Bruchrechnen

Kapitel aktualisiert am 26.09.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Bruchrechnen im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, wie du Brüche sowohl erweitern, als auch kürzen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kannst. Dazu haben wir ebenfalls Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen für dich.

Bruchrechnung: Grundlegendes

Gemeiner BruchBei Brüchen handelt es sich um die Division zweier Zahlen. „Zähler geteilt durch Nenner“. Beispielsweise ist der Bruch „Dreiviertel: \( \frac{3}{4}“ \) genau wie „drei geteilt durch vier: \( 3:4 \).

Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner steht unter dem Bruchstrich.

Den Kehrwert eines Bruches bildest du ganz einfach, indem du Zähler und Nenner vertauschst. Bei diesem Beispiel ist der Kehrwert des Bruches \( \frac{3}{4} \), also \( \frac{4}{3} \). Den Kehrwert brauchst du bei der Division von Brüchen.

Rechnen mit Brüchen

Wie berechnet man Brüche? Für das Rechnen mit Brüchen musst du die Bruchrechenregeln beachten.

Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, brauchst du immer denselben Nenner! Wenn du Brüche multiplizieren oder dividieren willst, ist das nicht nötig.

Hauptnenner finden – Kürzen und Erweitern

Damit du Brüche addieren und subtrahieren kannst, musst du beide Brüche auf den Hauptnenner bringen, das heißt beide Brüche müssen denselben Nenner haben. Bei der Multiplikation und Division ist das nicht nötig, da können die Nenner verschieden bleiben.

Um den Bruch auf den Hauptnenner zu bringen, kannst du – je nachdem, ob der Nenner größer oder kleiner werden soll – erweitern bzw. kürzen. Es ist natürlich wesentlich einfacher, die Zahlen klein zu halten und deshalb solltest du immer versuchen zu kürzen. Wenn du durch Kürzen auf keinen gemeinsamen Nenner kommst, kannst du auch erweitern – da werden die Zahlen zwar größer, aber so findest du wenigstens immer einen gemeinsamen Nenner.

Brüche kürzen

Wenn du einen Bruch mit einer Zahl kürzen möchtest, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die entsprechende Zahl dividieren:

Beispiel: \( \frac{8}{4} \) und \( \frac{1}{2} \)

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner. Um sie auf denselben Nenner zu bringen, könntest du entweder den ersten Bruch um 2 kürzen oder den zweiten Bruch um 2 erweitern.

Wir entscheiden uns für das Kürzen, da die 8 durch 2 teilbar ist: \( \frac{8:2}{4:2} = \frac{4}{2} \) und \( \frac{1}{2} \). Nun haben beide Brüche den selben Nenner.

Ergebnisse solltest du ebenfalls immer weitestgehend kürzen, damit der Bruch so einfach wie möglich dasteht. Weitestgehend zu kürzen bedeutet, mit dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu kürzen.

Brüche erweitern

Wenn du einen Bruch mit einer Zahl erweitern möchtest, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der entsprechenden Zahl multiplizieren:

1. Beispiel: \( \frac{7}{4} \) und \( \frac{1}{2} \)

Diese Brüche haben auch unterschiedliche Nenner. Um sie auf denselben Nenner zu bringen, kannst du in diesem Fall den ersten Bruch nicht wieder um 2 kürzen, da 7 nicht durch 2 teilbar ist.

Deswegen musst du den zweiten Bruch mit 2 erweitern, um auf den Nenner 4 zu kommen: \( \frac{7}{4} \) und \( \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} \). Nun haben beide Brüche den selben Nenner.

2. Beispiel: \( \frac{1}{3} \) und \( \frac{1}{2} \)

Du kannst weder die 3 mit einer Zahl kürzen, um auf die 2 zu kommen, noch die 2 mit einer Zahl erweitern, um auf die 3 zu kommen. Jetzt kommt der absolute Trick, den du immer anwenden kannst: Du erweiterst einfach beide Brüche – und zwar genau mit dem Nenner von dem anderen Bruch, also: \( \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} \) und \( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}  = \frac{3}{6}\).

Beachte, dass Erweitern und Kürzen nichts weiter als Brüche umstellen ist. Der Wert bleibt gleich.

Beispiel: \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \). Wenn du den Kuchen in zwei gleiche Teile teilst und dir einen davon nimmst, hast du genauso viel, wie wenn du den Kuchen in vier gleiche Teile teilst und dir zwei davon nimmst.

Brüche erweitern

Brüche erweitern: Eines von zwei Stücken entspricht zwei von vier Stücken

Brüche addieren

Um Brüche zu addieren, müssen beide Brüche denselben Nenner haben. Du darfst nicht einfach „Zähler + Zähler, Nenner + Nenner“ rechnen! Sondern: Du addierst nur die Zähler und der gemeinsame Nenner bleibt gleich.

Beispiel: Nicht \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \neq \frac{2}{6} \), sondern \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \).

Brüche subtrahieren

Um Brüche zu subtrahieren, müssen beide Brüche denselben Nenner haben. Du darfst nicht einfach „Zähler – Zähler, Nenner – Nenner“ rechnen! Sondern: Du subtrahierst nur die Zähler und der gemeinsame Nenner bleibt gleich:

Beispiel: Nicht \( \frac{3}{4} – \frac{1}{2} \neq \frac{2}{2} \), sondern \( \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{3}{4} – \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \).

Brüche multiplizieren

Um zwei Brüche zu multiplizieren, rechnest du einfach „Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner“.

1. Beispiel: \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} \)

Wenn du eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren willst, dann multiplizierst du diese Zahl nur mit dem Zähler vom Bruch. Nicht mit Zähler und Nenner, das wäre sonst keine Multiplikation, sondern eine Erweiterung!

2. Beispiel: \( \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

Die Zahlen 6 und 4 haben als größten gemeinsamen Teiler die 2. Das heißt, du kannst das Ergebnis mit der 2 kürzen.

Brüche dividieren

Um zwei Brüche zu dividieren, bildest du zuerst den Kehrwert von einem der beiden Brüche und multiplizierst diesen anschließend mit dem anderen Bruch:

1. Beispiel: \( \frac{3}{4} : \frac{5}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}   = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \)

Die Zahlen 6 und 20 haben als größten gemeinsamen Teiler die 2. Das heißt, du kannst das Ergebnis mit der 2 kürzen. Wenn du einen Bruch mit einer Zahl dividieren willst, dann multiplizierst du diese Zahl mit dem Nenner.

2. Beispiel: \( \frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Bruchrechnung mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
  1. \( \frac{4}{2} + \frac{1}{2} \)
  2. \( \frac{3}{4} + \frac{1}{8}  \)
  3. \( \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \)
  4. \( \frac{3}{10} – \frac{2}{10}  \)
  5. \( \frac{1}{4} – \frac{1}{2}  \)
  6. \( \frac{3}{2} – \frac{1}{3} \)
  7. \( \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{2}  \)
  8. \( \frac{3}{5} : \frac{9}{5}  \)
  9. \( \frac{1}{4} \cdot 10 \)
  10. \( \frac{3}{4} : 2 \)
Lösungen
  1. \( \frac{5}{2} \)
  2. \( \frac{7}{8} \)
  3. \( \frac{7}{6}  \)
  4. \( \frac{1}{10}  \)
  5. \( – \frac{1}{4}  \)
  6. \( \frac{7}{6}  \)
  7. \( \frac{5}{12}  \)
  8. \( \frac{1}{3}  \)
  9. \( \frac{10}{4}  \)
  10. \( \frac{3}{8}  \)
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