Koordinatensystem

Kapitel aktualisiert am 11.03.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Koordinatensystem als Teil der Geometrischen Figuren im Bereich der Geometrie. Wir erklären dir den Aufbau eines Koordinatensystems, wie du ein solches zeichnest, welche Bedeutung es in der Physik hat und geben dir Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen mit Lösungen.

Koordinaten im Alltag

Koordinatensysteme sind nicht nur in der Mathematik ein äußerst hilfreiches Konzept. Sie spielen immer dann eine Rolle, wenn es darum geht, Positionen festzulegen und eindeutig zu beschreiben.

Eine typische Anwendung aus dem Alltag ist das Koordinatensystem der Erde, das es uns erlaubt, jeden Punkt auf der Erdoberfläche durch die Angabe des Längen- und Breitengrades festzulegen.

Das heißt, die Angabe von zwei Koordinaten genügt, damit wir genau wissen, wo wir auf der Erdoberfläche sind.

Nehmen wir uns folgende Koordinaten vor: (52.51828, 13.37569). Kannst du herausfinden, wo auf der Erde sich dieser Ort befindet? (Tipp: gib die Zahlen einfach einmal bei Google ein).

Koordinatensysteme sind damit immer wichtig, wenn es darum geht, Punkte in einem Raum eine eindeutige Kennzeichnung zuzuweisen.

Ein weiteres Beispiel ist ein Schachbrett. Dadurch, dass jedes Feld auf dem Brett eine eigene, eindeutige Koordinate erhält (zum Beispiel A7 oder E4), kannst du ganze Schachspiele dadurch notieren, dass du mithilfe der Koordinaten beschreibst, auf welchen Feldern Bewegungen stattfanden.

Grundlagen zum Koordinatensystem

Koordinatensysteme lassen sich für Ebenen und allerlei verschiedene Räume einführen.

Das kann wie im Fall der Erde eine Kugeloberfläche sein, aber auch einfach der zweidimensionale oder dreidimensionale euklidische Raum.

Jedes Koordinatensystem erlaubt die Verwendung von Koordinaten. Es gibt in jedem Koordinatensystem immer genau so viele Koordinaten wie Dimensionen des Raumes, den das Koordinatensystem beschreibt.

Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem eines n-dimensionalen Raumes erlaubt die eindeutige Bestimmung der Position eines Punktes im jeweiligen Raum über die Angabe von n Koordinaten.

Wichtig ist, dass das Koordinatensystem keineswegs eindeutig sein muss. Man muss sich immer erst auf das verwendete Koordinatensystem einigen, bevor man sinnvoll Koordinaten angeben an.

Am Beispiel der Erde wird das deutlich: der Nullmeridian, an dem der Breitengrad gleich null ist, verläuft durch Greenwich nahe London. Dieser wurde aber erst 1884 offiziell dort hingelegt.

Man könnte aber genauso gut jeden anderen Punkt auf der Erdoberfläche als Nullmeridian verwenden: dieser könnte auch durch Paris oder Berlin verlaufen.

Dann würden die Koordinaten (52.51828, 13.37569) aber etwas ganz anderes bedeuten! Somit ist es immer relevant zu wissen, in Bezug auf welches Koordinatensystem Koordinaten definiert sind.

Aufbau eines zweidimensionalen Koordinatensystems

In dem Rest dieses Beitrages konzentrieren wir uns auf Koordinatensysteme, die dir am häufigsten begegnen: kartesische Koordinatensysteme.

Diese sind nach René Descartes benannt und dadurch definiert, dass in ihnen die Achsen orthogonal aufeinander stehen.

Üblich sind kartesische Koordinatensysteme mit zwei Dimensionen, da diese entweder eine Fläche wie ein Blatt Papier oder einen Computerbildschirm, oder mit drei Dimensionen, da sich die alltägliche Welt in einem dreidimensionalen Raum abspielt, beschreiben.

Es gibt drei senkrecht aufeinander stehende Richtungen, in die du dich bewegen kannst: nach vorne/hinten, nach oben/unten und nach links/rechts.

Beginnen wir mit einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem. Ein solches ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Kartesisches Koordinatensystem

Kartesisches Koordinatensystem

Wie du siehst, stehen dabei die beiden Achsen, also die x-Achse und die y-Achse, senkrecht aufeinander.

In der Mitte des Koordinatensystems befindet sich der Punkt (0|0), der als Ursprung bezeichnet wird. Er ist sozusagen der Nullmeridian des kartesischen Koordinatensystems, denn die Position jedes Punktes wird von nun an in Relation zu ihm definiert.

Das Koordinatensystem schneidet ganz natürlich die Fläche in vier abgegrenzte Bereiche, die man als Quadranten bezeichnet (was aus dem Lateinischen kommt und einfach Viertel bedeutet).

Der erste Quadrant ist dabei der, in dem beide Koordinaten positiv sind. Bei den weiteren Quadranten musst du nun aufpassen, dass die weitere Nummerierung gegen den Uhrzeigersinn stattfindet.

Punkte in einem Koordinatensystem

In dem Koordinatensystem sind beispielhaft zwei Punkte eingezeichnet: das sind der Punkt Q (-4|2) und der Punkt P (5|3).

Um einen Punkt zu beschreiben, musst du jeweils nacheinander auf den Achsen schauen, auf welcher Höhe sich der Punkt befindet. Der erste Punkt befindet sich an der Stelle -4 auf der x-Achse und bei 2 auf der y-Achse.

Diese beiden Werte haben besondere Namen: der x-Wert wird als Abszisse bezeichnet, der y-Wert als Ordinate. Die x-Koordinate wird immer als erstes angegeben, die y-Koordinate als zweites.

Für den Punkt P liegt damit die Abszisse bei 5 und die Ordinate bei 3.

Beim Einzeichnen der Punkte musst du darauf achten, wie die Skalen-Teilung auf den jeweiligen Achsen genau gewählt wurde. Mehr dazu im nächsten Abschnitt.

Koordinatensysteme zeichnen

Zweidimensionales Koordinatensystem

Um ein Koordinatensystem zu zeichnen, beginnst du zuerst mit einem horizontalen Strich, der die x-Achse darstellt.

Durch diesen Strich zeichnest du nun außerdem noch einen orthogonalen (dazu rechtwinkligen) zweiten Strich, der die y-Achse darstellt.

Dabei musst du folgende Dinge beachten:

  1. Am Ende der Achsen musst du einen Pfeil einzeichnen, der nach rechts bzw. nach oben geht.
  2. Vergiss außerdem nicht, die Achse zu beschriften, das heißt neben die x-Achse gehört ein x und neben die y-Achse ein y.
  3. Nun musst du die Achsen in Einheiten einteilen. Dabei kann zum Beispiel ein Kästchen (0,5 cm) einer 1 entsprechen oder du nimmst einen ganzen Zentimeter für eine 1, was die übliche Schreibweise ist.
  4. Das machst du nun für die x- und y-Achse. Die gewählte Breite, die einer 1 entspricht, muss dabei für x- und y-Achse nicht die gleiche sein. Sollst du beispielsweise den Punkt P (1|200) einzeichnen, ist es sinnvoll, wenn du für die x-Achse einen kleineren Abstand (zum Beispiel einen Zentimeter für jede 1) wählst und für die y-Achse einen weitaus größeren (zum Beispiel einen Zentimeter pro 100).

Entsprechend zeichnest du ein Koordinatensystem immer schon im Hinblick auf die Punkte oder Graphen, die du später einzeichnen möchtest.

Dabei kannst du nach der größten vorhandenen Abszisse und Ordinate schauen. Entsprechend zeichnest du dein Koordinatensystem so, dass diese komfortabel Platz finden.

Ansonsten könnte es sein, dass du einen Punkt außerhalb deines Papiers einzeichnen müsstest, was ärgerlich ist und dafür sorgt, dass du das Koordinatensystem neu zeichnen musst.

Dreidimensionales Koordinatensystem

Dafür kommt nun noch eine dritte Achse dazu. Da du diese in der Regel auf einem zweidimensionalen Blatt Papier zeichnest, musst du einen Trick anwenden, um trotzdem eine dritte Dimension darstellen zu können.

Dafür zeichnest du zu deinem schon bestehenden zweidimensionalen Koordinatensystem eine dritte Achse so ein, dass es so aussieht, als würdest du auf ein dreidimensionales Projekt schauen.

Diese zeichnest du aus dem Ursprung kommend schräg diagonal nach unten. Das heißt, du gehst ein Kästchen nach unten und eines nach links.

Das gleiche gilt auch für die andere Richtung, nur dass du dann hier ein Kästchen nach oben und eines nach rechts gehst.

Es ist üblich, dass man für den Maßstab eine 1 pro Kästchen wählt.

Einen Punkt P (a|b|c) zeichnest du wieder genauso ein wie im zweidimensionalen Fall, nur dass du erst auf der ersten Achse schräg nach unten/oben gehst, dann nach links/rechts, und dann nach oben/unten.

Beachte, dass in diesem System Punkte nicht eindeutig eingezeichnet werden können!

Vergleiche die beiden Punkte P (2|3|1) und R (0|2|0). Sie beide stehen am Ende am gleichen Ort.

Das ist ein gängiges Problem von sogenannten Projektionen: dadurch, dass wir die Dimension unserer Darstellung reduzieren (wir zeichnen ein dreidimensionales Koordinatensystem in einer zweidimensionalen Fläche), verlieren wir die Eindeutigkeit der Zuordnung. Trotzdem sind Projektionen ziemlich mächtig.

Der holländische Maler und Grafiker M.C.Escher ist bekannt dafür, dass er viel mit Projektionen experimentiert und sogenannte unmögliche Objekte gemalt hat, das heißt Bilder, die wie dreidimensionale Objekte aussehen, in drei Dimensionen aber eigentlich unmöglich sind.

Dabei macht er sich genau diese Probleme der Eindeutigkeit der Zuordnung zunutze.

Linkshändige und rechtshändige Systeme

Für die Nummerierung bzw. Richtung gibt es nun aber zwei verschiedene Möglichkeiten: man spricht von linkshändigen und rechtshändigen Koordinatensystem.

Links- und rechtshändiges Koordinatensystem

Links- und rechtshändiges Koordinatensystem (Bildquelle: Cartesian coordinate system handedness von Gustavb unter CC BY-SA 3.0)

Der Name hängt damit zusammen, dass du das linke Koordinatensystem auf die linke Hand legen kannst, indem du dir die x-Achse als Daumen, die y-Achse als Zeigefinger und die z-Achse als Mittelfinger denkst.

Das rechtshändige Koordinatensystem lässt sich in dieser Zuordnung auf die rechte Hand legen.

Beide System lassen sich aber nicht durch bloße Drehungen ineinander überführen, genauso wie deine linke Hand nicht durch Drehung zu einer rechten Hand werden kann, sondern immer nur das Spiegelbild der anderen ist.

Man spricht auch davon, dass es sich bei Händen und den Koordinatensystemen um chirale Objekte handelt.

Koordinatensysteme in der Physik

Koordinatensysteme spielen in der Physik eine besondere Rolle.

Die ganze klassische Physik, die auf Newton zurückgeht, hängt maßgeblich davon ab, dass sie in einem kartesischen Koordinatensystem definiert ist, das als Inertialsystem bezeichnet wird.

Der geniale Einfall von Albert Einsteins Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts war der, das Koordinatensystem, mit dem Raum und Zeit beschrieben werden, neu zu definieren und mathematisch zu formulieren.

Dadurch begründete er die Relativitätstheorie, die besagt, dass alle Koordinatensysteme nur relativ zueinander definiert werden können und dass es so etwas wie ein Inertialsystem überhaupt nicht gibt.

Dafür fasste er Raum und Zeit in einem vierdimensionalen Koordinatensystem als die sogenannte Raumzeit zusammen. Dieses Koordinatensystem hat dazu noch ein paar spezielle Eigenschaften, wodurch es kein kartesisches Koordinatensystem mehr ist.

Zum Beispiel ist in diesem System vorausgesetzt, dass die Lichtgeschwindigkeit immer konstant ist, wodurch sich Raum und Zeit durch Bewegungen im Raum dehnen und zusammenziehen könnten.

Dadurch gibt es schon so verrückte Phänomene wie die Zeitdilatation.

Diese sorgt dafür, dass sich die Zeit für dich langsamer verläuft, wenn du dich bewegst. Zwar ist dieser Effekt im Alltag minimal, wurde aber tatsächlich sogar schon in Flugzeugen mithilfe von Atomuhren gemessen!

Wie du siehst, sind Koordinatensystem also ziemlich wichtig und insbesondere in der Physik ein unverzichtbares Mittel, um die Welt zu beschreiben.

Aufgaben

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Koordinatensystem mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und zeichne folgende Punkte ein:

\( 1. A (1|0) \\ 2.B (3|3)\\3. C (-1|5) \\  4. D (2|8)\\ 5.E (-3|-4) \\ \)

Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem und zeichne folgende Punkte ein:

\(6. P (1|0|2) \\ 7.P (3|3|3)\\ 8. P (-1|-4|5)\\ 9. P (0|2|0)\\ 10.P (5|-2|5) \)

Lösungen

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Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

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