \)

Das sind insgesamt 10 Möglichkeiten. Obwohl es nur ganz kleine Mengen sind (2 Kugeln von 5), ist es sehr umständlich alle Möglichkeiten aufzuzählen, um die Anzahl zu bestimmen. Wie aufwendig das mit ganz großen Zahlen sein kann, kannst du dir sicherlich vorstellen.

Zum Glück gibt es dafür einen deutlich kürzeren Weg: die Berechnung des Binomialkoeffizienten.

Den Binomialkoeffizienten kannst du folgendermaßen berechnen: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \)

Es gilt:

  • Falls \( k < n \): dann \( \binom{n}{k} > 1 \)
  • Falls \( k > n \): dann gibt es keine Lösung
  • Falls \( k = n \) oder \( k = 0 \): dann \( \binom{n}{k} = 1 \)
  • Falls \( k = 1 \) oder \( k = n-1 \): dann \( \binom{n}{k} = n \)

Beispiele

2. Beispiel:

Wir zeigen dir in diesem Beispiel, wie du die Anzahl der Möglichkeiten aus dem 1. Beispiel mit dem Binomialkoeffizienten berechnen kannst, ohne diese aufzuzählen.

\( \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10   \)
3. Beispiel:
\( \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{3628800}{24 \cdot 720} = \frac{3628800}{17280} = 210   \)
4. Beispiel:
\( \binom{3}{1} = \frac{3!}{1! \cdot (3-1)!} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{6}{1 \cdot 2} = \frac{6}{2} = 3   \)

Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck stellt Binomialkoeffizienten graphisch dar.

Pascalsches Dreieck: Zahlenschema

Pascalsches Dreieck: Zahlenschema 

Pascalsches Dreieck: Binomialkoeffizienten

Pascalsches Dreieck: Binomialkoeffizienten

Das Dreieck ist folgendermaßen aufgebaut:

  • Alle äußeren Einträge bis hin zur Spitze sind Einsen.
  • Die restlichen Einträge ergeben sich jeweils durch die Addition der beiden Einträge darüber.
  • Dieser Sachverhalt wird durch die folgende Gleichung mit Binomialkoeffizienten beschrieben: \( \binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k}+ \binom{n}{k+1}\), wobei:
  • Zeilenindex: n (beginnend mit 0)
  • Spaltenindex: k (beginnend mit 0)
  • Das heißt: der „(k+1)-te Eintrag in Zeile (n+1) des pascalschen Dreiecks ergibt sich aus der Addition des k-ten Eintrags mit dem (k+1)‘ten Eintrag in der Zeile n darüber“.

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Binomialkoeffizienten mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten:

  1. \( \binom{10}{1} \)
  2. \( \binom{9}{2} \)
  3. \(  \binom{5}{5} \)
  4. \(  \binom{300}{300} \)
  5. \(  \binom{10}{20} \)
  6. \(  \binom{14}{13} \)
  7. \(  \binom{12}{11} \)
  8. \(  \binom{100}{99} \)
  9. \(  \binom{6}{3} \)
  10. \(  \binom{6}{1} \) 
Lösungen
  1. \( 10 \)
  2. \( 36 \)
  3. \( 1 \)
  4. \( 1 \)
  5. keine Lösung.
  6. keine Lösung.
  7. \( 12 \)
  8. \( 100 \)
  9. \( 20 \)
  10. \( 6 \)
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