Komplexe Zahlen

Kapitel aktualisiert am 19.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema „Komplexe Zahlen“ als Teil der Zahlen im Bereich der Algebra. Wir erklären dir die Eigenschaften komplexer Zahlen, deren geometrische Darstellung und wie du mit komplexen Zahlen rechnest. Veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen findest du ebenfalls weiter unten.

Verwendung von Komplexen Zahlen

Bisher bist du komplexen Zahlen in der Schule immer genau dann ausgewichen, wenn du die Wurzel einer negativen Zahl ziehen musstet. Es hieß, es gebe keine Lösung. Ganz richtig ist das nicht, denn es gibt zwar keine reelle Zahl als Lösung, dafür aber eine komplexe Zahl. Bisher hast du nämlich nur die reellen Zahlen kennengelernt.

Die reellen Zahlen sind nur eine Teilmenge der komplexen Zahlen und wenn du auch die Menge der komplexen Zahlen kennst, kannst du beispielsweise die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen.

Wozu braucht man das? Die komplexen Zahlen spielen in der Physik und Technik eine wichtige Rolle, da du mit den komplexen Zahlen beispielsweise Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen kannst. Auch in der Optik und Fluiddynamik bei Potenzialströmungen (Strömung einer Flüssigkeit oder eines Gases) werden die komplexen Zahlen verwendet.

Imaginäre Zahlen

Was ist die imaginäre Zahl i? Die Wurzel aus -1 wird als die imaginäre Zahl i definiert, also: \( \sqrt{-1} = i\\ \). Anhand dieses Wissens kannst du mit den imaginären Zahlen auch ganz einfach rechnen.

Beispiele:  \( i^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1 \\ i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i \\ i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 \\ \frac{1}{i} = \frac{i^4}{i} = i^3 = -i \\\)

Eigenschaften komplexer Zahlen

Das Symbol für die komplexen Zahlen ist: \( \mathbb C \). Eine komplexe Zahl z besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil, welche addiert werden: \(  z = a +b \cdot i \).

Realteil: Der Realteil (Re) ist einfach eine reelle Zahl a.

Imaginärteil: Der Imaginärteil (Im) ist eine reelle Zahl b, die mit der imaginären Zahl i multipliziert wird.

Beide Teile addiert ergeben eine komplexe Zahl z.

Geometrische Darstellung

Wie kannst du komplexe Zahlen im Koordinatensystem darstellen? Dazu nutzt du wie gewohnt ein zweidimensionales Koordinatensystem mit einer x-Achse und einer y-Achse.

x-Achse: Die x-Achse steht für den Realteil der komplexen Zahl; hier trägst du die Zahl a ein.

y-Achse: Die y-Achse steht für den Imaginärteil der komplexen Zahl; hier trägst du die Zahl b ein. Genau, i taucht bei der Darstellung im Koordinatenzahl nicht auf. Du musst nur wissen, dass die Zahl, die auf der y-Achse steht, in der komplexen Zahl mit der imaginären Zahl i multipliziert wird und somit den Imaginärteil darstellt.

Anschließend kannst du einfach a und b aus der komplexen Zahl ablesen und diese ähnlich wie Vektoren in das Koordinatensystem eintragen.

Beispiel: Die komplexe Zahl z = 2+3i findest du im Koordinatensystem im Punkt (2/3)

Rechnen mit komplexen Zahlen

Genauso, wie du beim Rechnen mit Vektoren bestimmte Regeln beachten musst, gibt es auch bestimmte Regeln zu den Rechenoperatoren, wenn sie auf die komplexen Zahlen angewandt werden:

Betrag

Der Betrag von komplexen Zahlen wird ähnlich wie der Betrag von Vektoren berechnet. Die Zahlen a und b musst du erst quadrieren, dann addieren und anschließend die Wurzel ziehen. Das ist dann der Betrag der komplexen Zahl. Graphisch ist es im Koordinatensystem die Länge des Vektors vom Ursprung zum Punkt z.

\( |z| = |a+bi| = \sqrt { a^2+b^2} \\ \)

Beispiel: Berechnen wir doch gleich den Betrag der komplexen Zahl \( z = 2+3i \) im obigen Koordinatensystem.

\( |z| = |2+3i| = \sqrt { 2^2+3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} = 3,61 \\ \)

Der Betrag der komplexen Zahl z = 2+3i beträgt also 3,61 Längeneinheiten.

Komplex Konjugierte

Komplexe Zahlen kannst du auch komplex konjugieren – das ist das Spiegeln an der x-Achse. Die komplex Konjugierte einer komplexen Zahl z wird mit einem Strich über dem z gekennzeichnet:

\( z = a+ib  \qquad \rightarrow \qquad \overline{z} = a-ib \\ \)

Um die Zahl z komplex zu konjugieren, musst du einfach das Vorzeichen des Imaginärteils ändern: statt + steht da jetzt ein – und das war’s auch.

Beispiel: Die komplex Konjugierte der Zahl aus den obigen Beispielen wäre also: \( z = 2+3i  \qquad \rightarrow \qquad \overline{z} = 2-3i \).

Der Punkt im Koordinatensystem ist dann entsprechend gespiegelt an der x-Achse, also: (2/-3).

Bei der Division von komplexen Zahlen spielt die komplex Konjugierte eine wichtige Rolle. Schauen wir uns also mal die Rechenregeln für komplexe Zahlen an:

Komplexe Zahlen addieren

Seien \( z_1 = a_1 + ib_1 \) und \( z_2 = a_2 + ib_2 \) zwei komplexe Zahlen, die addiert werden sollen. Dann gilt: \( z_1 + z_2 = (a_1+a_2) + i \cdot (b_1 + b_2) \\ \)

Beispiel: \( z_1 = 2+3i, z_2 = 5+1i \) \( z_1 + z_2 = (2+5) + i \cdot (3 + 1) = 7+4i \\  \)

Komplexe Zahlen subtrahieren

Seien \( z_1 = a_1 + ib_1 \) und \( z_2 = a_2 + ib_2 \) zwei komplexe Zahlen, die subtrahiert werden sollen. Dann gilt: \( z_1 – z_2 = (a_1-a_2) + i \cdot (b_1 – b_2) \\ \)

Beispiel: \( z_1 = 2+3i, z_2 = 5+1i \) \( z_1 + z_2 = (2-5) + i \cdot (3 – 1) = -3+2i \\ \)

Komplexe Zahlen multiplizieren

Seien \( z_1 = a_1 + ib_1 \) und \( z_2 = a_2 + ib_2 \) zwei komplexe Zahlen, die multipliziert werden sollen. Dann gilt: \( z_1 \cdot z_2 = (a_1 \cdot a_2 – b_1 \cdot b_2) + i \cdot (x_1 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1) \\ \)

Beispiel: \( z_1 = 2+3i, z_2 = 5+1i \) \( z_1 \cdot z_2 = (2 \cdot 5 – 3\cdot 1) + i \cdot (2 \cdot 1 – 3 \cdot 5) = (10-3) + i \cdot (2 -15) = 7 – 13i  \\ \)

Komplexe Zahlen dividieren

Komplexe Zahlen dividierst du, indem du den Zähler und Nenner mit der komplex konjugierten des Nenners multiplizierst: Seien \( z_1 = a_1 + ib_1 \) und \( z_2 = a_2 + ib_2 \) zwei komplexe Zahlen, die dividiert werden sollen. Dann gilt:

\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{ \overline{z_2}} { \overline{z_2}} \\ \)

Beispiel: \( z_1 = 2+3i, z_2 = 5+1i \)

Um durch \( z_2\) teilen zu können, musst du erst den Nenner, also \( z_2\), komplex konjugieren:

\( z_2 = 5+1i \rightarrow \overline {z_2} = 5-1i \) \( \frac{2+3i }{5+1i } = \frac{2+3i}{5+1i} \cdot \frac{5-1i}{5-1i }  \\ \)

Jetzt kannst du die Multiplikation von komplexen Zahlen anwenden:

\( = \frac{10-2i+15i+3}{25+1} = \frac{13+13i}{26} = 0,5+0,5i \\ \)

Wie du siehst, hat sich der Nenner in eine reelle Zahl verwandelt, sodass du der Bruchschreibweise entkommen kannst.

Genau das ist der Trick beim Multiplizieren mit der komplex Konjugierten des Nenners, denn beim Anwenden der 3. Binomischen Formel im Nenner fällt das i weg: i^2 wird zu -1 und i alleine gibt es in der 3. Binomischen Formel gar nicht. Somit ist die Division komplexer Zahlen auch schon gelöst.

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Berechnung der Varianz mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
  1. \( (1+4i)+(7-6i) \)
  2. \( 2 + (3-i) \)
  3. \( (15-2i)-(4+i) \)
  4. \( (3+3i) – i \)
  5. \( (2+7i) \cdot (2+3i) \)
  6. \( (3i) \cdot (-1i) \)
  7. \( (2-2i) \cdot (2+2i) \)
  8. \( (2+7i):(2+3i) \)
  9. \( (3i):(-1i) \)
  10. \( (2-2i):(2+2i) \)
Lösungen
  1. \( 8-2i \)
  2. \( 5-i \)
  3. \( 11-3i \)
  4. \( 3+2i \)
  5. \( -17+20i \)
  6. \( 3 \)
  7. \( 8 \)
  8. \( \frac{15}{13} + \frac{8}{13} i \)
  9. \( -3 \)
  10. \( -i \)
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