Gleichungen lösen

Kapitel aktualisiert am 26.09.2018

Oftmals hast du in der Mathematik eine Gleichung gegeben und musst nach der Variablen auflösen. In diesem Beitrag behandeln wir Gleichungen mit einer Variablen. Wenn du Gleichungen mit mehreren Variablen lösen willst, brauchst du lineare Gleichungssysteme.

Definition einer Gleichung
In der Mathematik versteht man unter Gleichung eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme.

Das Lösen von Gleichungen brauchst du unbedingt, wenn du Schnittpunkte bestimmen willst (dazu musst du nämlich zwei Terme gleichsetzen) oder Nullstellen ausrechnen möchtest (dazu musst du die Funktion gleich Null setzen).

Je nachdem was für ein Term vorliegt, gehst du verschieden vor, um nach x aufzulösen. Im Folgenden verschaffen wir dir einen Überblick und zeigen dir, wie du verschiedene Gleichungen Schritt für Schritt lösen kannst.

Äquivalenzumformung

Die Äquivalenzumformung eignet sich immer ganz gut bei linearen Gleichungen, also Gleichungen der Form \( m \cdot x + c = 0 \). Hierbei ist x die Variable, nach der du auflösen möchtest und \(m\) und \(c\) sind Platzhalter für Zahlen.

Ziel ist es, am Ende links vom Gleichheitszeichen nur noch x stehen zu haben und rechts vom = eine Zahl, also die Lösung der Gleichung: „ x = Zahl“. Dazu musst du alles, was links neben dem x an Zahlen steht, nach rechts bringen.

Das machst du mithilfe von Umkehrfunktionen. Dieses Vorgehen heißt Äquivalenzumformung, weil es sich nur um das Umstellen von Gleichungen handelt und die Aussage dabei äquivalent – also gleich – bleibt.

Umkehrfunktion

Was sind Umkehrfunktionen? Einfach gesagt, ist Plus das „Gegenteil“ von Minus und Minus das „Gegenteil“ von Plus. Plus und Minus heben sich gegenseitig auf. Genauso ist es mit „Mal“ und „Geteilt durch“.

Deshalb: Die Umkehrfunktion von Plus ist Minus, die Umkehrfunktion von Minus ist Plus, die Umkehrfunktion von der Multiplikation ist die Division usw. Die Funktionen in einer Zeile sind gegenseitige Umkehrfunktionen.

Funktion Umkehrfunktion
Addition Subtraktion
Multiplikation Division
n-te Wurzel ziehen n-te Potenz (hoch n rechnen)
Exponential Logarithmus

Wenn du also eines dieser Funktionen nach rechts bringen willst, um nach x aufzulösen, musst du dazu die Umkehrfunktion verwenden. Wichtig ist es dabei die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“ zu beachten. Du wendest sie nämlich genau andersrum an: „Strich vor Punkt vor Potenz“.

Das heißt:

  1. Strich Immer erst die Additition bzw. Subtraktion vom x lösen und mithilfe der Umkehrfunktion auf die andere Seite bringen.
  2. Punkt Als nächstes sind die Vorfaktoren von x dran: Die Multiplikation und Division werden umgekehrt.
  3. Potenz Und zu allerletzt darfst du die Wurzel ziehen oder potenzieren.

Die Klammern musst du von außen nach innen lösen! Auch das wird bei der Äquivalenzumformung genauso wie die Funktionen selbst und die Reihenfolge der Rechenoperatoren umgekehrt.

In den Beispielen unten zeigen wir dir, wie das genau geht.

Ausklammern

Das Ausklammern ist hilfreich bei kubischen Gleichungen, das heißt bei Gleichungen mit dem Grad 3 (die größte Hochzahl ist 3), wenn alle Summanden mit mindestens einem x multipliziert werden, also von der Form \( a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x = 0 \) sind. Dann kannst du nämlich x ausklammern: \( x \cdot ( a \cdot x^2 + b \cdot x + c ) = 0 \).

Der Satz des Nullproduktes besagt, dass bei einer Multiplikation eine von zwei Faktoren Null sein muss, damit das Produkt Null ist. Beispiel: Gleichung ist eine Multiplikation, die Null ergeben soll (siehe rechts, da steht eine Null). Das heißt, eine der beiden Faktoren, Faktor Nr. 1: \( x \) oder Faktor Nr. 2: \( ( a \cdot x^2 + b \cdot x + c ) \), muss Null ergeben, damit die Gleichung stimmt.

Das liefert schon die erste Lösung der Gleichung und zwar \( x_1 = 0 \), wenn Faktor Nr. 1 gleich Null sein soll. Die beiden anderen Lösungen erhältst du gegebenenfalls, indem du Faktor Nr. 2 gleich Null setzt. Dabei handelt es sich dann um eine quadratische Gleichung (siehe unten).

Beispiel: Kubische Gleichungen
\( x^3 – 2x^2 -3x = 0 \\ \) Bei allen Summanden ist ein x dabei, das heißt du kannst x ausklammern: \( x^3 – 2x^2 -3x = 0 \\ x \cdot  (x^2-2x-3)=0 \\ \)

Die erste Nullstelle \( x_1 = 0 \) kannst du sofort ablesen. Der Trick ist zu erkennen, dass jeder Term in der Gleichung ein x enthält. Die beiden anderen Nullstellen erhältst du aus der quadratischen Gleichung \( (x^2-2x-3) = 0 \), indem du die ABC-Formel oder die pq-Formel verwendest. Das Ergebnis lautet: \( x_2 = 3, x_3 = -1 \). Für den Rechenweg: siehe unten.

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen können keine, eine oder zwei Lösungen enthalten. Um quadratische Gleichungen zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel (auch ABC-Formel genannt), die pq-Formel oder auch den Satz von Vieta nutzen. Alle 3 Lösungswege liefern natürlich die gleiche Lösung.

Mitternachtsformel

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2\cdot a} \)

Die Mitternachtsformel nutzt du, wenn eine Gleichung dieser Form vorliegt: \( ax^2 + bx +c = 0 \)

Vorgehensweise

  1. a, b und c aus der Gleichung ablesen.
  2. a, b und c in die Formel einsetzen und vereinfachen.

pq-Formel

\( x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p}{2}^2-q} \)

Die pq-Formel nutzt du, wenn eine Gleichung in der Normalform vorliegt (das heißt, der Koeffizient vor dem \(x^2\) ist 1 und steht deshalb nicht da: \( x^2 + px + q = 0 \)

Vorgehensweise

  1. Die Gleichung bei Bedarf normieren. Das heißt, der Koeffizient vor \(x^2\) muss gleich 1 sein. Falls das nicht der Fall ist, musst du die ganze Gleichung durch den entsprechenden Koeffizienten teilen.
  2. p und q aus der Gleichung ablesen.
  3. p und q in die Formel einsetzen und vereinfachen.

Satz von Vieta:

\( x_1+x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \\\)

Der Satz von Vieta stellt den Zusammenhang zwischen den Lösungen der Gleichung \( x_1 \) & \(  x_2 \) und den Koeffizienten in der Gleichung \( p \) & \( q \) dar.

Um den Satz von Vieta anzuwenden, muss die Gleichung wieder normiert vorliegen: \( x^2 + px + q = 0 \)

Vorgehensweise

  1. Die Gleichung bei Bedarf normieren. Das heißt, der Koeffizient vor \(x^2\) muss gleich 1 sein. Falls das nicht der Fall ist, musst du die ganze Gleichung durch den entsprechenden Koeffizienten teilen.
  2. p und q aus der Gleichung ablesen.
  3. p und q in die beiden Formeln einsetzen.
  4. Ausprobieren, welche Zahlenkombinationen von x multipliziert q ergeben \( x_1 \cdot x_2 = q \).
  5. Die Zahlenkombination auswählen, die addiert auch die Bedingung \( x_1+x_2 = -p \) erfüllt.
Quadratische Gleichungen
\( x^2 – 2x -3 = 0\)

Mit der Mitternachtsformel:

  1. \( a=1, b=-2, c=-3 \)
  2. \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2\cdot a} \\ = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot -3}}{2\cdot 1} \\ \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \\ \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \\ \frac{2 \pm 4}{2} \\ x_1= \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ x_2=\frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Mit der pq-Formel:

  1. Die Gleichung ist bereits normiert.
  2. \( p=-2, q=-3 \)
  3. \( x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p}{2}^2-q} \\ = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\frac{-2}{2}^2-(-3)} \\ 1 \pm \sqrt{(-1)^2+3} \\1 \pm \sqrt{4} \\ 1 \pm 2 \\ x_1 = 1+2 =3 \\ x_2 = 1-2 = -1 \)

Mit dem Satz von Vieta:

  1. Die Gleichung ist bereits normiert.
  2. \( p=-2, q=-3 \)
  3. \( x_1+x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \)
  4. Diese Zahlenkombinationen ergeben multipliziert -3:
  5. \( -1 \cdot 3 = -3 \\ 1 \cdot -3 = -3  \)
  6. Überprüfen welche Zahlenkombinationen addiert 2 ergibt: \( -1 + 3 = 2 \\ 1 + (-3) = -2 \)

Das heißt, die richtige Lösung ist: \( x_1 = -1, x_2 = 3 \)

Substitution

Die Substitution ist ein Verfahren zur Vereinfachung von Gleichungen der Form \( a \cdot x^4+b \cdot x^2+c = 0 \) zu quadratischen Gleichungen.

Vorgehensweise

  1. Substitution: \( x^2 = u \) Du führst eine neue Variable ein (meist verwendet man hierbei u oder z), mit der du x hoch 2 substituierst (also „ersetzt“). Deine neue Gleichung lautet dann: \( a \cdot u^2 + b \cdot u + c \)
  2. Mitternachtsformel oder pq-Formel: Nun hast du eine quadratische Gleichung vorliegen. Diese kannst du jetzt mit der pq-Formel oder der Mitternachtsformel nach \( u_1 \) und \( u_2 \) auflösen.
  3. Resubstitution: Jetzt machst du die Substitution wieder rückgängig anhand \( u_1 \) und \( u_2 \). Dafür setzt du die Zahlen, die für u rausgekommen sind, mit dem x^2 gleich: \( x^2 = u_1 \) und \( x^2 = u_2 \) und löst nach x auf. Da du hierbei aus zwei Zahlen die Wurzel ziehst, kannst du 0-4 Lösungen für x erhalten.
Beispiel
\( x^4 – 2x^2 -3 \)
  1. Substitution: \( x^2 = u \) liefert \( u^2 – 2u -3 \)
  2. Mitternachtsformel und pq-Formel liefern: \( u_1 = 3 \) und \( u_2 = -1 \) – siehe oben bei „Quadratische Gleichungen“ für den Rechenweg.
  3. Resubstitution: \( x^2 = u_1\\  x^2 = 3 | \sqrt{} \\ x_1 = \sqrt{3}, x_2 = – \sqrt{3} \\ \)

    und \( x^2 = u_2\\  x^2 =-1 | \sqrt{} \\ \)

    liefern keine weiteren Lösungen, da du aus einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen kannst.

Polynomdivision

Ein Polynom ist eine Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variable, die meist mit x bezeichnet wird: \( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_0 \\ \) und die Polynomdivision ist ein Verfahren, um Nullstellen von Polynomen zu berechnen.

Das heißt, wenn du eine Gleichung der Form \( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_0 = 0 \) vorliegen hast und der Grad der Funktion n (also die größte Hochzahl) 3 oder größer ist, löst du die Gleichung mithilfe der Polynomdivision.

Vorgehensweise

1. Schritt:  Erraten einer Nullstelle: Setze dazu für das x in deinem Polynom Zahlen zwischen -3 und 3 ein. Meist liegt eine Nullstelle in diesem Intervall und durch Ausprobieren findest du sie heraus. Mit dieser Nullstelle bildest du ein zweites Polynom der Form (x – erratene Nullstelle), durch das du teilen wirst.

2. Schritt: Polynomdivision: Du gehst ähnlich wie bei der schriftlichen Division vor:

  1. Setting: (Polynom) : (x – erratene Nullstelle) = hier wird das Ergebnis stehen. Achtung, nicht vergessen: Beide Polynome müssen eingeklammert werden!
  2. Division: Den ersten Summanden \( a_nx^n \) im Polynom teilst du durch x und schreibst das Ergebnis rechts \( a_nx^{n-1} \) auf.
  3. Multiplikation: Das multiplizierst du nun mit dem (x-erratene Nullstelle)-Polynom und schreibst das Ergebnis mit Klammern (!) und einem Minus vorneweg links unter dem Polynom in der nächsten Zeile auf.
  4. Subtraktion: Jetzt subtrahierst du diese Klammer von dem Term, der darüber steht und schreibst das Ergebnis darunter. Anschließend ziehst du (wie bei der schriftlichen Division) die nächste Zahl aus dem Polynom zum Ergebnis runter und wiederholst das Vorgehen, bis du das ganze Polynom dividiert hast und unten als Ergebnis der Subtraktion eine 0 steht.

3. Schritt : Ergebnis: Damit hast du eine Nullstelle und das Ergebnis hinter dem „=“ ist ein Polynom mit einem Grad niedriger (also 2), welches die restlichen Nullstellen enthält. Da es somit eine quadratische Gleichung ist, kannst du einfach die ABC-Formel bzw. die pq-Formel zur weiteren Nullstellenermittlung anwenden.

Horner-Schema

Das Horner-Schema ist eine super einfache Alternative, um der Polynomdivision auszuweichen. Wie Das ganze funktioniert erklären wir dir an einem Beispiel: \( 3x^3-15x+12 = 0 \)

1. Schritt: Erraten einer Nullstelle. Tipp: Setze dazu Zahlen zwischen -3 und 3 ein. Hier ist die erste Nullstelle \( x_1=1 \).

2. Schritt: Schreibe das Polynom geordnet nach absteigender Potenz auf. Ergänze dabei der Vollständigkeit halber fehlende Potenzen mit x, indem du einfach eine Null davor schreibst:

Horner Schema: 2. Schritt

3. Schritt: Schreibe die Vorfaktoren der Summanden einfach ab:

Horner Schema: 3. Schritt

4. Schritt: Mit dem ersten Vorfaktor machst du gar nichts. Das schreibst du einfach in die 4. Zeile. Jetzt nimmst du die Nullstelle, die du zu Beginn erraten hast, also 1, und multiplizierst das mit dem ersten Faktor. Das Ergebnis schreibst du unter den zweiten Faktor, addierst diese miteinander und die Summe schreibst du darunter in die 4. Zeile.

Horner Schema: 4. Schritt

5. Schritt: Nachdem du das mit dem ganzen Polynom durchgeführt hast, kannst du die Null am Ende wegstreichen und die 4. Zeile liefert dir dasselbe Ergebnis, wie bei einer Polynomdivision. Dazu verringerst du den Grad des Polynoms um 1, also von 3 auf 2 und schreibst die Potenzen mit x wieder zu den neuen Faktoren. Ab hier kannst du mit der ABC-Formel oder der pq-Formel weitermachen, da nun eine quadratische Gleichung vorliegt.

Horner Schema: 5. Schritt

Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren ist eine Möglichkeit, um Gleichungen durch Abschätzung zu lösen. Die Gleichung ist in der Form „f(x) = 0“ vorgegeben und liefert als Lösung die Nullstellen der Funktion f(x).

Vorgehensweise:

1. Schritt: Suche einen Startwert \( x_0 \) aus (Achte dabei darauf, dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ungleich Null sein soll! Also: \( f‘(x_0) \neq 0 \))

2. Schritt: Berechne \( x_1\) mit der Formel \( x_{n+1} = x_n + \frac{f(x_n)}{f‘(x_n)} \). Dazu setzt du \( x_0\) in die Formel ein und erhältst \( x_1 \).

3. Schritt: Und jetzt setzt du \( x_1 \) in die Formel ein, um \( x_2 \) zu erhalten und dann \( x_2 \) in die Formel ein, um \( x_3 \) zu erhalten usw. Das machst du solange, bis sich bei zwei aufeinanderfolgenden x die ersten Nachkommastellen nicht mehr ändern. Das heißt, du hast mithilfe dieser Rechnung die Nullstelle der Funktion bis auf die ersten Nachkommestellen genau abgeschätzt.

Achtung: Das Newton-Verfahren darfst du nicht bei linearen Gleichungen anwenden.

Beispiele

Lineare Gleichungen
\( 2x-5 = 3 \\\)

Diese Gleichung ist eine lineare Gleichung, da sie die Form \( m \cdot x + c = d \) hat mit \( m = 2, c = -5, d = 3 \).

  1. Strich: Du bringst die -5 nach rechts, indem du auf beiden Seiten +5 rechnest.
  2. Punkt: Du bringst die mal 2 nach rechts, indem du auf beiden Seiten geteilt durch 2 rechnest.
\( 2x-5 = 3 | +5 \\ 2x = 8 | :2 \\  x = 4  \) 
Wurzelgleichung
\( \sqrt[3]{2x^2+1} = 2 \\\)

Von außen nach innen: Um diese Gleichung zu lösen, musst du erst die dritte Wurzel links wegbekommen. Das machst du anhand der Umkehrfunktion, das heißt auf beiden Seiten rechnest du „hoch 3“, damit die Wurzel aufgehoben ist. Und dann:

  1. Strich: u bringst die „+1“ nach rechts, indem du „-1“ rechnest.
  2. Punkt: Du bringst die mal 2 nach rechts, indem du auf beiden Seiten geteilt durch 2 rechnest
  3. Potenz: Du hebst das Quadrat auf, indem du auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehst.
\( \sqrt[3]{2x^2+1} = 2 | ^3 \\ 2x^2+1 = 8 | -1\\ 2x^2 = 7 | :2 \\ x^2 = 3,5 \\ x_1 = 1,87, x_2 =-1,87  \)
Bruchgleichungen
 \( \frac{1}{2x+1} + \frac{2}{3x-2} = 0 \\\)
  1. Um diese Gleichung zu lösen, musst du erkennen, dass Brüche nichts weiter als eine Division der Zähler durch die Nenner sind. Und die Umkehrfunktion zur Division ist die Multiplikation. Das heißt, um hier nach x aufzulösen, musst du die Gleichung auf beiden Seiten mit den Nennern der beiden Brüche multiplizieren.
  2. Nachdem du diesen Schritt weitestgehend vereinfachst, steht links eine quadratische Gleichung und rechts 7x. Indem du -7x rechnest, bringst du die 7x in die quadratische Gleichung, die gleich Null sein soll.
\( \frac{1}{2x+1} + \frac{2}{3x-2} = 1 | \cdot(2x+1)\\ 1 + \frac{2}{3x-2} \cdot (2x+1) = 2x+1 | \cdot (3x-2) \\ 1 \cdot (3x-2) + 2\cdot (2x+1)  = (2x+1) \cdot (3x-2) \\ 3x-2 + 4x+2 = 6x^2-x-2 \\ 7x= 6x^2-x-2 |-7x \\ 0 = 6x^2-8x-2   \\\)

Die Brüche sind nun aufgehoben und es liegt eine quadratische Gleichung vor. Nun kannst du die ABC-Formel oder die pq-Formel anwenden. Dann bekommst du als Lösung: \( x_1 = 1,62, x_2=-0,29\)

Potenzgleichungen
\( 6x^4= 96 \\\)

Um diese Gleichung zu lösen, musst du die Umkehrfunktion der Potenz anwenden: also die Wurzel ziehen. Da es sich um die Potenz mit der Hochzahl 4 handelt, ziehst du dementsprechend die 4.Wurzel:

\( 6x^4= 96 | :6 \\ x^4 = 16 | \sqrt[4]{} \\ x_1 = 2, x_2 = -2 \\\)

Beachte hierbei, dass die Lösung immer zwei Zahlen enthält, wenn der Wurzelexponent (in diesem Falle 4 ) gerade und positiv ist und genau eine Lösung, wenn der Wurzelexponent ungerade und positiv ist.

Betragsgleichungen
Die Betragsfunktion liefert immer eine positive Zahl; egal ob du den Betrag von einer positiven oder einer negativen Zahl betrachtest. Für die Umkehrfunktion heißt es, ähnlich wie beim Wurzel ziehen:

  • Wenn in der Gleichung |x| = „positive Zahl“ steht, gibt es zwei Lösungen: +x und -x
  • Wenn in  der Gleichung |x| = „negative Zahl“ steht, gibt es keine Lösungen.

Beispiel: \( 5 \cdot |x|^2 = 20 \)

Zuerst musst du wieder die Äquivalenzumformung durchführen, bis links nur noch Betrag x stehen bleibt:

  1. Strich: Es gibt keine Addition oder Subtraktion, die hier umgekehrt werden muss.
  2. Punkt: Um das „mal 5“ wegzubekommen, teilst du auf beiden Seiten durch 5.
  3. Potenz: Um das Quadrat wegzubekommen, ziehst du auf beiden Seiten die Wurzel.
\( 5 \cdot |x|^2 = 20 | :5 \\ |x|^2 = 4 | \sqrt{} \\ |x| = 2   \\\)

2 ist eine positive Zahl, das heißt, es gibt zwei Zahlen, die du für x einsetzen kannst, sodass der Betrag 2 ergibt und diese sind: \( x_1 = 2, x_2=-2 \)

Exponentialgleichungen
\( e^{2x+1} = 3 \\\)

Von außen nach innen: In dieser Gleichung steht x oben im Exponenten, was nun? Keine Panik, die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion und kann deshalb die e-Funktion links ganz verschwinden lassen, also den ganzen Exponenten da runterbringen, sodass du ganz einfach mit der Äquivalenzumformung weiter umformen kannst:

  1. Strich: Um die „+1“ wegzubekommen, rechnest du auf beiden Seiten „-1“.
  2. Punkt: Um die „mal 2“ wegzubekommen, teilst du auf beiden Seiten durch 2.
\( e^{2x+1} = 3 | ln \\ 2x+1 = ln(3) | -1 \\ 2x = ln(3)-1 | :2 \\ x = \frac{ln(3)-1}{2} = 0,05\)
Logarithmusgleichungen
\( ln(1+x) = 4 \\\)

Von außen nach innen: Und diesmal steht x in einer ln-Klammer. Wie löst du das jetzt auf? Natürlich wieder mit der Umkehrfunktion, also der Exponentialfunktion. Diese kannst du auf beiden Seiten anwenden, damit links der Logarithmus verschwindet und du wieder ganz einfach mit der Äquivalenzumformung weitermachen kannst:

  1. Strich: Um die „+1“ wegzubekommen, rechnest du auf beiden Seiten „-1“.
\( ln(1+x) = 4 | e \\ 1+x = e^4 | -1 \\ x = e^4-1 = 53,6 \)
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