Integralrechner – Online integrieren

Kapitel aktualisiert am 19.07.2018

Integralrechner Unbestimmtes Integral

Integralrechner Bestimmtes Integral

Integralrechnung

Die Integralrechnung stellt in gewissem Sinne das Gegenstück zu Differentialrechnung dar. In der Differentialrechnung geht es darum, zu einer Funktion \(f(x)\)  die Ableitung \(f'(x)\)  zu bestimmen. Dagegen wird in der Integralrechnung zu \(f(x)\)  die Stammfunktion \(F(x)\)  gesucht, die durch die Gleichung \(F'(x) = f(x)\)  definiert ist. Leider ist das Finden der Stammfunktion oft deutlich schwieriger als die Berechnung der Ableitung.

Als erstes wichtiges Ergebnis halten wir fest, dass es streng genommen immer unendlich viele Stammfunktionen gibt. Denn wenn \(F(x)\)  eine Stammfunktion von \(f(x)\)  ist, ist natürlich auch \(F(x) + K\)  eine Stammfunktion. Darin bezeichnet \(K\) eine beliebige Konstante, die als Integrationskonstante bezeichnet wird. Weil diese Konstante meist keine Rolle spielt, wählen wir im Folgenden immer \(K=0\)  und sprechen kurz von „der Stammfunktion“, als gäbe es nur eine.

Anwendungsgebiete der Integralrechnung

Historisch verdankt die Integralrechnung ihre Entstehung dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung. Denn das Integral \(\int _a^bf(x)\mathit{dx}\) gibt die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)\) und der x-Achse im Intervall zwischen a und b an.

Dabei ist zu beachten, dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden. Natürlich muss es sich dabei nicht um eine „Fläche“ im geometrischen Sinne handeln. Wenn Du mit zeitabhängiger Geschwindigkeit \(v(t)\) läufst, gibt \(\int _0^{\mathit{t1}}v(t)\mathit{dt}\) die bis zum Zeitpunkt \(t1\) zurückgelegte Strecke an.

Dies ist die Fläche im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Der Zusammenhang zwischen der Fläche und der Stammfunktion ist einfach, denn es gilt \(\int _a^bf(x)\mathit{dx} = F(b) – F(a) \).

Daran erkennst Du auch, warum die Integrationskonstante unwichtig ist, denn offensichtlich gilt \(F(b) – F(a) = (F(b) + K) – (F(a) + K) \).

Außerdem erkennt man sofort zwei einfache Regeln:

Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden, es gilt also \(\int c\cdot f(x)\mathit{dx}=c\cdot \int f(x)\mathit{dx}\). Außerdem ist das Integral einer Summe gleich der Summe der Integrale, also \(\int f(x)+g(x)\mathit{dx}=\int f(x)\mathit{dx}+\int g(x)\mathit{dx}\).

Aber natürlich gilt das nicht für Produkte und Quotienten zweier Funktionen!

Stammfunktionen bestimmen

In einfachen Fällen durch intelligentes Raten. Du schaust Dir die Funktion f(x) an und überlegst, welche Funktion F(x) wohl die Ableitung f(x) haben könnte. Für Potenzfunktionen klappt das zum Beispiel sehr gut, denn offensichtlich ist  \(\frac 1{n+1}\cdot x^{n+1}\) die Stammfunktion von \(x^n\) (Die wichtige Ausnahme ist \(n= -1\). Die Stammfunktion von \(1/x\) ist \(ln(|x|)\) ).

Auf ähnlich einfache Weise sieht man, dass \(sin(x)\) die Stammfunktion \(-cos(x)\) hat und \(e^{\mathit{kx}}\) die Stammfunktion \(\frac 1 k\cdot e^{\mathit{kx}}\).

Wenn die Stammfunktion nicht so leicht zu erraten ist, helfen ein Integrationsrechner oder eine der Tabellen von bekannten Stammfunktionen, die Du in Mathematikbüchern oder natürlich auch im Internet findest. Aber natürlich gibt es unendlich viel Funktionen und nicht zu jeder hat schon jemand die Stammfunktion berechnet. Manchmal helfen dann die beiden weiter unten beschriebenen Verfahren „Partielle Integration“ oder „Integration durch Substitution“, aber leider nicht immer.

Hat denn jede Funktion eine Stammfunktion?

Naja, zumindest jede Funktion, an die Du jetzt vermutlich denkst. Also jede stetige Funktion, zu der Du einen Graphen aufs Papier malen kannst. Ansonsten machen wir hier um die Fragen der Integrierbarkeit und der Existenz von Stammfunktionen einen großen Bogen, weil das Thema beliebig kompliziert wird, je genauer man hinschaut. Zu allem Überfluss gibt es auch noch die so genannten „nicht elementar integrierbaren Funktionen“.

Dazu musst Du wissen, dass alles was Du (hoffentlich) so kennst, also Sinus, Logarithmus und so weiter, nur spezielle Funktionen sind, denen irgendwann mal irgendwer einen Namen gegeben hat. Nun lässt sich aber nicht jede beliebige der unendliche vielen Funktion durch diese endliche Anzahl so genannter „elementarer Funktionen“ ausdrücken. Dazu zählt zum Beispiel die Stammfunktion von \(f(x)= sin(x)/x\). Dieses merkwürdige Ding hat eine Stammfunktion, man kann sie aber nicht durch die elementaren Funktionen ausdrücken. Soll heißen: Es gibt sie, aber man kann sie nicht vernünftig aufschreiben.

Was es alles gibt… Aber genug davon! Wir haben es ja nur erwähnt, weil sonst bestimmt irgendjemand meckern würde, dass der Zusammenhang zwischen Integralen und Stammfunktionen in Wahrheit sehr viel komplizierter ist, als wir es oben beschrieben haben.

Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst“

So drücken Mathematiker gelegentlich scherzhaft aus, dass es kein immer funktionierendes Verfahren zur Berechnung der Stammfunktion gibt, anders als bei der Berechnung einer Ableitung. Manchmal hilft nur die numerische Integration, weil man keine Stammfunktion findet.

Im Prinzip wird dabei die Fläche unter einem Graphen näherungsweise in sehr viele Rechtecke zerlegt und die Flächen der Rechtecke werden addiert. Heute ist das mit Computern sehr einfach und sehr genau möglich. Probiere es aus, so ein Programm ist leicht zu schreiben!

Bestimmte Integrale, unbestimmte Integrale und uneigentliche Integrale

Wenn man sich allgemein für die Stammfunktion interessiert, lässt man beim Integralzeichen einfach die Grenzen weg. Ein solches Integral \(\int f(x)\mathit{dx}\) wird als unbestimmtes Integral bezeichnet. Geht es dagegen um den konkreten Wert des Integrals in vorgegeben Grenzen, also \(\int _a^bf(x)\mathit{dx}\), spricht man von einem bestimmten Integral. Einen Sonderfall stellen „uneigentliche Integrale“ dar, bei denen eine oder beide Grenzen im Unendliche liegen. Damit ist natürlich ein Grenzwert gemeint. Ein Beispiel ist \(\int _0^{\infty }{e}^{-x}\mathit{dx}\), was nichts anderes bedeutet als \(\lim _{b\rightarrow \infty }\int _0^b{e}^{-x}\mathit{dx}\).

Dieses unbestimmte Integral ist übrigens leicht zu berechnen, da die Stammfunktion von \({e}^{-x}\) natürlich \(-e^{-x}\) lautet. Damit ergibt sich der Wert des Integrals zu \(\lim _{b\rightarrow \infty }(-e^{-b}-(-e^0)) = 0+1 =1\).

Die partielle Integration

Wir kommen damit zu einem der beiden Verfahren (das andere ist die Integration durch Substitution), mit denen Du Stammfunktionen bestimmen kannst, wenn sie nicht leicht zu erkennen sind. Im Kern geht es bei beiden Verfahren darum, unbekannte Integrale auf bekannte zurückzuführen. Die Grundgleichung der partiellen Integration lautet \(\int f(x)\cdot g'(x)\mathit{dx}=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathit{dx}\).

Es geht also um ein Produkt aus zwei Funktionen. Die Kunst besteht darin, \(f(x)\) und \(g'(x)\) so zu wählen, dass das Integral auf der rechten Seite leichter zu bestimmen ist als das auf der linken Seite.

Zunächst ist klar, dass Du als \(g'(x)\) etwas wählen musst, dessen Stammfunktion Du kennst oder nachschlagen kannst – sonst ist an dieser Stelle schon Schluss, weil Du \(g(x)\) nicht kennst. Außerdem sollte \(f'(x)\) einfacher zu behandeln sein als \(f(x)\). Im wahren Leben garantiert natürlich niemand, dass das Integral so aussieht, dass alles reibungslos funktioniert. Aber solltest Du zu der verschwindend kleinen Minderheit gehören, die bei „Integralrechnung“ eher an die nächste Klausur als an die Bewahrung einer abendländischen Kulturtechnik denken, kannst Du einigermaßen sicher sein, dass die Aufgaben schon passend gewählt sind und das Ganze recht glatt funktioniert. Sehr beliebt sind Produkte von x mit irgendetwas Handlichem wie einer e-Funktion oder einer trigonometrischen Funktion. Betrachte zum Beispiel das Integral \(\int x\cdot {e}^x\mathit{dx}\).

Hier springt Dich die Lösung förmlich an. Wähle \(f(x)=x\), dann ist \(f'(x) =1\) , was das rechte Integral spürbar vereinfacht. Da die e-Funktion sich selbst als Stammfunktion hat, ist \(g'(x) = e^x\) natürlich auch eine gute Wahl, weil dann auch \(g(x)={e}^x\ \) gilt.

Setzen wir diese Funktionen in die Grundformel ein, erhalten wir \(\int x\cdot {e}^x\mathit{dx}=x\cdot {e}^x-\int {e}^x\mathit{dx}= (x-1) e^x\).

Wenn höhere Potenzen von x auftauchen, muss die partielle Integration mehrfach ausgeführt werden. In jedem Schritt reduziert sich die Potenz um eins. Betrachte das Integral \(\int x^2\cdot {e}^x\mathit{dx}\).

Wähle \(f(x) = x^2\)und wieder \(g'(x) = {e}^x \). Dann ist \(f'(x) = 2x\) und \(g(x)\) wieder \({e}^x\).

Wir setzen wieder in die Grundformel ein und erhalten \(\int x^2\cdot {e}^x\mathit{dx}=x^2\cdot e^x\mathit{dx}-\int 2x\cdot {e}^x\mathit{dx}\).

Das Integral auf der rechten Seite haben wir oben (bis auf den Faktor 2) schon berechnet, es lautet \( \int 2x\cdot {e}^x\mathit{dx} = 2(x-1) {e}^x\) .

Damit erhalten wir also \(\int x^2\cdot {e}^x\mathit{dx} = (x^2-(2x-1))e^x = (x^2-2x+2)e^x\).

Mit Produkten aus Potenzen von \(x\) und \(sin(x)\) oder \(cos(x)\) funktioniert das ähnlich einfach! Wichtig ist, dass \(g(x)\) nicht „schwieriger“ ist, wenn \(g'(x)\) die Sinus- oder Cosinusfunktion ist, ähnlich wie das bei der e-Funktion der Fall ist. Auch hier wird so oft partiell integriert, bis die störenden x-Potenzen im Integral verschwunden sind.

Integration durch Substitution

Hier geht es um verkettete Funktionen. Damit sind Funktionen gemeint, deren Argument selbst wieder eine Funktion ist. So etwas kennst Du schon, nämlich als Kettenregel für die Berechnung von Ableitungen. Diese lautet für eine verkettete Funktion \(f(g(x))\):

\(\frac d{\mathit{dx}}(f(g(x)))=f'(g(x))\cdot g'(x)\), also „äußere Ableitung mal innere Ableitung“.

Wir integrieren diese Gleichung und erhalten \(f(g(x))=\int f'(g(x))\cdot g'(x)\). Wenn \(F\) wie üblich die Stammfunktion von \(f\) bezeichnet, können wir dies auch schreiben als \(F(g(x))=\int f(g(x))\cdot g'(x)\mathit{dx}\).

(Der letzte Schritt war nur eine Umbenennung der Funktion \(f‘\) in \(f\). Wir hätten statt \(F\) und \(f\) auch eine andere Bezeichnung wählen können, zum Beispiel \(H\) und \(h\).)

Dies ist die Grundgleichung für die Integration durch Substitution. Wirklich schön funktioniert das, wenn das Integral zufällig genau so aussieht, dass die verkettete Funktion mit der inneren Ableitung multipliziert wird. Zum Beispiel: \(\int 3x^2\cdot \sin x^3=-\cos x^3\).

Weil die Ableitung der inneren Funktion \(x^3\) passenderweise mit der Sinusfunktion multipliziert wird, war das wirklich sehr einfach, oder? Wir brauchten bisher nicht einmal etwas zu substituieren.

Betrachten wir nun das Integral \(\int (x+5)^7\mathit{dx}\). Hier führen wir nun tatsächlich eine Variablensubstitution durch, indem wir definieren \(g(x) = x+5\). Daraus ergibt sich \(g'(x) =1\).

Die „äußere Funktion“ \(f\) lautet \( f(g)=g^7\). Weil \(g'(x) =1\) gilt, können wir das Integral \(\int f(g)\mathit{dg}\) einfach mit \(g'(x)\) multiplizieren (very tricky!) und das Integral hat damit wieder die Form \(\int f(g(x))\cdot g'(x)\mathit{dx}\) und die Stammfunktion lautet daher \(F(g)=\frac 1 8\cdot g^8\).

Jetzt führen wir die Rücksubstitution \(g(x) = x+5\) durch und erhalten die Lösung \(\int (x+5)^7\mathit{dx}=\frac 1 8(x+5)^8\).

Interessant ist, was sich ändern würde, wenn vor dem \(x\) ein Faktor \(a\) stünde, also das Integral \(\int (\mathit{ax}+5)^7\mathit{dx}\) zu bestimmen wäre. In diesem Fall wäre \(g(x) = ax+5\) und damit \(g'(x) = a\). Um das Integral wieder in die Form \(\int f(g(x))\cdot g'(x)\mathit{dx}\) zu bringen, schreiben wir es in der Form \(\frac 1 a\int af(g)\mathit{dg}\) oder also, weil \(f(g)=g^7\) \(\frac 1 a\int ag^7\mathit{dg}\) und erhalten als Stammfunktion \(\frac 1 a\frac 1 8g^8\) oder also, nach Rücksubstitution, \(\frac 1 a\frac 1 8(\mathit{ax}+5)^8\).

Dieses Ergebnis ist ein Spezialfall einer sehr wichtigen Regel, die lineare Substitution genannt wird:

Wenn \(F(x)\) die Stammfunktion von \(f(x)\) ist, dann ist \(\frac 1 aF(\mathit{ax}+b)\) die Stammfunktion von \(f(ax+b)\) .

Dir ist sicher aufgefallen, dass in allen Beispielen alles prima passte, weil nach der Substitution der Variablen \(g\) kein \(x\) mehr auftauchte und der Integrand die passende Form für die Substitutionsgleichung angenommen hat. Aber genau das ist im Kern der Witz des Verfahrens:

Aus dem Integral \(\int f(x)\mathit{dx}\) wird durch Substitution einer Variablen \(g(x)\) das Integral \(\int f(g)\mathit{dg}\).

Die so genannten Differentiale \(dg\) und \(dx\) hängen über die Gleichung \(\mathit{dg}=\frac{\mathit{dg}}{\mathit{dx}}\mathit{dx}=g'(x)\mathit{dx}\) zusammen. Die Kunst besteht nun darin, \(g(x)\) so zu wählen, dass in \(\int f(g)\mathit{dg}\) tatsächlich nur noch \(g\) als Variable auftaucht und das Integral darüber hinaus lösbar ist. Das funktioniert längst nicht für alle Integrale und wenn es funktioniert, brauchst Du manchmal viel Erfahrung und mathematisches Gespür, um eine passende Substitution zu finden. (Online) Integrieren ist eben wirklich kein Handwerk, sondern eine Kunst!


Zu viele Formeln? Das Ganze gibt es auch noch als Video anhand eines praxisnahen Beispiels erklärt:

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