Gauß-Algorithmus

Kapitel aktualisiert am 05.11.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Gauß-Algorithmus als Teil der Linearen Gleichungssysteme im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, wie du lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen kannst, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Anwendung des Gauß-Algorithmus im LGS

Das Gauß-Verfahren wird auch Gaußsches Eliminationsverfahren genannt, da es bei diesem Algorithmus um die Eliminierung von Summanden in einem Linearen Gleichungssystem (LGS) geht.

Man spricht dabei von der „Treppenform“ oder „Stufenform“, da diese Summanden stufenweise gelöscht werden sollen. Ziel ist es, in der letzten Zeile nur eine unbekannte Variable stehen zu haben, die du durch Division des Vorfaktors sofort bestimmen kannst.

In jeder weiteren Zeile darüber kommt eine neue Unbekannte hinzu, die du durch Einsetzen der berechneten Variablen aus den vorherigen Zeilen bestimmen kannst.

Gauß-Algorithmus: Gleichung 1

Hier kannst du die Treppenform deutlich erkennen. Die markierten Summanden – also \( 2x_1, -3x_2, 1x_3 \) – musst du eliminieren. Wie das geht, zeigen wir dir im folgenden Abschnitt.

Vorgehensweise

Du kannst durch elementare Zeilenumformungen (du darfst die einzelnen Zeilen zueinander addieren oder voneinander subtrahieren und einzelne Zeilen mit konstanten Faktoren multiplizieren) die markierten Summanden zu Nullen umformen. Dafür gehst du nach dem Gauß-Algorithmus folgendermaßen vor:

Tipp: Tausche die Zeilen gegebenenfalls zu Beginn so aus, dass in der 1. Zeile die einfachsten Zahlen stehen. Somit erleichterst du die Rechenschritte, da die 1. Zeile in diesem Algorithmus am häufigsten verwendet wird.

1. Schritt: Eliminiere die 1. Variable in der 2. Zeile:

Betrachte die Vorfaktoren von \( x_1 \) in der 1. Zeile und in der 2. Zeile. Multipliziere im Kopf die erste Zeile mit einem Faktor, sodass der Vorfaktor von \( x_1 \) in der 1. und 2. Zeile gleich ist. Subtrahiere von der 2. Zeile die 1. Zeile­: 1. Null

2. Schritt: Eliminiere die 1. Variable in der 3. Zeile:

Betrachte die Vorfaktoren von \( x_1 \) in der 1. Zeile und in der 3. Zeile. Multipliziere im Kopf die erste Zeile mit einem Faktor, sodass der Vorfaktor von \( x_1 \) in der 1. und 3. Zeile gleich ist. Subtrahiere von der 3. Zeile die 1. Zeile­: 2. Null

3. Schritt: Eliminiere die 2. Variable in der 3. Zeile:

Betrachte die Vorfaktoren von \( x_2 \) in der 2. Zeile und in der 3. Zeile. Multipliziere im Kopf die zweite Zeile mit einem Faktor, sodass der Vorfaktor von \( x_2 \) in der 2. und 3. Zeile gleich ist. Subtrahiere von der 3. Zeile die 2. Zeile­: 3. Null

4. Schritt: Berechne die Variablen:

Durch Äquivalenzumformungen und Einsetzen der Zwischenergebnisse kannst du nun die Variablen bestimmen. Du beginnst mit der letzten Zeile und formst nach der letzten Variable um – diese ist die einzige Unbekannte in dieser Zeile.

In jeder weiteren Zeile darüber kommt eine neue Unbekannte hinzu, die du nun durch Einsetzen der berechneten Variablen aus den vorherigen Zeilen bestimmen kannst.

Beispiel

Beispiel:

Wir zeigen dir das Gauß-Verfahren am Beispiel aus der Einführung:

Gauß-Algorithmus: Gleichung 2

1. Schritt: Eliminiere die 1. Variable in der 2. Zeile: \( 2x_1 \rightarrow 0 \)

Multipliziere dazu die 1. Zeile mit der 2 und subtrahiere sie von der 2. Zeile. Die neuen Einträge der 2. Zeile lauten:

Gauß-Algorithmus: Gleichung 3

2. Schritt: Eliminiere die 1. Variable in der 3. Zeile: \( -3x_1 \rightarrow 0 \)

Hier kannst du die 1. Zeile mit der 3 multiplizieren und anschließend zur 3. Zeile addieren. Die neuen Einträge der 3. Zeile lauten:

Gauß-Algorithmus: Gleichung 4

3. Schritt: Eliminiere die 2. Variable in der 3. Zeile: \( 7x_2 \rightarrow 0 \)

Hier kannst du die 2. Zeile mit 7/3 multiplizieren und anschließend zur 3. Zeile addieren. Die neuen Einträge der 3. Zeile und somit der Endzustand der Matrix lauten:

Gauß-Algorithmus: Gleichung 5

4. Schritt: Berechne die Variablen:

\( 6x_3 = 6 | :6 \\ x_3 = 1 \\ \)

\( -3x_2 +3 \cdot 1 = -3 |-3 \\ -3x_2 = – 6 | : -3 \\ x_2 = 2 \\ \)

\(  1x_1 + 2 \cdot 2  – 1 \cdot 1 = 4 \\ x_1 + 3 = 4 | -3 \\ x_1 = 1 \\ \)

Das heißt, die Lösungsmenge lautet: \( L = \{1;2;1\} \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 5 Aufgaben zum Gauß-Algorithmus mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
  1. \( \left( \begin{align*} 1x_1 – 1x_2 + 1x_3 & = 3 \\ 2x_1 – 1x_2 + 3x_3 & = 4 \\ 1x_1 – 2x_2 + 1x_3 & = 0 \\ \end{align*}\right) \\ \)
  2. \( \left( \begin{align*} 2x_1 – 1x_2 + 1x_3 & = 3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 3x_3 & = 2 \\ 1x_1 – 2x_2 + 4x_3 & = 4 \\ \end{align*}\right) \\ \)
  3. \( \left( \begin{align*} 3x_1 + 3x_2 + 2x_3 & = 2 \\ -2x_1 + 3x_2 + 1x_3 & = 1 \\ 2x_1 – 1x_2 + 1x_3 & = 1 \\ \end{align*}\right) \\ \)
  4. \( \left( \begin{align*} 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 & = 2 \\ -1x_1 + 3x_2 + 1x_3 & = 1 \\ 2x_1 – 0x_2 + 1x_3 & = 4 \\ \end{align*}\right) \\ \)
  5. \( \left( \begin{align*} 1x_1 + 2x_2 + 2x_3 & = 1 \\ -1x_1 + 2x_2 + 1x_3 & = 6 \\ 1x_1 – 2x_2 + 1x_3 & = 4 \\ \end{align*}\right) \\ \)
Lösungen
  1. \(L =\{ 11;3;-5\}\)
  2. \(L =\{1;-0,5;0,5\}\)
  3. \(L =\{0;0;1\}\)
  4. \(L =\{-4;-5;12\}\)
  5. \(L =\{-1;4;-3\}\)
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