Lineare Gleichungssysteme

Kapitel aktualisiert am 11.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Lineare Gleichungssysteme im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, mit welchen Verfahren du lineare Gleichungssysteme lösen kannst (Gleichsetzungs-, Einsetzungs-, Additions-, und Gaußsches Eliminationsverfahren). Zudem findest du hier veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Wenn du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen lösen willst, eignen sich das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Alle Verfahren liefern das gleiche Ergebnis. Dementsprechend kannst du das Verfahren verwenden, welches du am besten nachvollziehen kannst.

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen

Aufgabenstellung Gegeben seien die folgenden Gleichungen:

\( 2x + 4y = 6 \)
\( 5x – 1y = 10 \)

Berechne x und y.

Gleichsetzungsverfahren

Wie der Name schon sagt, musst Du beim Gleichsetzungsverfahren die beiden Gleichungen gleichsetzen. Wir zeigen dir anhand des obigen Beispiels, wie du bei diesem Verfahren vorgehen musst.

Beispiel

1. Schritt: Gleichungen umformen

Suche dir eine Variable aus, nach der du beide Gleichungen auflösen möchtest und löse beide Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach dieser Variablen auf. Wir lösen mal nach y auf, du hättest aber auch nach x auflösen können.

1. Gleichung: \( 2x + 4y = 6 \)

\( 2x + 4y = 6 |-2x \\ 4y = 6 – 2x | :4 \\ y = 1,5-0,5x \\ \)

2. Gleichung: \( 5x – 1y = 10 \)

\( 5x – 1y = 10 | -5x \\ -1y = 10-5x | :(-1) \\ y = -10+5x \\ \)

2. Schritt: Gleichungen gleichsetzen

Nun hast du zwei Gleichungen der Form x = … und x = … oder y = … und y = …, je nachdem nach welcher Variablen du aufgelöst hast. Wir haben im Schritt 1 herausgefunden, dass \(y = 1,5-0,5x \), aber auch gleichzeitig \(y=-10+5x\). Das heißt, dass diese beiden Terme gleich sein müssen. Genau aus diesem Grund darfst du sie gleichsetzen und nach x auflösen.

\( 1,5-0,5x \) = \( -10+5x \) \( | + 10 \) \( 11,5 – 0,5x = 5x | + 0,5x \\ 11,5 = 5,5x | :5,5 \\ 2,09 = x \\ \)

Mit diesem Schritt hast du schon eine der beiden Variablen herausgefunden x = 2,09.


3. Schritt: Variable einsetzen

Die Variable x, die du herausgefunden hast, kannst du in eine der beiden nach x aufgelösten Gleichungen einsetzen, um y herauszufinden. Dabei ist es egal, ob du in die 1. oder 2. Gleichung einsetzt. Wir setzen hier in die 2. Gleichung ein.

Einsetzen in die 2. Gleichung: \( y = -10+5x = -10+5 \cdot 2,09 = 0,45 \)

Mit diesem Schritt hast du die zweite Variable y = 0,45 ausgerechnet. Somit ist das ganze lineare Gleichungssystem gelöst.


Lösungsantwort Das Gleichungssystem ist gelöst mit \( x = 2,09 \) und \( y = 0,45 \)

Einsetzungsverfahren

Wie der Name schon sagt, musst du beim Einsetzungsverfahren eine Gleichung in die andere einsetzen. Wir zeigen dir anhand des obigen Beispiels, wie du bei diesem Verfahren vorgehen musst:

Beispiel

1. Schritt: Gleichungen umformen

Löse mit Hilfe von Äquivalenzumformung eine Gleichung nach der Variablen x auf und die andere Gleichung nach der Variablen y auf. Welche der beiden Gleichungen du nach welcher Variablen auflöst, ist hierbei egal. Wir lösen die erste nach x auf und die zweite nach y.

1. Gleichung: \( 2x + 4y = 6 |-4y \\ 2x = 6 – 4y | :2 \\ x = 3-2y \\ \)

2. Gleichung: \( 5x – 1y = 10 | -5x \\ -1y = 10-5x | :(-1) \\ y = -10+5x \)


2. Schritt: Gleichung einsetzen

In der Gleichung y = … kommt ein x vor. Das heißt, du könntest das x, was in der Gleichung y = … vorkommt, mit der Gleichung x = … ersetzen. Sprich: die Gleichung x = … in die Gleichung y = … einsetzen und anschließend nach y auflösen.

\( y = -10+5x \\ y = -10+5 \cdot (3-2y) \\ y = -10+ 15 – 10y \\ y = 5 – 10y | + 10y \\ 11y = 5 |:11 \\ y = 0,45 \\ \)

Mit diesem Schritt hast du schon eine der beiden Variablen herausgefunden y = 0,45.


3. Schritt: Variable einsetzen

Die Variable y, die du herausgefunden hast, kannst du nun in die nach x aufgelöste Gleichung einsetzen, um auch x herauszufinden.

Einsetzen in die 1. Gleichung: \( x = 3-2y = 3-2 \cdot 0,45 = 3- 0,91 = 2,09 \)

Mit diesem Schritt hast du auch schon die zweite Variable x = 2,09 und somit das ganze lineare Gleichungssystem gelöst.


Lösungsantwort Das Gleichungssystem ist gelöst mit \( x = 2,09 \) und \( y = 0,45 \)

Additionsverfahren

Wie der Name schon sagt, musst du beim Additionsverfahren zwei addieren. Die Idee hinter der Addition ist, eine Variable zu eliminieren. Wir zeigen dir am Beispiel oben, wie du bei diesem Verfahren vorgehen musst.

Beispiel

1. Schritt: Gleichungen umformen

Suche dir eine der beiden Variablen aus, die du eliminieren willst und betrachte das Vorzeichen und den Vorfaktor dieser Variablen in beiden Gleichungen. Ziel ist es nun, durch Äquivalenzumformungen die zwei Bedingungen für die anschließende Addition zu erfüllen.

a) das Vorzeichen der ausgewählten Variablen soll in einer Gleichung Plus sein und in der anderen Minus: Wir wählen als Variable daher y, weil hier in der 1. Gleichung bereits ein + und in der 2. Gleichung ein – steht.

b) der Vorfaktor von der ausgewählten Variable soll in beiden Gleichungen gleich. Dazu ist eine Multiplikation mit einer der beiden Gleichungen notwendig. Hier siehst du in der 1. Gleichung eine 4 vor dem y und in der 2. Gleichung eine 1 vor dem y. Du brauchst aber in beiden Gleichungen den gleichen Vorfaktor. Dazu kannst du in diesem Beispiel die 2. Gleichung mit 4 multiplizieren.

1. Gleichung: \( 2x + 4y = 6 \)

2. Gleichung: \( 5x – 1y = 10 | \cdot 4 \\ 20x-4y=40 \)


2. Schritt: Gleichungen addieren

Jetzt kannst du beide Gleichungen addieren. Der Sinn dahinter ist, durch Addition die Variable y „raus zu kicken“. Das funktioniert nach der Umformung im 1. Schritt perfekt, da jetzt in der einen Gleichung +4y steht und in der anderen -4y und +4y+(-4y) = 0. Somit verschwindet das y und du kannst nach x auflösen.

\( 2x + 4y = 6 \\ + 20x-4y=40  \\ \overline{22x+0=46} \\ \)

Jetzt ist y weg und du kannst nach x auflösen.

\( 22x = 46 | :22 \\ x = 2,09 \\ \)

Mit diesem Schritt hast du schon eine der beiden Variablen herausgefunden x = 2,09.


3. Schritt: Variable einsetzen

Die Variable x, die du herausgefunden hast, kannst du nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach y auflösen, um auch y herauszufinden.

Einsetzen in die 1. Gleichung: \( 2x+4y=6 \\ 2\cdot2,09+4y=6 \\ 4,18 + 4y = 6 | – 4,18 \\ 4y = 1,82 | :4 \\ y = 0,45 \)

Mit diesem Schritt hast du auch schon die zweite Variable y = 0,45 und somit das ganze lineare Gleichungssystem gelöst.


Lösungsantwort Das Gleichungssytem ist gelöst mit \( x = 2,09 \) und \( y = 0,45 \)

Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen

Bisher haben wir dir erklärt, wie du Gleichungssysteme mit den zwei Variablen x und y löst. Was aber, wenn 3 Variablen x, y, z zu lösen sind und drei Gleichungen statt zwei gegeben sind? Also ein LGS der Form

\( 2x+3y-1z=5 \\ 1x-2y-3z=-12 \\ -4x+1y+1z=1 \\ \)

Dann kannst du das Gauß-Verfahren anwenden und damit das LGS lösen.

Gaußsches Eliminationsverfahren

Das Gauß-Verfahren wird auch Treppenform genannt, da du aus den drei Gleichungen durch Äquivalenzumformungen drei Summanden so löschst, dass dabei eine „Treppenform“ entsteht.

\( 2x+3y-1z=5 \\ 1x-2y-3z=-12 \\ -4x+1y+1z=1 \\ \)

Dazu gehst du folgendermaßen vor:

Beispiel

1. Schritt: Zeilen vertauschen

Da du beim Gauß-Verfahren unter den einzelnen Summanden das x aus der ersten Zeile am häufigsten nutzen wirst, ist es am praktischsten, wenn du die Gleichung mit dem leichtesten Vorfaktor von x durch Umtauschen in die erste Zeile bringst.

\( I \qquad 2x+3y-1z=5 \\ II \qquad 1x-2y-3z=-12 \\ III \qquad -4x+1y+1z=1 \\\)

Wir vertauschen Zeile 1 und 2, weil in Zeile 2 1x steht und du damit leichter rechnen kannst als mit 2x.

\( I \qquad 1x-2y-3z=-12 \\II \qquad 2x+3y-1z=5 \\ III \qquad -4x+1y+1z=1\\ \)

2. Schritt: Das x aus Zeile 2 entfernen mithilfe von Zeile 1

Das erreichst du genau dann, wenn du zweimal die erste Zeile von der zweiten Zeile abziehst, da \( 2x – 2 \cdot 1x = 0 \).

\( I \qquad 1x-2y-3z=-12 \\II \qquad 2x+3y-1z=5 | -2 \cdot I \\III \qquad -4x+1y+1z=1 \\\)

Somit hast du die erste 0 geschafft.

\( I \qquad 1x-2y-3z=-12 \\II \qquad 0 +7y+5z=29  \\III \qquad -4x+1y+1z=1 \\ \)

3. Schritt: Das x aus Zeile 3 entfernen mithilfe von Zeile 1

Das erreichst du genau dann, wenn du viermal die erste Zeile zu der zweiten Zeile addierst, da \( -4x + 4 \cdot 1x = 0 \).

\( I \qquad 1x-2y-3z=-12 \\II \qquad 0 +7y+5z=29  \\III \qquad -4x+1y+1z=1 | +4 \cdot I \\ \)

Somit hast du die zweite 0 geschafft.

\( I \qquad 1x-2y-3z=-12 \\II \qquad 0 +7y+5z=29  \\III \qquad 0 -7y+-11z=-47 \\ \)

4. Schritt: Das y aus Zeile 3 entfernen mithilfe von Zeile 2

Das erreichst du genau dann, wenn du einmal die zweite Zeile zu der dritten Zeile addierst, da \( -7y + 7y = 0 \).

\( I\qquad 1x-2y-3z=-12 \\II\qquad 0 +7y+5z=29  \\III \qquad 0 +-7y+-11z=-47 | + II \\ \)

Somit hast du die dritte 0 geschafft und die Treppenform erreicht.

\( I\qquad 1x-2y-3z=-12 \\II\qquad 0 +7y+5z=29  \\III\qquad 0 +0+-6z=-18 \\\)

5. Schritt Nach den Variablen auflösen

Du beginnst mit Zeile III und löst nach z auf.

\( III \qquad -6z=-18 | :(-6) \\ z = 3 \\\)

Das Ergebnis für z setzt du ein in Zeile II ein und löst nach y auf.

\( II \qquad 0 +7y+5z=29 \\ 7y+5 \cdot 3 = 29 \\ 7y+15 = 29 | -15 \\ 7y = 14 |:7 \\ y = 2 \\ \)

Das Ergebnis für y und z setzt du ein in Zeile I und löst nach x auf.

\( I \qquad 1x-2\cdot 2-3 \cdot 3=-12 \\ 1x -4 -9 = -12 \\ 1x -13 = -12 | +13 \\ x = 1 \\ \)
Lösungsantwort Das Gleichungssystem ist gelöst mit \( x = 1, y = 2, z = 3 \).

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme:

  1. \( 2x+1y = 6 \\ 2x-2y = 0 \\ \)
  2. \( 5x-1y = 14 \\ 10x+5y = 35 \\  \)
  3. \( 8x-7y = -36 \\ -x- y = -3   \\ \)
  4. \( x+y = 16 \\ x- y = -4  \\  \)
  5. \( 0,5x+4y= -8 \\ -0,5x+0,5y= -1 \\ \)
  6. \( 2x+y = 10 \\ x – 5y = 5\\ \)
  7. \( 5x-5y = 0 \\ x+y= 2 \\ \)
  8. \( -x +y+z = 0 \\ x-3y-2z = 5 \\ 5x+y+4z=3 \\ \)
  9. \( 2x +3y+5z = 8 \\ 1x+1y-2z = 7 \\ 3x-1y+1z=2 \\ \)
  10. \( 4x +2y+2z = 8 \\ 3x-4y+3z = -2 \\ 1x+3y+2z=4 \\ \)  
Lösungen
  1. \( x = 2, y = 2 \)
  2. \( x = 3 , y = 1  \)
  3. \( x = – 1, y = 4   \)
  4. \( x = 6 , y = 10 \)
  5. \( x = 0 y = -2   \)
  6. \( x = 5 , y = 0    \)
  7. \( x = 1, y = 1    \)
  8. \( x = -1, y = -4 , z= 3    \)
  9. \( x = 2, y = 3 , z= 1  \)
  10. \( x = \frac{7}{4} , y =\frac{5}{4} , z=-\frac{3}{4}   \)  
Hat dir die Erklärung weitergeholfen?
[Bewertungen: 1 Durchschnitt: 5]
Weitere Themen aus diesem Bereich:
We will be happy to hear your thoughts

Hast du eine Anmerkung, Frage oder einen Verbesserungsvorschlag zum Thema? Wir antworten – versprochen!

Pirabel