Logarithmus

Kapitel aktualisiert am 07.12.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Logarithmus als Teil der Arithmetik im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir die Gesetze, welche Regeln es für das Umformen und Vereinfachen von Logarithmen gibt, den Dekadischen und Natürlichen Logarithmus sowie veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben mit Lösungen.

Was sind Logarithmen?

Der Logarithmus ist die inverse Funktion der Exponentialfunktion. Der Logarithmus einer Zahl x lässt sich also als die Antwort auf die Frage verstehen, mit welcher Zahl eine Basiszahl b exponiert werden muss, um die gesuchte Zahl x zu ergeben.

Die übliche Schreibweise ist dabei gegeben durch \(\log_b(x)\), wobei b die Basiszahl beschreibt. An einem ersten Beispiel sehen wir, wie diese Frage einfach beantwortet werden kann:

Beispiel:
 \( \log _{10} (10000)= \log_{10} (10\cdot10\cdot10\cdot10) = 4 \)  
Insbesondere für ganze Zahlen gibt es für den Logarithmus eine intuitive Interpretation: die Basiszahl 10 muss vier mal mit sich selbst multipliziert werden, um die 10000 zu ergeben.

Theoretisch sind auch andere Basiszahlen möglich:

Beispiel:
  \( \log _{4} (64) = \log _{4} (4\cdot4\cdot4) = 3  \)

Historisch haben Logarithmen vor allem vor der Ära des Taschenrechners eine besondere, praktische Rolle gespielt. Dazu wurden ganze Bücher mit Logarithmentabellen herausgegeben, die vielfältige Anwendung, zum Beispiel bei Buchhaltern, fanden.

Ihre Nützlichkeit hängt mit der Tatsache zusammen, dass sie die Multiplikation von Zahlen entscheidend vereinfachen, indem sie sie auf eine Addition zurückführen. Das ist über die Produktregel zu verstehen, die wir nächsten Abschnitt erläutern.

Logarithmusgesetze

Die Logarithmengesetze gelten unabhängig der Wahl der Basis. Dabei wird vorrausgesetzt, dass für alle Logarithmen innerhalb der Gleichung die gleiche Basis verwendet wird.

Produktregel

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Addition der Logarithmen der einzelnen Faktoren.

Beispiel:
  \( \log (6) = \log  (2\cdot3) = \log  (2)+\log  (3) \)

Betrachtet man nun die Multiplikation großer Zahlen, kann diese Überführung des Produktes auf eine Summe die Rechnung entscheidend vereinfachen:

Beispiel:
  \( \log (6) = \log (12345\cdot 6789) = \log  (12345)+ \log  (6789) = 9.42+8.82=18.42=\log (83810205) \)

Du musst also einfach den Logarithmus berechnen und schlägst dann das Ergebnis der Addition in einer Logarithmentabelle nach. Dann kennst du sofort das Ergebnis der sonst aufwändigen und fehleranfälligen Multiplikation.

Quotientenregel

Die Quotientenregel ist die Umkehrung der Produktregel. Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Subtraktion der Logarithmen der einzelnen Faktoren.

Beispiel:
  \( \log (\frac{6}{2}) = \log  (3) = \log  (6) – \log  (2) \)

Wenn du an dieser Stelle genau hinschaut, siehst du, dass es sich dabei einfach nur um eine Umstellung des ersten Beispieles der Produktregel handelt. Die Produkt- und Quotientenregel sagen im Endeffekt beide das gleiche aus, sind aber je nach Situation die nützlichere Formulierung.

Potenzregel

Die Berechnung von Logarithmen wird besonders simpel, wenn in deinem Term eine Potenz auftaucht. Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, heben sich diese einfach gegenseitig auf. Deshalb kann der Exponent vor den Term gezogen werden: \( \log (a^b) = b \log  (a) \).

Beispiel:
  \( \log (12^5) = 5 \cdot \log  (12) \)

Umrechnung zwischen Logarithmensystemen

Falls deine Logarithmen in einer unterschiedlichen Basis gegeben sind, kannst du die oben genannten Regeln nicht mehr anwenden. Dann kann es hilfreich sein, die Logarithmen unterschiedlicher Basen ineinander überzuführen.

Dies geschieht über die Gleichung \( \log_{a}(x) = \frac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(a)} \) .

Beispiele:
  \( \log_{4}(20) = \frac{\log_{3}(20)}{\log_{3}(4)} \\
\log_{2}(20) = \frac{\log_{3}(20)}{\log_{3}(2)} \)

Dekadischer Logarithmus und Logarithmus Naturalis

Dekadischer Logarithmus

Die zwei am häufigsten auftauchenden Logarithmen sind der dekadische Logarithmus und der natürliche Logarithmus.

Der dekadische Logarithmus ist von besonderer Bedeutung, da die 10 die Basis unseres Zahlensystems bildet. Das muss nicht sein und es gibt Zahlensysteme, die auf anderen Zahlen aufbauen (zum Beispiel auf der 6, was an der Tatsache, dass eine Minute 60 Sekunden und eine Stunde 60 Minuten hat, nach wie vor erkennbar ist).

Du kannst am dekadischen Logarithmus deshalb immer direkt ablesen, wieviele Stellen deine Zahl hat. Diese ist immer durch die nach oben aufgerundete ganze Zahl gegeben.

Beispiele:
  \( \log_{10} (55555) \approx 4.74 \rightarrow 5 \, \text{Nachkommastellen} \\ \log_{10} (43567325) \approx 7.64\rightarrow 8 \, \text{Nachkommastellen} \)

Das kannst du verstehen, wenn du deine Zahl immer wieder durch 10 teilst: dadurch verliert deine Zahl eine Stelle und laut Quotientenregel ziehst du genau eine 1 von deinem Logarithmus ab.

Am Ende bleibt ihr mit einer Zahl kleiner 10 übrig. Ihr Logarithmus ist dementsprechend kleiner eins, sie hat aber eine Stelle, weshalb du sie aufrunden musst.

Natürlicher Logarithmus

Bei dem natürlichen Logarithmus wird die Eulersche Zahl e als Basis verwendet, die in der Mathematik einen ähnlich hohen Stellenwert hat wie Pi. Diese hat die natürliche Eigenschaft, dass die Ableitung ihrer Exponentialfunktion sich selbst ergibt, also \( \frac{d}{dx} e^x=e^x \).

Da dadurch die Exponentialfunktion zahlreiche wichtige Anwendungen hat, ist ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus, ebenso bedeutsam. Dieser hat deshalb eine eigene Bezeichnung und wird oft einfach als \( \log_e=\ln \) geschrieben.

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Logarithmus mit Lösungen für dich:

Aufgaben
Vereinfache die folgenden Logarithmen:

\( 1. \; \log_{4}(6) + \log_{4}(5) \\ 2.\; \log_{3}(x^2) + \log_{3}(x) \\ 3.\; \log_{4}(16) – \log_{4}(4) \\
\\ 4.\; \log_{4}(x) – \log_{4}(y)-\log_4(z) \\ 5. \; 3 \cdot \log_{3}(3) \\ 6.\; \frac{1}{2}\cdot\log_{10}(10000) \\ \)

Führe einen Basiswechsel auf den natürlichen Logarithmus durch:
\( 7. \; \log_{10} (5) \\ 8. \; \log_{6} (7)  \)

Kombinierte Aufgaben: vereinfache, so viel es geht (aber nicht zu viel!)
\( 9. \; \log_{3} (81)- 2 \cdot \log_{5} (25) \\
10. \;   2 \cdot \ln_{4} (x) +\log_{5} (y) \)

Lösungen
\( 1. \; \log_{4}(30) \\ 2.\; \log_{3}(x^3)=3 \cdot \log_{3}(x) \\ 3.\; \log_{4}(4)=1 \\
\\ 4. \; \log_{3}(\frac{x}{yz})  \\ 5. \; \log_{3}(3^3)=3 \\ 6. \; \log_{10}(\sqrt{10000})=2 \\ \)

Basiswechsel:
\( 7. \; \frac{\ln (5)} {\ln(10)} \\ 8. \;  \frac{\ln (7)} {\ln(6)} \)

Kombinierte Aufgaben:
\(  9.  \; 0\\
10. \;   \ln_{4} (x^2) +\frac{\log_{4} (y) } {\log_{4}(5)}\)

Hat dir die Erklärung weitergeholfen?
[Bewertungen: 1 Durchschnitt: 5]
Weitere Themen aus diesem Bereich:
Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

We will be happy to hear your thoughts

Hast du eine Anmerkung, Frage oder einen Verbesserungsvorschlag zum Thema? Wir antworten – versprochen!

Pirabel