Logarithmusgesetze

Kapitel aktualisiert am 25.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Logarithmusgesetze als Teil der Arithmetik im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, welche Regeln es für das Umformen und Vereinfachen von Logarithmen gibt, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Grundlegende Regeln

Bei der Rechnung mit Logarithmen gibt es Regeln, die das Vereinfachen von Termen ermöglichen:

Produktregel

Der Logarithmus einer Multiplikation ist gleich der Addition der einzelnen Logarithmen der beiden Faktoren: \( \log_{b}(x \cdot y) = \log_{b}(x) + \log_{b}(y) \)

Beispiel:
\( \log_{2}(2 \cdot 3) = \log_{2}(2) + \log_{2}(3) \) \( \log_{5}(9 \cdot 6) = \log_{5}(9) + \log_{5}(6) \) \( \log_{10}(4 \cdot 7) = \log_{10}(4) + \log_{10}(7) \)

Quotientenregel

Der Logarithmus eines Bruches (bzw. einer Division) ist gleich der Subtraktion der einzelnen Logarithmen der beiden Faktoren.

Beispiel:
\( \log_{2}(\frac{2}{3}) = \log_{2}(2) – \log_{2}(3) \) \( \log_{5}(\frac{9}{6}) = \log_{5}(9) – \log_{5}(6) \) \( \log_{10}(\frac{4}{7}) = \log_{10}(4) – \log_{10}(7) \)

Potenzregel

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich der Multiplikation des Exponenten mit dem Logarithmus der Basis der Potenz.

Beispiele:
\( \log_{2}(15^3) = 3 \cdot \log_{2}(15) \) \( \log_{5}(19^6) = 5 \cdot \log_{5}(19) \) \( \log_{10}(\sqrt[4]{24}) =  \log_{10}(24^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4} \cdot \log_{10}(24) \) \( \log_{3}(\sqrt{4}) =  \log_{3}(4^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot \log_{10}(4) \)

Basiswechsel/Umrechnung der Logarithmusbasis

Die obigen Regel haben sich alle auf Logarithmen mit der gleichen Basis bezogen. Die Basis eines Logarithmus kannst du auch zu einer anderen Basis umformen.

Umformung eines Logarithmus mit der Basis a zu einem Logarithmus mit der Basis b: \( \log_{a}(x) = \frac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(a)} \)

Beispiel:

Gegeben ist der Logarithmus von 15 zur Basis 2, gewünscht ist dieser Logarithmus zur Basis 3: \( \log_{2}(15) = \frac{\log_{3}(15)}{\log_{3}(2)} \)

Gegeben ist der Logarithmus von 4 zur Basis 10, gewünscht ist dieser Logarithmus zur Basis 2: \( \log_{10}(4) = \frac{\log_{2}(10)}{\log_{2}(4)} \)

Alle Logarithmengesetze verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu den Logarithmusregeln mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Vereinfache die folgenden Logarithmen (klammere ggf. aus):

  1. \( \log_{4}(6) + \log_{4}(5) \)
  2. \( \log_{3}(x) + \log_{3}(y) + \log_{3}(z) \)
  3. \( \log_{2}(10) – \log_{2}(8) \)
  4. \( \log_{2}(x) – \log_{2}(y) + \log_{2}(z) \)
  5. \( 5 \cdot \log_{3}(12) \)
  6. \( 2 \cdot \log_{10}(y) \)
  7. \( \frac{1}{6} \cdot \log_{5}(4) \)

Forme die folgenden Logarithmen mit den verschiedenen Basen zu Logarithmen mit der Basis 10 um:

  1. \( \log_{20}(4) \)
  2. \( \log_{5}(3) \)
  3. \( \log_{2}(x) \)  
Lösungen
  1. \( \log_{4}(6 \cdot 5)  \)
  2. \( \log_{3}(xyz)  \)
  3. \( \log_{2}(\frac{10}{8}) \)
  4. \( \log_{2}(\frac{xz}{y}) \)
  5. \( \log_{3}(12^5) \)
  6. \( \log_{10}(y^2) \)
  7. \( \log_{5}(\sqrt[6]{4}) \)
  8. \( \frac{\log_{10}(4)}{\log_{10}(20)} \)
  9. \( \frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(5)}  \)
  10. \( \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)}  \)  
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