Binomische Formeln

Kapitel aktualisiert am 29.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Binomische Formeln als Teil der Terme im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir die 3 binomischen Formeln mit Beispielen, der Vorgehensweise und Herleitung, Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Die 3 binomischen Formeln

Binomische Formeln sind dazu da, Klammern leichter aufzulösen, in dem man gegebene Zahlen in die passende binomische Formel einsetzt.

Insgesamt gibt es 3 binomische Formeln:

Die 3 binomischen Formeln

1. Binomische Formel: \((a+b) \cdot (a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

2. Binomische Formel: \( (a-b) \cdot (a-b) = (a-b)^2 = a^2  –  2ab + b^2 \)

3. binomische Formel: \( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 + b^2 \)

Vorgehensweise – Wahl der richtigen Formel

  1. Wir erkennen eine Multiplikation von zwei gleichen Klammern, in denen zwei Zahlen addiert oder subtrahiert werden.
  2. Wir entscheiden, welche binomische Formel passt:
  • Bei zwei Plus-Klammern, wählen wir die erste binomische Formel.
  • Bei zwei Minus-Klammern, wählen wir die zweite binomische Formel.
  • Bei einer Plus-Klammer und einer Minus-Klammer, wählen wir die dritte binomische Formel.
  1. Die Zahlen, die in der Klammer stehen, setzen wir nun in die passende binomische Formel ein und formen um.
Beispiele:

Beispiel 1: \( (x+3)^2 \)

Wir erkennen ein Plus zwischen zwei Zahlen in der Klammer, die quadriert wird und wählen deshalb die erste binomische Formel:

1. Binomische Formel: \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \)


Beispiel 2: \((x-3)^2 \)

Wir erkennen ein Minus zwischen zwei Zahlen in der Klammer, die quadriert wird und wählen die zweite binomische Formel:

  1. Binomische Formel\( (x-3)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 – 6x + 9 \)

Beispiel 3: \((x+3)\cdot(x-3) \)

Wir erkennen, dass zweimal dieselbe Klammer multipliziert wird, nur ist diesmal eine Klammer eine Plus-Klammer und die andere Klammer eine Minus-Klammer. Wir entscheiden uns natürlich für die dritte Binomische Formel:

  1. Binomische Formel: \( (x+3) \cdot (x-3) = x^2 + 3^2 = x^2 + 9 \) 

Beachte: 

  • Bei der 3. Binomischen Formel kann man die gemischten Klammern nicht als Quadrat von einer Klammer darstellen.
  • Andersrum kann man aber die 1. Und 2. Binomische Formel, die häufig in der Quadrat-Schreibweise auftauchen auch so als zwei Klammern darstellen: \((a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b)\) und \((a-b)^2= (a-b) \cdot (a-b) \)
  • Du darfst die binomischen Formeln nicht anwenden wenn die beiden Klammern nicht die selben Zahlen besitzen:      z.B \((2+3) \cdot (2+4) \), hier geht es nicht!
  • Binomische Formeln rückwärts angewandt: siehe quadratische Ergänzung.

Herleitung der Binomischen Formeln

Was ist ein Binom? Warum heißen die Formeln Binomische Formel?

Ein Binom ist ein Term mit zwei Gliedern. Also \(a+b\) oder \(a-b\). Da wir solche Klammern miteinander multiplizieren, spricht man von den binomischen Formeln.

Herleitung: Wie kommt man auf die binomischen Formeln?

Wir multiplizieren die Klammern aus, wie es uns schon bekannt ist, indem wir jede Zahl in der ersten Klammer mit der Zahl aus der zweiten Klammer multiplizieren und dabei auf die Vorzeichen achten:

Herleitung 1. Binomische Formel:

\((a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b =  a^2 + 2ab + b^2 \\\)

Herleitung 2. Binomische Formel:

\((a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b) =  a^2 -ab -ab + b^2  =  a^2 – 2ab + b^2 \\\)

Herleitung 3. Binomische Formel:

\((a+b) \cdot (a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot a + (-b) \cdot (-b) =  a^2 – ab + ab + b^2 = a^2 + b^2 \\\)

So erhalten wir die binomischen Formeln und sparen uns beim Rechnen mit den fertigen binomischen Formeln die ganzen Schritte beim Ausmultiplizieren!

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 binomische Formeln-Aufgaben mit Lösungen für dich:

Aufgaben zum Lernen

Aufgaben

Forme die folgenden Terme mithilfe der binomischen Formeln um. Die Lösungen findest du unterhalb dieser.

  1.  \((x+3)^2\)
  2.  \((x-2)^2\)
  3.  \((x+4) \cdot (x-4)\)
  4.  \((x-1) \cdot (x+1)\)
  5.  \((x+y)^2\)
  6.  \((2-y)^2\)
  7.  \((2x + 1)^2\)
  8.  \((10 – x) \cdot (10 + x)\)
  9.  \((z-2) \cdot (z-2)\)
  10.  \((\sqrt{x}+1)^2\) 

Lösungen

Lösungen
  1.  \((x+3)^2 = x^2 +2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x +9\)
  2.  \( (x-2)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 -4x + 4 \)
  3.  \( (x+4) \cdot (x-4) = x^2 + 4^2 = x^2 + 16\)
  4.  \((x-1) \cdot (x+1) = x^2 + 1^1 = x^2 + 1\)
  5.  \( (x+y)^2 = x^2 +2xy +y^2 \)
  6.  \((-y+2)^2 = (2-y)^2 = 2^2 -2 \cdot 2 \cdot y + y^2 = 4 – 4y +y^2  \)
  7.  \((2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^1 = 4x^2 +4x +1\)
  8.  \((10 – x) \cdot (10 + x) = 10^2 + x^2 = 100 + x^2\)
  9.  \((z-2) \cdot (z-2) = z^2 – 2 \cdot z \cdot 2 + 2^2 = z^2 – 4z +4\)
  10.  \((\sqrt{x}+1)^2 = \sqrt{x}^2 + 2\cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 = x + 2\sqrt{x} +1 \) 
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