Inverse Matrix berechnen

Kapitel aktualisiert am 30.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Inverse Matrix als Teil der Matrizenrechnung im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, wie du mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus die Inverse einer Matrix berechnen kannst, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Zusammenhang zwischen Determinante und Inverse

Nicht jede Matrix \( A \) hat ein Inverses. Damit du die Inverse Matrix \( A^{-1} \) berechnen kannst, musst du zunächst überprüfen, ob diese überhaupt existiert.

Das Inverse einer Matrix existiert genau dann, wenn alle Zeilen und Spalten der Matrix linear unabhängig sind, sprich wenn die Determinante ungleich null ist. Also:

Bedingung: \( det(A) \neq 0 \)

Eigenschaften einer inversen Matrix

  1. Für das Inverse eines Matrixproduktes gilt:
\( (A \cdot B)^{-1} = b^{-1} \cdot A^{-1} \\ \)
  1. „Erst transponieren und dann invertieren“ ist das gleiche wie „erst invertieren und dann transponieren“:
\( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \\ \)
  1. Die Inverse der Inversen einer Matrix ist wieder die Matrix selbst:
\( (A^{-1})^{-1} \\ \)
  1. Für die Multiplikation der Inversen mit einem Skalar k ungleich Null gilt:
\( (k \cdot A)^{-1} = k^{-1} \cdot A^{-1} \\ \)

Berechnung einer inversen Matrix (Gauß-Jordan Algorithmus)

Nachdem du dir über die Existenz der inversen Matrix im Klaren bist, kannst du mit der Berechnung fortfahren. Du suchst die inverse Matrix \( A^{-1} \), die das erfüllen muss:

Ziel: \( A \cdot A^{-1} = E \)

Sprich: Eine Matrix \( A \), die mit ihrer Inversen \( A^{-1} \) multipliziert wird, ergibt die Einheitsmatrix \( E \). Dabei wendest du am besten den Gauß-Jordan Algorithmus an.

Inverse einer n x m Matrix

Vorgehensweise:

  1. Schritt: Zeichne eine vertikale Linie, trage links davon die Matrix A ein und rechts davon die Einheitsmatrix E.
  2. Schritt: Nun musst du mit dem Gauß-Jordan Algorithmus die Matrix A zu der Einheitsmatrix umformen. Alle Zeilenoperationen, die du dafür auf die Matrix A anwendest, wendest du auch auf die Einheitsmatrix rechts an.

Zur Erinnerung: Du darfst die einzelnen Zeilen mit Skalaren multiplizieren und die Zeilen innerhalb einer Matrix miteinander addieren bzw. subtrahieren, bis auf der Diagonalen nur noch Einsen stehen.

  1. Schritt: Nun steht links von der vertikalen Linie die Einheitsmatrix und rechts davon die inverse Matrix.

Inverse einer 3 x 3 Matrix

1. Beispiel:

Bestimme die inverse Matrix zu \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1  & 0 \\ 0  & 0 & 4 \end{pmatrix} \)

  1. Schritt: Matrix A und die Einheitsmatrix nebeneinander aufschreiben:
\( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 0 &1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \\ \)
  1. Schritt: Gauß-Jordan Algorithmus anwenden:
  • 1. Zeile – 2 mal die 2. Zeile rechnen, damit die 2 in der ersten Zeile verschwindet:
\( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 &1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \\ \)
  • 3. Zeile durch 4 teilen, damit die 4 in der letzten Zeile verschwindet:
\( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 &1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0,25 \end{array} \\ \)
  1. Schritt: Links haben wir nun die Einheitsmatrix stehen und rechts somit die gesuchte inverse Matrix \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0  & 0 & 0,25 \end{pmatrix} \)

Inverse einer 2 x 2 Matrix

Bei einer 2×2 kannst du die inverse Matrix schon mit einer einfachen Formel ausrechnen.

Für die Matrix \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) lautet die Formel: \( A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Auch hier gilt: falls die Determinante ad-bc=0, kannst du die Matrix nicht invertieren.

2. Beispiel:

Bestimme die inverse Matrix zu \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)

Du setzt die Werte für a, b, c und d in die Formel ein:

\( A^{-1} = \frac{1}{1\cdot3-2\cdot3} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \\ = \frac{1}{-3} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}  \\ =  \begin{pmatrix} -1,33 & 0,67 \\ -1 & -0,33 \end{pmatrix}  \)

Die inverse Matrix zu \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) ist also \( A^{-1} =  \begin{pmatrix} -1,33 & 0,67 \\ -1 & -0,33 \end{pmatrix}  \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Matrizenmultiplikation mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Bestimme die inverse Matrix der folgenden Matrizen, falls diese existiert:

  1. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
  2. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}  \)
  3. \( A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}  \)
  4. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}  \)
  5. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}  \)
  6. \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)
  7. \( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \\ -3 & -2 & -5 \end{pmatrix}  \)
  8. \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2  & 0 & -1 \end{pmatrix}  \)
  9. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1  & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
  10. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2  & 0 & -1 \end{pmatrix} \)
Lösungen
  1. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  \)
  2. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0,33 & 0 \\ 0,67 & 0,33 \end{pmatrix}   \)
  3. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}   \)
  4. Diese Matrix hat kein Inverses.
  5. Diese Matrix hat kein Inverses.
  6. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2  & 4 \\ -1  & 2 & 5 \end{pmatrix} \)
  7. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -4 & 3  & -3 \\ 1  & 0 & 1 \end{pmatrix}  \)
  8. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0,17 & 0,33 \\ -1 & 0,5 & 0 \\ 0  & 0,3 & -0,3 \end{pmatrix}  \)
  9. Diese Matrix hat kein Inverses.
  10. Diese Matrix hat kein Inverses.
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