Kugel: Oberfläche, Volumen & Umfang berechnen

Kapitel aktualisiert am 31.07.2018

Dieses Kapitel behandelt die Kugel als Teil der Geometrischen Figuren im Bereich der Geometrie. Wir erklären dir, wie eine Kugel definiert wird, was der Mittelpunkt M und der Radius r sind und wie du die Oberfläche, das Volumen und den Umfang berechnest. Im weiteren Verlauf dieses Kapitels findest du zwei Beispiele sowie Aufgaben und Lösungen zum selber lernen.

Definition einer Kugel

Definition
Eine Kugel ist ein runder geometrischer Körper, bei dem alle Punkte der Oberfläche denselben Abstand r zum Mittelpunkt M haben.
Kugel – Radius und Mittelpunkt

Radius und Mittelpunkt einer Kugel

Der Abstand aller Punkte auf der Oberfläche zum Mittelpunkt ist der Radius r der Kugel. Allein mit dem Radius kannst du schon viele Größen einer Kugel berechnen.

Oberfläche einer Kugel

Den Oberflächeninhalt der Kugel berechnest du, indem du den Radius r in die folgende Formel einsetzt: \(O = 4\cdot \pi \cdot r^2 \)

Volumen einer Kugel

Um das Volumen einer Kugel zu berechnen, musst du ebenfalls den Radius r einfach in die Formel für Kugelvolumen einsetzen. Diese lautet: \(V = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \)

Umfang einer Kugel

Die Formel zur Berechnung des Umfangs der Kugel ist dieselbe Formel, die du auch benutzt, um den Umfang eines Kreises zu berechnen. Also: \(U = 2 \cdot \pi \cdot r \)

Im Folgenden zeigen wir dir zwei verschiedene Beispiele, zur Berechnung fehlender Größen einer Kugel.

Beispiele

1. Beispiel
Eine Kugel hat den Radius 5cm. Berechne die Oberfläche, das Volumen und den Umfang der Kugel.

Kugel-Oberfläche:

Du setzt den Radius r = 5cm in die Formel für den Oberflächeninhalt der Kugel ein und vereinfachst:

\(O = 4\cdot \pi \cdot r^2 \\O= 4\cdot \pi \cdot (5cm)^2 \\ O = 4\cdot \pi \cdot 25cm^2 \\O = 100cm^2 \cdot \pi \\O = 314,16cm^2 \\\)

Der Oberflächeninhalt der Kugel beträgt also \( 314,16cm^2 \).

Kugel-Volumen:

Du setzt den Radius r = 5cm in die Formel für das Volumen der Kugel ein und vereinfachst:

\(V = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\V = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (5cm)^3\\V = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 125cm^3 \\V = 166,67cm^3 \cdot \pi\\V = 523,6 cm^3 \\\)

Das Volumen der Kugel beträgt also \( 523,6 cm^3 \).

Kugel-Umfang:

Du setzt den Radius r = 5cm in die Formel für den Umfang der Kugel ein und vereinfachst:

\(U = 2 \cdot \pi \cdot r \\U = 2 \cdot \pi \cdot 5cm \\U = 10cm \cdot \pi \\U = 10cm \cdot \pi \\U = 31,42cm \\\)

Der Umfang der Kugel beträgt also \( 31,42cm \).

Nicht immer ist der Radius der Kugel gegeben, sodass du einfach in die passenden Formeln einsetzen und die gesuchten Größen berechnen kannst. Manchmal ist beispielsweise das Volumen der Kugel gegeben und um die fehlenden Größen (Kugelumfang und Kugeloberfläche) zu berechnen, musst du erst aus der gegebenen Größe den Radius der Kugel ermitteln.

Sobald du den Radius berechnet hast, kannst du die fehlenden Größen wieder ganz einfach durch das Einsetzen von r in die passende Formel herausfinden. Hier ein Beispiel dazu:

2. Beispiel
Jetzt sei nicht der Radius r, sondern das Volumen V der Kugel gegeben.

Es sei \( V = 37,7 m^3 \). Berechne die fehlenden Größen einer Kugel.

Zunächst einmal setzt du bei so einer Aufgabenstellung die gegebene Größe in die dazugehörige Formel ein. In diesem Falle ist das Volumen gegeben, also nutzt du die Formel für die Volumenberechnung, um nach r aufzulösen:

\(V = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\113,1m^3  = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\27m^3  =  r^3 \\3m  =  r \\\)

Das heißt, der Radius dieser Kugel beträgt 3m.

Jetzt kannst du wie im vorigen Beispiel mit dem Radius r = 3m ganz einfach die fehlenden Größen berechnen:

Kugel-Umfang:

\(U = 2 \cdot \pi \cdot 3m \\U = 18,85m \\\)

Der Umfang der Kugel beträgt also \( 18,85m \).

Kugel-Oberfläche:

\(O = 4\cdot \pi \cdot (3m)^2 \\O = 113,1m^2 \\\)

Der Oberflächeninhalt der Kugel beträgt also \( 113,1m^2 \).

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Kugelberechnung mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
  1. Radius \(r = 1cm\). Berechne die Kugeloberfläche O.
  2. Radius \(r = 2cm\). Berechne das Kugelvolumen V.
  3. Radius \(r = 3cm\). Berechne den Kugelumfang U.
  4. Kugelvolumen \(V = 90m^3\). Berechne den Radius r.
  5. Kugelumfang \(U = 25m\). Berechne den Radius r.
  6. Kugeloberfläche \(O = 333m^2\). Berechne den Radius r
  7. Kugeloberfläche \(O = 100m^2\). Berechne den Kugelumfang U.
  8. Kugelumfang \(U = 30m\). Berechne das Kugelvolumen V.
  9. Kugelvolumen \(V = 500m^3\). Berechne die Kugeloberfläche O.
  10. Radius \(r = 7m\). Berechne das Kugelvolumen V.
Lösungen
  1. \(O = 12,57cm^2\)
  2. \(V = 33,51cm^3\)
  3. \(U = 18,85cm\)
  4. \(r = 3,5m\)
  5. \(r = 3,98m\)
  6. \(r = 5,15m\)
  7. \(U = 17,72m\)
  8. \(V = 455,95m^3\)
  9. \(O = 304,65m^2\)
  10. \(V = 1436,76m^3\)
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