Dreieck: Flächeninhalt & Umfang berechnen

Kapitel aktualisiert am 23.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Dreieck als Teil der Geometrischen Figuren im Bereich der Geometrie. Wir zeigen dir, wie ein Dreieck definiert wird, wie du den Flächeninhalt mittels der Grundlinie und Höhe sowie dem Sinus berechnest, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Definition eines Dreiecks

Definition
Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Sie besteht aus 3 Seiten, die 3 Innenwinkel aufspannen. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks.

Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen

Dreieck: Flächeninhalt berechnenDie allgemeine Formel zur Flächenberechnung von Dreiecken lautet:  \( A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h \)

A: Flächeninhalt
G: Grundseite
h: Höhe

Dreiecksfläche mit Grundlinie und Höhe berechnen

Fläche eines rechtwinkligen DreiecksWenn du ein rechtwinkliges Dreieck gegeben hast, dann ist die Seite, die am rechten Winkel liegt, automatisch die Höhe des Dreiecks. Du musst sie nicht extra ausrechnen, sondern kannst sofort den Flächeninhalt bestimmen.

In dem Fall ist die Seite b gleichzeitig auch die Höhe, da \( \alpha  \) mit 90° ein rechter Winkel ist. Die Seite c ist die Grundseite.

Falls du ein solches Dreieck gegeben hast, musst du erst die Höhe ermitteln:

Dreieck: Höhe für Flächenberechnung ermitteln

Zeichnerisch: Das machst du, indem du eine zur Grundseiten c senkrechte Linie hinzufügst, die durch den Punkt C geht.

Genau diese Gerade h schließt dadurch mit der Grundseite c einen rechten Winkel ein und ist somit die Höhe des Dreiecks.

Rechnerisch: Mit den Lehrsätzen von Pythagoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Dreiecksfläche mit dem Sinus berechnen

Du kannst den Flächeninhalt des Dreiecks auch mit dem Sinus berechnen, wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen angegeben ist. Dann lautet die Formel: \( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\gamma) \)

Je nachdem, welche Seiten und welcher passende Winkel dazu gegeben ist, musst du in die Formel dementsprechend die Seiten und den Winkel einsetzen.

Umfang eines Dreiecks:

Um den Umfang eines Dreiecks zu berechnen, musst du alle 3 Seitenlängen addieren. Die Formel lautet also: \( U = a + b + c \)

Rechtwinkliges Dreieck berechnen

Um den Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, reicht die Angabe von 2 Seiten.

  1. Fall: Es sind die beiden Katheten (das sind die Seiten des Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen) angegeben. Dann entspricht nämlich eine Seite der Grundseite des Dreiecks und eine Seite der Höhe des Dreiecks und du kannst diese Seitenlängen dann dementsprechend in die Formel zur Berechnung des Dreiecks mit Grundseite und Höhe von oben einsetzen.
  2. Fall: Es ist die Hypotenuse und eine Kathete angegeben. Die Hypotenuse hilft dir bei der Berechnung des Flächeninhaltes nicht direkt weiter. Deshalb kannst du hier den Satz des Pythagoras verwenden, um die Länge der zweiten Kathete zu bestimmen und anschließend wie im ersten Fall vorgehen.

Der Satz des Pythagoras lautet: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Dabei ist c immer die Hypotenuse (sprich: die Seite im Dreieck, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.)

Beispiele

1. Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Grundseite \( c = 5 cm \) und Höhe \( h = 3 cm \). Du setzt die Werte in die allgemeine Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken ein und berechnest:

\( A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h \\ = \frac{1}{2} \cdot 5 cm \cdot 3 cm \\ = \frac{1}{2} \cdot 15 cm^2 \\ = 7,5 cm^2 \)
2. Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit \( a = 2 cm, c = 4 cm \) und \( \beta = 30° \). Da der Winkel Beta zwischen den Seiten b und c liegt, kannst du den Flächeninhalt diesmal mit dem Sinus berechnen:

\( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot sin(\beta) \\ = \frac{1}{2} \cdot 2 cm \cdot 4 cm \cdot sin(30) \\ = 8 cm^2 \cdot 0,5  \\ = 4 cm^2  \)
3. Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit \( a = 3 cm, c = 4 cm \) und \( \gamma= 90° \). Da der Winkel Gamma ein rechter Winkel ist, kannst du den Flächeninhalt diesmal mit dem Satz von Pythagoras berechnen: Da c genau gegenüber von Gamma – also dem rechten Winkel – liegt, ist c die Hypotenuse und damit musst du die Seitenlänge b ermitteln:

Dazu setzt du a und c in den Satz des Pythagoras ein und löst nach b auf:

\( a^2 + b^2 = c^2 \\ (3 cm)^2 + b^2 = (4 cm)^2 \\ 9 cm^2 + b^2 = 16 cm^2  | – 9 cm^2 \\ b^2 = 7 cm^2 | \sqrt{} \\ b = 2,65 \\ \)

Nun hast du die Längen der beiden Katheten a und b und kannst diese in die Formel mit der Grundseite und Höhe einsetzen, um den Flächeninhalt zu erhalten:

\( A = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h \\ = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \\= \frac{1}{2} \cdot 3 cm \cdot 2,65 cm \\ = \frac{1}{2} \cdot 7,94 cm^2 \\ = 3,97 cm^2 \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Flächeninhalt von Dreiecken mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke mit den folgenden Angaben:

  1. \( c = 3 cm, h = 7 cm \)
  2. \( c = 4 cm, h = 8 cm \)
  3. \( c = 2,5 cm, h = 10 cm \)
  4. \( a = 1 cm, b = 2 cm, \gamma = 45° \)
  5. \( b = 3 cm, c = 4 cm, \alpha = 30° \)
  6. \( c = 5 cm, a = 10 cm, \beta = 60 ° \)
  7. \( c = 15 cm, h = 2 cm \)
  8. \( c = 9 cm, h = 9 cm\)
  9. \( b = 4,5 cm, c = 4,5 cm, \alpha = 45°\)
  10. \( a = 7 cm, b = 3 cm, \gamma = 10°\)  
Lösungen
  1. \( A = 4,2 cm^2 \)
  2. \( A = 16 cm^2 \)
  3. \( A = 12, 5 cm^2  \)
  4. \( A = 1,41 cm^2  \)
  5. \( A =  6 cm^2  \)
  6. \( A =  43,3 cm^2  \)
  7. \( A =  15 cm^2  \)
  8. \( A =  40,5 cm^2  \)
  9. \( A =  14,32 cm^2  \)
  10. \( A =  3,65 cm^2  \)  
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