Integrationsregeln

Kapitel aktualisiert am 06.11.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Integrationsregeln als Teil der Integration im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, welche Regeln du beim Integrieren von Funktionen beachten musst, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Grundlegendes zur Integration

Bei der Integration geht es um die Bestimmung der Stammfunktion \( F(x) \) einer Funktion \( f(x) \). Dazu wird die Funktion f(x) integriert, also aufgeleitet. Genauso, wie es beim Ableiten von Funktionen Ableitungsregeln gibt, die du beachten musst, gibt es diese auch für die Integration.

Integrationsregeln

Im Folgenden erklären wir dir alle wichtigen Aufleitungsregeln und zeigen dir Beispiele dazu.

Potenzregel

Beim Integrieren von Potenzfunktionen \( x^n \) gehst du wie folgt vor: du erhöhst den Exponenten n um 1 und teilst die Potenz durch (n+1).

Formel: \( \int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \)

Beispiele:
  1. \( \int x^2 dx = \frac{1}{3} x^{3} + C \)
  2. \( \int x^3 dx = \frac{1}{4} x^{4} + C \)
  3. \( \int x dx = \frac{1}{2} x^{2} + C \)

Faktorregel

Beim Integrieren von Funktionen, die mit einem konstanten Faktor \( a \) multipliziert werden, kannst du den Faktor a auch vor das Integralzeichen ziehen, da dieser nicht „mitintegriert“ wird, sondern so erhalten bleibt. Dies vereinfacht die Berechnung des Integrals.

Formel: \( \int a \ cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x) dx \)

Beispiele:
  1. \( \int 4 \cdot x^2 dx = 4 \cdot \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C = frac{4}{3} x^{3} + C \)
  2. \( \int 2 cos(x) dx = 2 \cdot \int cos(x) dx = 2 sin(x) + C \)
  3. \( \int 3 e^x dx = 3 \cdot \int e^x dx = 3 e^x + C \)

Summenregel

Beim Integrieren von einer Summe von Funktionen \( f(x) + g(x) \) musst du beide Funktionen einzeln integrieren und diese anschließend addieren.

Formel: \( \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \)

Beispiele:
  1. \( \int x + 1 dx = \int x dx + \int 1 dx = \frac{1}{2} x^2 + x + C \)
  2. \( \int sin(x) + cos(x) dx = \int sin(x) dx + \int cos(x) dx = -cos(x) + sin(x) \)
  3. \( \int e^x + 2 dx = \int e^x dx + \int 2 dx = e^x + 2x \)

Differenzregel

Beim Integrieren von einer Differenz von Funktionen \( f(x) – g(x) \) musst du beide Funktionen einzeln integrieren und diese anschließend subtrahieren – analog zur Addition.

Formel: \( \int f(x) – g(x) dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx \)

Beispiele:
  1. \( \int x – 1 dx = \int x dx – \int 1 dx = \frac{1}{2} x^2 – x + C \)
  2. \( \int sin(x) – cos(x) dx = \int sin(x) dx – \int cos(x) dx = -cos(x) –sin(x) \)
  3. \( \int e^x – 2 dx = \int e^x dx – \int 2 dx = e^x – 2x \)

Partielle Integration

Die partielle Integration behandelt die Integration von einem Produkt zweier Funktionen \( f(x) \cdot g(x) \). Ziel dabei ist es, die Funktion g(x) durch die Ableitung zu vereinfachen. Ansonsten darfst du das Produkt zweier Integrale nicht auseinanderziehen, wie es beispielsweise bei der Summen- und Differenzregel der Fall ist. Diese Regel ist optional und dient nur zur Vereinfachung des Integrals.

Formel: \( \int f‘(x) \cdot g(x) dx = f(x) \cdot g(x) – \int f(x) \cdot g‘(x) dx \)

Beispiele:
  1. \( \int e^x \cdot x dx = e^x \cdot x – \int e^x \cdot 1 dx \\ = e^x \cdot x –  e^x  \\ = e^x \cdot (x-1) \)
  2. \( \int ln(x) \cdot x dx = x \cdot ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} dx \\ = x \cdot ln(x) – \int 1 dx \\ = x \cdot ln(x) – x \)
  3. \( \int  cos(x) \cdot x dx = sin(x) \cdot x   – \int sin(x) \cdot 1 dx \\ = sin(x) \cdot x + cos(x) \)

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution verwendest du genau dann, wenn die Funktion f(x) als Verkettung vorliegt. Das heißt, beim Ableiten würdest du die Kettenregel anwenden und beim Integrieren kannst du mit der Substitution arbeiten.

Formel: \( \int f(x) dx = \int f(g(z)) \cdot g‘(z) dz \)

Beispiel:
\( F(x) = \int f(x) dx = \int e^{2x} dx \\ \rightarrow Substituieren: z = 2x \rightarrow x = \frac{1}{2}z \\  F(z) = \frac{1}{2} \int e^z dz = \frac{1}{2}e^z + C \\ \rightarrow Resubstituieren:  z = 2x \\ F(z) = \frac{1}{2}e^z + C = \frac{1}{2}e^{2x} + C \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Integrationsregeln mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die folgenden Integrale:

  1. \( \int 1 dx \)
  2. \( \int x^2 dx \)
  3. \( \int x^2 + 3x dx \)
  4. \( \int \frac{1}{2} x^3 dx \)
  5. \( \int \pi \cdot e^x dx \)
  6. \( \int 4x-4 dx \)
  7. \( \int ln(x) \cdot 1 dx \)
  8. \( \int sin(x) \cdot cos(x) dx \)
  9. \( \int 2x – 3x^2 + 4x^3 dx \)
  10. \( \int x \cdot \sqrt{x+1}^3 dx \)
Lösungen
  1. \( F(x) = x + C \)
  2. \( F(x) = \frac{1}{2}x + C \)
  3. \( F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2 + C \)
  4. \( F(x) = \frac{1}{12}x^4 + C \)
  5. \( F(x) = \pi \cdot e^x + C  \)
  6. \( F(x) = 2x^2-4x + C \)
  7. \( F(x) = ln(x) \cdot x – x + C \)
  8. \( F(x) = \frac{1}{2} sin^2(x) + C \)
  9. \( F(x) = x^2 – x^3 + x^4 + C  \)
  10. \( F(x) = \frac{2}{7}\cdot \sqrt{x+1}^7 – \frac{2}{5} \cdot \sqrt{x+1}^5 + C \)  
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