Dreisatz berechnen

Kapitel aktualisiert am 06.03.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Dreisatz als Teil der Verhältnisrechnung im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir die Vorgehensweise der Dreisatz-Rechnung bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Dreisatz-Rechner
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Verwendung des Dreisatzes

Wofür wird die Dreisatzrechnung verwendet und warum heißt das eigentlich Dreisatz?

Die Dreisatzrechnung ist ein mathematisches Verfahren, um den fehlenden Wert einer Zuordnung zu berechnen, indem man das Verhältnis zu einer gegebenen Zuordnung nutzt.

Beispiel 1: Du stehst im Supermarkt und siehst, dass eine 6er-Packung Cola 7,50 € kostet, du brauchst aber 10 Flaschen Cola und möchtest den Preis dafür wissen.

  • Gegebene Zuordnung: 6 Cola -> 7,50 €.
  • Gesuchte Zuordnung: 10 Cola -> ? (mehr Cola wird mehr kosten)

Beispiel 2: Du hilfst in der Schule beim Aufbau für eine Veranstaltung. 10 Schüler brauchen 3 Stunden Zeit, wie viele Stunden würden 15 Schüler brauchen?

  • Gegebene Zuordnung: 10 Schüler -> 3 Stunden
  • Gesuchte Zuordnung: 15 Schüler -> ? (mehr Schüler brauchen weniger Zeit)

Du kannst mit dem Dreisatz rechnen, um auf die Lösungen beider Aufgabenstellungen zu kommen. Dazu musst du den gesuchten Wert erst nur für eine Einheit berechnen und anschließend für die gesuchte Anzahl. Die Rechnung heißt Dreisatz, da du so immer mit 3 Zuordnungen zum Ergebnis kommst.

Im ersten Fall handelt es sich um eine proportionale Zuordnung (je mehr, desto mehr) und im zweiten Fall um eine antiproportionale Zuordnung (je mehr, desto weniger). Im Folgenden zeigen wir dir die Dreisatz-Formel für beide Zusammenhänge.

Dreisatz: Proportionale Zusammenhänge

Vorgehensweise:

1. Schritt: Den y-Wert für eine Einheit (x = 1) berechnen, indem du den gegebenen y-Wert (b) durch den gegebenen x-Wert (a) dividierst.

2. Schritt: Den gesuchten y-Wert berechnen, indem du den y-Wert für eine Einheit mit der gewünschten Größe (c) multiplizierst.

Dreisatz: Beispiel 1

1. Beispiel:

Wir berechnen das Ergebnis aus Beispiel 1:

1. Schritt: Wenn 6 Flaschen Cola 7,50 € kosten, dann kostet eine Flasche Cola: \( 7,50 €:6 = 1,25 € \).

2. Schritt: Wenn eine Flasche Cola 1,25 € kostet, dann kosten 10 Flaschen Cola 10 mal so viel, also: \( 1,25 € \cdot 10 = 12,50€ \)

Dreisatz: Beispiel 2

Dreisatz: Antiproportionale Zusammenhänge

Vorgehensweise:

1. Schritt: Den y-Wert für eine Einheit (x = 1) berechnen, indem du den gegebenen y-Wert (b) mit dem gegebenen x-Wert (a) multiplizierst.

2. Schritt: Den gesuchten y-Wert berechnen, indem du den y-Wert für eine Einheit durch die gewünschte Größe (c) dividierst.

Dreisatz: Beispiel 3

2. Beispiel:

Wir berechnen das Ergebnis aus Beispiel 2:

1. Schritt: Wenn 10 Schüler zusammen 3 Stunden brauchen, dann benötigt ein einzelner Schüler 10 mal so viel Zeit: \( 3h \cdot 10 = 30h \).

2. Schritt: Wenn ein einzelner Schüler 30 Stunden braucht, dann benötigen 15 Schüler zusammen weniger Zeit, also: \( 30:15 = 2h \)

Dreisatz: Beispiel 4

Dreisatz mit Variable

Alternativ lässt sich der Dreisatz auch mit einer Variablen schreiben. Kehren wir zurück zu dem ersten Beispiel:

Beispiel 1: Eine 6er-Packung Cola 7,50 € kostet, du brauchst aber 10 Flaschen Cola und möchtest den Preis dafür wissen.

  • Gegebene Zuordnung: 6 Cola -> 7,50 €.
  • Gesuchte Zuordnung: 10 Cola -> x

Dann lässt sich dieses Problem mathematisch auch über folgende Gleichung ausformulieren:

\( \frac{7,50}{6}=\frac{x}{10} \\ \)

Dabei ist x die zu bestimmende, noch unbekannte Variable. Diese Gleichung kannst du nun umformen und auflösen, bis x einzeln dasteht:

\( \frac{7,50}{6}\cdot 10 =x=12,50\\ \)

Das bedeutet, dass sich jeder Dreisatz über eine Bruchgleichung darstellen lässt. Du hast also jeweils drei bekannte Größen und eine unbekannte Größe, die du als Variable x bezeichnest.

Dabei musst du nur aufpassen, dass bei beiden Brüchen immer die gleiche Größe oben steht, also beispielsweise bei beiden die Anzahl an Colaflaschen jeweils oben und die Preis jeweils unten eingesetzt wird.

Die Rechnung funktioniert auch, wenn du die Brüche einmal umdrehst, also wenn du die Anzahl an Colaflaschen jeweils unten und die Preis jeweils oben einsetzt. Du musst also nur Acht geben, dass du bei beiden Brüchen gleich einsetzt.

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Dreisatz mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die gesuchten Werte mit dem Dreisatz.

Proportionale Zuordnungen:

  1. 5 Tafeln Schokolade kosten 6 €. Wieviel kosten 2 Tafeln Schokolade?
  2. 4 Packungen Kekse kosten 2 €. Wieviel kosten 10 Packungen Kekse?
  3. 2 Brote reichen einer Familie für 3 Tage aus. Wie lange reichen 4 Brote aus?
  4. Tom kann 6 Aufgaben in einer Stunde erledigen. Wie viele Stunden braucht er für 9 Aufgaben?
  5. 10 Äpfel kosten 2 €. Wie viel kosten 2 Äpfel?

Antiproportionale Zuordnungen:

  1. 6 Gärtner brauchen 2 Stunden, um die Gartenarbeit zu erledigen. Wie lange benötigen 3 Gärtner?
  2. 4 Bauarbeiter brauchen 10 Tage für die Bauarbeit. Wie lange benötigen 40 Bauarbeiter?
  3. 2 Studenten brauchen 6 Stunden Zeit für ein Übungsblatt. Wie lange benötigen 3 Studenten?
  4. 20 Schüler brauchen 1o min. um das Klassenzimmer zu putzen. Wie lange benötigen 2 Nachsitzschüler dann?
  5. Zwei Pizzaliebhaber brauchen 10 Minuten, um eine Pizza zu verschlingen. Wie lange brauchen sie zu fünft?
Lösungen
  1. \( 2,40 € \)
  2. \( 5 € \)
  3. \( 6 Tage \)
  4. \( 1,5 Stunden \)
  5. \( 40 ct. \)
  6. \( 1 h \)
  7. \( 1 Tag \)
  8. \( 4 h \)
  9. \( 1 h, 40 min. \)
  10. \( 4 min. \)
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Enes Witwit

Enes hat an der Universität Heidelberg seinen Abschluss in Mathematik gemacht. Er unterrichtete auch an der Universität begeistert junge Studenten und verhalf ihnen, komplexe Sachverhalte leicht zu verstehen. Zudem arbeitete er als Hilfswissenschaftler und forschte an aktuellen mathematischen Problemen.

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