Kreis: Fläche & Umfang berechnen

Kapitel aktualisiert am 20.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Kreis als Teil der Geometrischen Figuren im Bereich der Geometrie. Wir zeigen dir, wie ein Kreis definiert wird, was der Radius und Durchmesser sind, wie du die Kreisfläche und den Kreisumfang berechnest, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Da Kreisformen uns im Alltag oft begegnen, kann dieses Wissen sehr hilfreich sein.

Definition
Ein Kreis ist eine gleichmäßig runde, in sich geschlossene Linie, bei der alle Punkte den gleichen Abstand r zum Mittelpunkt M haben.

Alltagsbeispiel: Du bist bei Ikea und suchst nach einem Esstisch, der so groß wie möglich sein soll. Ein Berater zeigt die die zwei größten Tische, einen mit rechteckiger Fläche und einen mit Kreisfläche. Beim rechteckigen Tisch sind auf der Packung Länge und Breite angegeben und beim runden Tisch nur der Radius.

Nun willst du den größeren Tisch von beiden kaufen und musst dazu den Flächeninhalt der Tischfläche bestimmen. Bei Rechtecken ist es ja „Länge mal Breite“, aber wie berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises?

Kreis – Radius und Durchmesser

Kreis: Mittelpunkt und Radius

Kreis: Mittelpunkt und Radius

Der Radius r eines Kreises ist der Abstand aller Punkte zum Mittelpunkt M.

Der Durchmesser d eines Kreises ist eine Linie zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt M geht.

Kreisumfang berechnen

Den Kreisumfang U berechnest du, indem du ganz einfach den Radius r in die folgende Formel einsetzt: \( U = 2 \cdot \pi \cdot r \)

Kreisfläche berechnen

Den Flächeninhalt eines Kreises berechnest du ebenfalls durch das Einsetzen von r in die zugehörige Formel. Diese lautet: \( A = \pi \cdot r^2 \)

Schauen wir uns Beispiele dazu an:

Beispiele

1. Beispiel
Nehmen wir wieder die Tische von Ikea zur Hand: Der rechteckige Tisch hat die Maße 4 m x 1 m und somit einen Flächeninhalt von \(4cm^2\). Der runde Tisch hat einen Radius von \( r = 1,9 m \). Welcher Tisch ist jetzt größer?

Dazu musst du den Radius \( r =  1,9 m\) in die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises einsetzen: \( A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \ (1,9 m)^2 = \pi \cdot 3,61 m^2 =11,34 m^2 \)

Also ist der runde Tisch viel größer und du kaufst diesen.

Der Tisch steht jetzt aufgebaut bei dir zuhause, du bereitest ein Festmahl vor und möchtest auch den Tisch schmücken. Du würdest gerne ein Band mit einer Schleife um den Tisch spannen. Um die Länge des dafür erforderlichen Bandes zu kennen, musst du den Umfang des Tisches berechnen.

Hierzu setzt du den Radius \( r = 1,9 m \) in die Formel für den Umfang eines Kreises ein: \( U = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi 1,9 m = \pi \cdot 3,8 m = 11,94 m^2  \)

Es kann auch sein, dass du den Umfang oder Flächeninhalt des Kreises kennst, aber nicht den Radius. In den nächsten Beispielen zeigen wir dir, wie du den Radius und damit auch die fehlende Größe ermitteln kannst.

2. Beispiel
In diesem Beispiel ist der Umfang gegeben und du sollst damit den Radius und den Flächeninhalt des Kreises berechnen: Ein Kreis hat einen Umfang von \( U = 5 m \).

Das setzt du jetzt in die Formel für den Umfang eines Kreises ein und kannst dann nach r auflösen:

\( U = 2 \cdot \pi \cdot r \\ 5 m = 2 \cdot \pi \cdot r | : 2 \\ 2,5 m = \pi \cdot r |: \pi  \\ 0,8 = r \)

Das heißt, der Radius r = 0,8 m.

Um die fehlende Größe, also den Flächeninhalt zu ermitteln, setzt du den Radius r einfach wieder in die Formel für den Flächeninhalt ein: \( A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,8 m)^2 = \pi \cdot 0,64 m^2 = 2 m^2 \)

Das heißt, der Flächeninhalt des Kreieses beträgt \(2 m^2\).

3. Beispiel
In diesem Beispiel ist der Flächeninhalt gegeben und du sollst damit den Radius und den Umfang des Kreises berechnen: Ein Kreis hat einen Flächeninhalt von \( A = 28,27 m^2 \).

Das setzt du jetzt in die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ein und kannst dann nach r auflösen:

\( A = \pi \cdot r^2 \\  28,27 m^2 = \pi \cdot r^2 |: \pi \\ 9 m^2 = r^2 | \sqrt{} \\ 3 m = r \)

Das heißt, der Radius r = 3 m.

Um die fehlende Größe, also den Umfang zu ermitteln, setzt du den Radius r einfach wieder in die Formel für den Umfang ein: \( U = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 3 m = \pi \cdot 6 m = 18,85 m \)

Das heißt, der Umfang des Kreises beträgt \(18,85 m\).

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Kreisberechnung mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne den Umfang der Kreise mit einem Radius von:

  1. \( r = 1 cm \)
  2. \( r = 7 m \)
  3. \( r = 2,5 dm \)

Berechne den Flächeninhalt der Kreise mit einem Radius von:

  1. \( r = 1 cm \)
  2. \( r = 7 m \)
  3. \( r = 2,5 dm \)

Berechne den Radius der Kreise mit dem:

  1. Umfang  \( U = 15 m \)
  2. Flächeninhalt  \( A = 15 m^2 \)

Berechne die fehlende Größe der Kreise mit dem:

  1. Umfang  \( U = 70 cm \)
  2. Flächeninhalt  \( A = 70 cm^2 \)
Lösungen
  1. \( U = 6,28 cm \)
  2. \( U = 43,98 m \)
  3. \( U = 15,71 dm \)
  4. \( A = 3,14 cm^2 \)
  5. \( A = 153,94 m^2 \)
  6. \( A = 19,63 dm^2 \)
  7. \( r = 2,39 m \)
  8. \( r = 2,19 m \)
  9. \( A = 389,93 cm^2 \)
  10. \( U = 26,67 cm \)
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