Kettenregel

Kapitel aktualisiert am 18.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Kettenregel als Teil der Differentialrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, wie du die Kettenregel anwendest, die genaue Vorgehensweise der Ableitung, die Anwendung der Kettenregel, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Die Kettenregel
 \( f(x) = u(v(x)) \rightarrow f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x))\) 

Für das Ableiten von Funktionen gibt es verschiedene Regeln, die sogenannten Ableitungsregeln. Dazu zählt unter anderem auch die Kettenregel. Die Kettenregel wird genau dann beim Ableiten einer Funktion f verwendet, wenn sie eine Verkettung zweier Funktionen ist.

Aber was genau ist eine Verkettung?

\( u \circ v \) heißt, dass die Funktion u mit der Funktion v verkettet ist. Dabei ist u die äußere Funktion  und die v innere Funktion. Deutlicher wird das bei der folgenden Notation:

\( u(v(x)) \) Wie du hier siehst, wird die Funktion v(x) in die Funktion u(x) eingesetzt. Das heißt, überall da, wo in der Funktion u(x) ein x vorkommt, schreibst du nicht x hin, sondern setzt da die ganze Funktion v(x) ein. Somit hast du die Funktion u mit der Funktion v verkettet.

Vorgehensweise der Ableitung

1. Schritt: u(x) und v(x) rausschreiben.

2. Schritt: u(x) und v(x) ableiten, somit erhältst du u‘(x) und v‘(x).

3. Schritt: Du setzt die Funktionen für u‘(x), v(x) und v‘(x) hier ein: \( f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x)) \) und erhältst somit f‘(x), also die Ableitung von f(x).

Anwendung der Kettenregel

Die Kettenregel wendest du genau dann an, wenn die Funktion, die du ableiten möchtest, eine Verkettung zweier Funktionen ist. Also von der Form: \( f(x) = u \circ v \)

Damit du die Kettenregel anwenden kannst, darf in der Ableitung der inneren Funktion also v'(x) kein x vorkommen. Also muss für v(x) gelten:

  • v(x) darf höchstens den Grad 1 haben. (Das heißt die höchste Potenz von x darf maximal 1 sein, es darf kein \( x^2 \) oder eine höhere Potenz vorkommen.
  • v(x) darf keine trigonometrische Funktion sein. (Das heißt v(x) darf keine Sinus-, Cosinus– oder Tangens-Funktion sein, denn die Ableitungen dieser Funktionen sind immer von x abhängig!)
  • v(x) darf auch keine Funktion wie \( e^x\), \( ln(x) \)  oder \( \sqrt{x} \) enthalten, da die Ableitung sonst wieder von x abhängt.

Das sollte aber kein Problem sein, da du höchstwahrscheinlich keine verkettete Funktion ableiten musst, bei der die innere Funktion diese Bedingungen nicht erfüllt.

Also, schauen wir uns dann mal einige Beispiele dazu an:

Beispiele

1. Beispiel:
\( f(x) = 2 \cdot (3x+1)^3 \\ \)

Tipp: Meist erkennst du die innere Funktion an den Klammern.

1. u(x) und v(x) rausschreiben:

Äußere Funktion: \( u(x) = 2 \cdot x^3  \)

Innere Funktion: \( v(x) = 3x+1 \)

2. u(x) und v(x) ableiten: 

\( \rightarrow u‘(x) = 6x^2 \),

\( \rightarrow v‘(x) = 3 \\ \)

3. Einsetzen:

\( f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x)) = 3 \cdot 6\cdot (3x+1)^2 = 18\cdot (3x+1)^2 \)
2. Beispiel:
 \( f(x) = 0,5 \cdot (1-2x)^2 \\ \)

1. u(x) und v(x) rausschreiben:

Äußere Funktion: \( u(x) = 0,5 \cdot x^2  \)

Innere Funktion: \( v(x) = 1-2x \)

2. u(x) und v(x) ableiten:

\( \rightarrow u‘(x) = x  \) ,

\( \rightarrow v‘(x) = -2 \\ \)

3. Einsetzen:

\( f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x))  = -2 \cdot (1-2x) = -2+4x  \)
3. Beispiel:
 \( f(x) = 2 \cdot sin(5x) \\ \)

1. u(x) und v(x) rausschreiben:

Äußere Funktion: \( u(x) = 2 \cdot sin(x)  \)

Innere Funktion: \( v(x) = 5x  \)

2. u(x) und v(x) ableiten:

\( \rightarrow u‘(x) = 2 \cdot cos(x) \),

\( \rightarrow v‘(x) = 5 \\ \)

3. Einsetzen:

\( f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x))  = 5 \cdot 2 \cdot cos(5x) = 10\cdot cos(5x) \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Kettenregel mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
  1. \( f(x) = 2\cdot sin(5x-7) \)
  2. \( f(x) = cos(x-1) \)
  3. \( f(x) = -sin(x+6) \)
  4. \( f(x) = -5\cdot cos(0,5x-1) \)
  5. \( f(x) = (2x-1)^4 \)
  6. \( f(x) = (56-x)^3 \)
  7. \( f(x) = -(x-2)^10 \)
  8. \( f(x) = -0,5\cdot (3x+3)^2 \)
  9. \( f(x) = ln(2x+1) \)
  10. \( f(x) = 5\cdot ln(x-1) \)
Lösungen
  1. \( f‘(x) = 10\cdot cos(5x-7) \)
  2. \( f‘(x) = -sin(x-1) \)
  3. \( f‘(x) = -cos(x+6) \)
  4. \( f‘(x) = 2,5\cdot sin(0,5x-1) \)
  5. \( f‘(x) = 8\cdot (2x-1)^3 \)
  6. \( f‘(x) = -3\cdot (56-x)^2 \)
  7. \( f‘(x) = -10 \cdot (x-2)^9 \)
  8. \( f‘(x) = -9x+9 \)
  9. \( f‘(x) = \frac{2}{2x+1} \)
  10. \( f‘(x) = \frac{5}{x-1} \)  
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