Einheiten umrechnen

Kapitel aktualisiert am 03.10.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Einheiten umrechnen als Teil der Einheiten im Bereich der Algebra. Wir erklären dir, was es für verschiedene Einheiten gibt, wie du Maßeinheiten umrechnest, geben dir Beispiele und anschließend Aufgaben zum Lernen mit Lösungen.

Einheiten im Alltag

Im Jahr 1999 geht der von der NASA in der Weltraum geschossene Mars Climate Orbiter verloren. Dieser sollte die Marsatmosphäre genauer untersuchen.

Da er sich aber zu weit der Marsatmosphäre näherte, kam es zu Komplikationen und dem anschließenden Verglühen des Orbiters in der Atmosphäre. Der Grund dafür wurde schnell bekannt.

Die Wissenschaftler der Kollaboration hatten versäumt, die in der Navigationssoftware verwendeten Einheiten aufeinander abzustimmen, wodurch der Impuls der Sonde dem Navigationssystem in der falschen Einheit übermittelt wurde und die Sonde sich dem Mars viel zu weit näherte und dadurch viel heißer wurde als geplant.

Einheiten umrechnen

Zwei Lektionen kannst du daraus mitnehmen:

  1. Leute, die bei der NASA arbeiten, sind auch nur Menschen.
  2. Es kann sehr wichtig sein, Einheiten richtig ineinander umzurechnen.

Wie das genau geht, erklären wir in dem folgenden Artikel.

Maßeinheiten

Was sind Maßeinheiten überhaupt? Aus dem Alltag gibt es dafür sehr viele Beispiele, da wir andauernd Einheiten verwenden. Sie helfen uns, ganz viele verschiedene Dinge zu charakterisieren und praxistauglich anzugeben.

  • Frage: Wie weit ist es zum nächsten Supermarkt? Antwort: 400 Meter.
  • Frage: Wie viel Mehl haben wir noch zu Hause? Antwort: 400 Gramm.
  • Frage: Wie lange hast du gebraucht um von A nach B zu laufen? Antwort: 40 Minuten.

Die dick gedruckten Wörter sind die jeweils verwendeten Einheiten. Sie treten also immer in Verbindung mit einer Zahl auf. Die Zahl erhält durch sie gewissermaßen erst ihre Bedeutung, denn wir geben in den ersten beiden Fällen die Antwort 400, meinen aber jeweils etwas komplett anderes.

Es gibt auch andere Einheiten und wir könnten die drei Fragen wie folgt beantworten:

  • Frage: Wie weit ist es zum nächsten Supermarkt? Antwort: 437,445 Yards.
  • Frage: Wie viel Mehl haben wir noch zu Hause? Antwort: 14,11 Unzen.
  • Frage: Wie lange hast du gebraucht um von A nach B zu laufen? Antwort: 2400 Sekunden.

Die Antworten haben sich nicht geändert. Da die verwendeten Einheiten geändert wurden, mussten aber entsprechend auch die Zahlen angepasst werden.

Definition von Einheiten

Woher wissen wir überhaupt, was 400 Gramm Mehl sind? In der Regel stellen wir unser Mehl einfach auf die Küchenwaage und schauen das Ergebnis an.

Aber woher weiß die Wage, was ein Kilogramm ist? Wir können sie mit etwas eichen, von dem wir wissen, dass es ein Kilogramm wiegt, zum Beispiel mit einem dafür extra hergestellten Gewicht.

Aber woher wissen wir, dass dieses Gewicht wirklich ein Kilo wiegt? Dafür mussten wir es wieder wiegen und dieses Spiel lässt sich unendlich lange fortsetzen.

Da das nicht geht, muss also irgendwann einmal festgelegt worden sein, was überhaupt ein Kilogramm ist. Dafür gab es lange Zeit das Urkilogramm.

Ein Kilogramm war immer genau als das Gewicht dieses Urkilogramms definiert. Dieses war ein Zylinder aus Platin-Iridium, der in Paris in einem Tresor aufbewahrt wurde.

Die Idee dafür geht zurück auf die Zeit der Französischen Revolution, als zukunftsdenkenden Menschen eine Vereinheitlichung des Einheitensystems anstrebten.

Ähnliches galt für die Länge eines Meters: es gab einen Urmeter, der genau so definiert war, dass er einen Meter lang war.

Einheiten umrechnen

Einheiten beruhen also immer auf dem Vergleich von einer Größe (Gewicht, Länge etc.) mit einer festgelegten, das heißt genormten Größe (zum Beispiel einem Meter, einem Kilo).

Da das auf Dauer nicht sehr zuverlässig und praktisch ist, haben Physiker das Kilo und den Meter auf der Basis von Naturkonstanten neu definiert.

Dabei wird die Definition des Kilos mit der sogenannten Planckschen Konstante in Verbindung gebracht, die in der modernen Physik eine wichtige Rolle spielt, und als von der Natur gegeben und konstant angesehen wird, und der Meter über die Lichtgeschwindigkeit, die ebenso im Universum als konstant angesehen wird.

Die Änderung der Definition des Kilos trat am 20.5.2019 in Kraft.

Einheiten umrechnen

Es gibt für verschiedene Größen oft verschiedene Einheiten. Am Beispiel des Mars Climate Orbiter zeigt sich sehr eindrücklich, dass es verschiedene Längeneinheiten gibt.

Wenn man einem Europäer die Entfernung „400“ ohne Einheiten angibt, interpretiert er diese wahrscheinlich als Meter/Kilometer, während ein Amerikaner direkt an Yards/Meilen denkt.

Diese Einheiten lassen sich aber, wie du an den drei Fragen gesehen haben, ineinander umrechnen. Für einige auch im Alltag wichtige Größen erklären wir dir nun, wie du diese Größen umrechnen kannst.

Dabei gilt für jede Umrechnung:

Einheiten umrechnen

Jede Umrechnung zwischen Einheiten beginnt immer mit einer Anzahl in einer ursprünglichen Einheit. Diese möchtest du in eine Zieleinheit umrechnen. Für diese Kombination existiert ein Umrechnungsfaktor.

Die Umrechnung besteht dann aus einem dem Produkt: neue Anzahl= Umrechnungsfaktor \( \cdot \)  alte Anzahl

Diese Umrechnungsfaktoren fassen wir in den kommenden Abschnitten für dich zusammen.

Längeneinheiten

Längeneinheiten ineinander umzurechen ist besonders wichtig, weil in verschiedenen Teilen der Welt nach wie vor verschiedene Längenangaben verwendet werden.

Die gängigsten Angaben sind dabei Meterangaben, die immer in einem Abstand von 1.000 eine neue Bezeichnung erhalten:

Einheit Abkürzung in Meter
Meter \( m \) \(  1 \)
Kilometer \( km \) \(  1000 \)
Zentimeter \( cm \) \( 0,01 \)
Millimeter \( mm \) \( 0,001 \)
Mikrometer \(\mu m \) \( 0,000001 \)

Die Umrechnungsfaktoren sind in diesem Fall immer einfach, weil sie Vielfache der 10 sind. Der Umrechnungsfaktor zwischen Kilometern und Metern liegt bei 1.000: die Anzahl „1 Kilometer“ kannst du umrechnen in die Anzahl „1.000 Meter“, indem du die ursprüngliche Anzahl mit dem Faktor 1.000 multiplizierst.

Diese Einheiten sind Teil des metrischen Systems (auch SI-Einheiten genannt), die praktisch überall auf der Welt zum Standard erhoben wurden, weil es durch die Zehnerabstände einfach zu verwenden ist.

In manchen Ländern wie in den USA ist das aber noch nicht der Fall.

Deshalb fassen wir einige Einheiten und ihre Umrechnungen ineinander zusammen, bei denen die Zahlenverhältnisse untereinander nicht so einfach sind:

Zentimeter Millimeter Inch
Kilometer 100000 1000000 39370,1
Meter 100 1000 39,3701
Yard 91,44 914,4 36
Meilen 160934 1609340 63360

Die Tabelle liest du folgendermaßen: der Eintrag aus der ersten Zeile und ersten Spalte entspricht einem Kilometer, ausgedrückt in Zentimeter, der Eintrag aus der ersten Zeile und zweiten Spalte einem Kilometer, ausgedrückt in Millimetern usw.

Willst du also einen Kilometer in Zentimeter umrechnen, musst du einfach mit dem Wert der Tabelle multiplizieren, d. h. in der Tabelle stehen einfach die Umrechnungsfaktoren.

So ist laut Tabelle ein Yard genau 36 Inches lang.

Zeiteinheiten

Bei den Zeiteinheiten haben sich die Menschen international auf einen Standard geeinigt. Das siehst du zum Beispiel daran, dass an Silvester Feuerwerke aus der ganzen Welt im Fernsehen übertragen werden, die alle genau in Stundenabständen zueinander verschoben sind und alle den gleichen Countdown in Sekunden haben.

Eine Sekunde entspricht ungefähr dem Ruhepuls eines Menschen (also einem Puls von 60 Schlägen pro Sekunde).

Da das aber wieder kein verallgemeinerbarer Standard ist, da verschiedene Menschen unterschiedliche Pulsfrequenzen haben, hat man die Sekunde stattdessen über die Frequenz des sogenannten Hyperfeinstrukturübergang in Cäsium definiert.

Was das genau ist, ist etwas schwierig zu erklären. Wichtig ist nur, dass für alle Cäsiumatome im Universum diese Frequenz genau gleich ist und damit viel besser zur einer Standardisierung des Einheitensystems als beispielsweise ein Herzschlag geeignet ist.

Da das Zeitsystem auf dem 60er-System beruht, gibt es einige untypische Schritte, da das grundlegende Zahlensystem auf der 6 basiert und nicht auf der 10 (das siehst du daran, dass 60 Minuten eine Stunde sind und 24 Stunden ein Tag):

Einheit Abkürzung Umrechnung in Sekunden
Sekunde \( s \) \( 0,0166 \) 1
Minute \( min \) \( 60s \) 60
Stunden \(h \) \( 60min \) 3600
Tag \( d \) \( 24h \) 86400
Jahr \(a \) \( 365d/366d \) (für ein Schaltjahr) 31536000

Daneben gibt es nach unten hin noch viele kleinere Zeiteinheiten. Aus der Leichtathletik oder der Formel 1 kennst du beispielsweise die Millisekunden, es besteht nach unten hin aber noch viel Raum für kleinere Zeitabstände, die in der Physik und in der Elektrotechnik manchmal eine wichtige Rolle spielen.

Es gibt Experimente, bei denen Laserpulse im Bereich von Femtosekunden erzeugt werden. Das heißt, der Laser wird für einen Zeitraum von Femtosekunden angeschaltet und leuchtet kurz auf, wie wenn man eine Lampe nur ganz kurz anmacht.

Einheit Abkürzung in Sekunden
Millisekunde \( ms \) \( 10^-3 s\)
Mikrosekunde \( \mu s \) \( 10^-6s\)
Nanosekunde \( ns \) \( 10^-9s\)
Piksekunde \( ps \) \( 10^12s\)
Femtoseskunde \( fs \) \( 10^-15s\)

Gewichtseinheiten

Auch bei Gewichtseinheiten gibt es unterschiedliche Systeme. Da es in der Natur keinen wirklichen Grund gibt, warum ein Kilogramm ein Kilogramm ist, haben sich in unterschiedlichen Kulturen unterschiedliche Gewichtssysteme etabliert.

Die Basis des internationalen Einheitensystems ist das Gramm (g). Aus dem Alltag weißt du, dass ein Gramm nicht besonders viel ist.

Deshalb ist es nützlich, andere Einheiten zu verwenden, wenn es um sehr schwere Gewichte wie die von Autos, von Häusern oder auch von bestimmten Menschen geht.

Ähnlich wie bei den Längen können wir erst eine Tabelle aufstellen, die die Umrechnungsfaktoren innerhalb der SI-Gewichtsangaben angibt, um später die Umrechnungsfaktoren zwischen unterschiedlichen Systemen in einer eigenen Tabelle anzugeben:

Einheit Abkürzung in Gramm
Gramm \( g \) \(  1g\)
Kilogramm \( kg \) \(  1000 g\)
Tonne \( t \) \( 1000000g\)
Milligramm \( mg\) \( 0,001g\)
Mikrogramm \(\mu g \) \( 0,000001g \)

Da wir uns wieder innerhalb des metrischen Systems befinden, sind die Zusammenhänge zwischen den Einheiten immer in Zehnerschritten vorzufinden, die schön mit unserem Zahlensystem übereinstimmen und deshalb einfach zu rechnen sind.

Da Amerikaner gerne Kopfrechnen, sind hier die Zusammenhänge wieder etwas komplizierter:

Pound (lb)
Unze (oz)
Stone
Kilogramm (kg)
2,205 35,274 0,157
Gramm (g)
0,0022 0,0035 0,000157
Tonne (t)
2204,62 35274 157,47

Flächeneinheiten

Flächeneinheiten hängen eng mit Längeneinheiten zusammen, denn eine Fläche besteht immer aus zwei Längen.

Da wir aber, um eine Fläche zu erhalten, immer zwei Längen multiplizieren, ändern sich die Umrechnungsfaktoren: sie werden zu den Zweierpotenzen der vorherigen Umrechnungsfaktoren.

Beispiel: um von einem Zentimeter auf einen Meter zu gelangen, beträgt der Umrechnungsfaktor \( 100 \).

Um von einem Quadratzentimeter auf einen Quadratmeter zu gelangen, beträgt der Umrechnungsfaktor \( 100^2=10000 \), d. h. ein Quadratmeter besteht aus \( 10000 \) Quadratzentimetern.

Wie du verschiedene Flächen in Quadratmetern ausdrückst, fassen wir in folgender Tabelle zusammen:

Einheit Abkürzung in Quadratmetern
Quadratmeter \( m^2 \) \(  1 \)
Ar
\( a\) \(  100 \)
Hectar
\( ha\) \( 10000 \)
Kilometer \( km^2 \) \(  10^6\)
Zentimeter \( cm^2 \) \( 10^{-4} \)
Millimeter \( mm^2 \) \( 10^{-6} \)
Mikrometer \(\mu m^2 \) \( 10^{-12} \)

Volumeneinheiten

Ähnlich wie bei Flächeneinheiten verhält es sich bei Volumeneinheiten, denn diese sind aus drei Längeneinheiten zusammengesetzt.

Da wir aber, um ein Volumen zu erhalten, immer drei Längen multiplizieren, ändern sich die Umrechnungsfaktoren: sie werden zu den Dreierpotenzen der vorherigen Umrechnungsfaktoren.

Um bei dem gleichen Beispiel zu bleiben: um von einem Zentimeter auf einen Meter zu gelangen, beträgt der Umrechnungsfaktor \( 100 \).

Um von einem Kubikzentimeter auf einen Kubikmeter zu gelangen, beträgt der Umrechnungsfaktor \( 100^3=1000000 \), d. h. ein Quadratmeter besteht aus \( 1000000 \) Quadratzentimetern. Das im Alltag am häufigsten verwendete Volumen ist wahrscheinlich der Liter.

Davon ausgehend fassen wir gängige Volumen in Relation zum Liter in folgender Tabelle zusammen:

Einheit Abkürzung in Litern
Liter \( l/dm^3\) \(  1 \)
Milliliter
\( ml/cm^3\) \(  10^-3 \)
Kubikmeter
\( m^3\) \( 1000 \)
Hectoliter \( hl\) \(  100 \)

Geschwindigskeitseinheiten

Geschwindigkeitseinheiten sind eng mit Längeneinheiten und Zeiteinheiten verbunden, da nach der bekannten Formel \( v=\frac{s}{t} \) Geschwindigkeiten immer ein Verhältnis aus einer Längen- und Zeiteinheit darstellen.

Auch hier können wir wieder in einer Tabelle zusammenfassen, was es für typische Einheiten und Umrechnungen gibt:

km/h m/s Meilen/h yards/s
km/h 1 0,278 0,621 0,301
m/s 3,6 1 2,24 1,09
Meilen/h 1,609 0,45 1 0,489
yards/s 0,304 0,914 2,045 1

Aufgaben

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Einheiten umrechnen mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Rechne folgende Längeneinheiten um:

\( 1. \; 20m \text{ in inch}   \\ 2.\; 20km \text{ in } cm\\ 3.\; 400m \text{ in Meilen} \\ \)

Rechne folgende Gewichtseinheiten um:

\( 4.\; 20kg \text{ in Gramm} \\  5. \; 300g \text{ in Unzen}\\ 6. \; 2 t\text{ in pounds}\\ \)

Rechne folgende Flächeneinheiten um:

\(7. \; 20cm^2 \text{ in }m^2 \\ 8. \; 2m^2 \text{ in Quadratzoll} \\ \)

Rechne folgende Volumeneinheiten um:

\( 9. \; 3 \text{  Liter in }m^3 \\ 10. \; 5,6 \text{  Liter in }cm^3 \\ \)

Lösungen

Lösungen
  1. \(787,40 inch \)
  2. \(2\cdot 10^6 cm \)
  3. \( 0,0124 \text{ Meilen} \)
  4. \( 20000g \)
  5. \(10,58 oz \)
  6. \( 4409,25 \text{ pounds} \)
  7. \( 0,002 m^2\)
  8. \( 2 325 \text{ Quadratzoll} \)
  9. \( 0,003 m^3\)
  10. \( 5600 cm^3\)
Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

Pirabel