Maßstab berechnen

Kapitel aktualisiert am 13.02.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Maßstab berechnen als Teil der Grundlagen im Bereich der Geometrie. Wir erklären dir alltagsnah, was ein Maßstab ist, geben dir Beispiele und einen Maßstabsrechner, mit dem du bequem Maßstäbe in verschiedenen Einheiten ausrechnen kannst, sowie abschließend Aufgaben mit Lösungen.

Maßstabrechner
Maßstab 1 :
Entfernung auf Karte
Echte Entfernung

Grundlegendes zu Maßstäben

Maßstäbe treten immer dann auf, wenn ein Objekt, das in der echten Welt vorkommt, vergrößert oder verkleinert abgebildet werden soll.

Die zwei gängigsten Beispiele aus dem Alltag sind wahrscheinlich Landkarten und Fahrzeugmodelle, wobei die Landkarte die verkleinerte Version einer Stadt, eines Landes, oder aber für einen Globus der ganzen Erde sein kann.

Auch der Grundriss eines Hauses ist eine verkleinerte Abbildung. Im Falle der Fahrzeugmodelle wird ein Auto so stark geschrumpft, dass es zwar noch genauso aussieht wie ein richtiges Auto, du es aber bequem in deiner Hand halten kannst.

Der Maßstab gibt dir nun genau das Verkleinerungsverhältnis oder Vergrößerungsverhältnis zwischen Original und Abbildung. Das ist der Faktor, um wie viel kleiner bzw. größer die Abbildung im Vergleich zum Original ist.

Maßstab: Definition & Anwendung

Beginnen wir mit dem Beispiel einer Karte.

Stell dir vor, du schaust auf Google Maps nach, wie weit es von Berlin nach Paris ist. Wenn du die Entfernung von 991 Kilometern laufen müsstest, wärst du ganz schön lange unterwegs.

Wenn du aber bei Google Maps ein Stück nach außen zoomst, kannst du die gesamte Strecke auf deinem kleinen Bildschirm anzeigen lassen, sodass sie nur noch 9,91 Zentimeter lang ist.

Das bedeutet, dass der Maßstab deiner Karte durch den \(  \text{Maßstab} = \frac{991 \text{Kilometer}}{9,91 \text{Zentimeter}}= 1:100 000 000 \) gegeben ist.

An dieser Stelle musst du Acht geben, dass du den Maßstab nicht wie einen Bruchstrich  \(  1:100 000 000= \frac{1}{100 000 000}\) behandelst, sondern wie die Zahl \(  100 000 000 \). Die Schreibweise mit dem Doppelpunkt ist für Maßstäbe üblich, sollte aber nicht mit einem Geteiltzeichen verwechselt werden.

Dieses Verhältnis von echter Entfernung und Strecke auf deinem Bildschirm ist nun genau der Maßstab der Karte, die auf Google Maps angezeigt wird.

Formel für den Maßstab
Zusammenfassend lässt sich definieren: der Maßstab drückt genau das Verhältnis \(  \text{Maßstab} = \frac{\text{reale Distanz}}{\text{Distanz auf der Abbildung}} \) aus.

Maßstab berechnen

Den Maßstab kannst du also immer berechnen, indem du eine Distanz, die du schon kennst, in der echten Welt heraussuchst (beispielsweise die Strecke zwischen Berlin und Paris) und dann auf deiner Karte ausmisst, wie weit die Entfernung dort ist.

Dabei musst du aber noch vorsichtig sein, dass die Entfernungen, die du betrachtest, in den gleichen Einheiten gemessen werden. Zum Beispiel wird die Entfernung auf der Karte in der Regel in Zentimetern gemessen, während die Entfernungen auf der Erde üblicherweise im Bereich der Kilometer gemessen werden.

Dann ist die Umrechnung noch relativ simpel: ein Kilometer sind genau \(  100000 \) Zentimeter. Wenn du aber in Amerika bist, werden dort Entfernungen anders angegeben: dann wird von Zoll, Fuß und Meilen gesprochen.

Deshalb muss der erste Schritt deiner Maßstabsrechnung immer sein, die betrachteten Entfernungen in die gleiche Einheit zu bringen.

Richtige Einheiten

Bevor du einen Maßstab berechnen kannst, müssen die Entfernungen, die du vergleichst, die gleichen Einheiten haben.

Die dafür nötigen Faktoren kannst du der folgenden Tabelle entnehmen:

Zentimeter Millimeter Inch
Kilometer 100000 1000000 39370,1
Meter 100 1000 39,3701
Yard 91,44 914,4 36
Meilen 160934 1609340 63360

Die Tabelle liest du folgendermaßen: der Eintrag aus der ersten Zeile und ersten Spalte entspricht einem Kilometer, ausgedrückt in Zentimeter, der Eintrag aus der ersten Zeile und zweiten Spalte einem Kilometer, ausgedrückt in Millimetern usw.

Willst du also einen Kilometer in Zentimeter umrechnen, musst du einfach mit dem Wert der Tabelle multiplizierenSo ist laut Tabelle ein Yard genau 36 Inches lang.

Um den Maßstab für die in der Tabelle vorkommenden, gängigen Einheiten zu berechnen, stellen wir dir einen Massstabsrechner bereit, mit dem du bequem jeden Maßstab umrechnen kannst.

Maßstabrechner
Maßstab 1 :
Entfernung auf Karte
Echte Entfernung

Beispiele

Maßstab aus Verhältnissen berechnen

Nehmen wir an, du hast ein Modellauto vor dir, von dem du weißt, dass die Felgen des echten Autos einen Durchmesser von 14 Zoll haben. Du zückst dein Lineal und misst nach, wie groß die Felgen deines Modellautos sind: du kommst auf ungefähr 2 Zentimeter.

Du rechnest folgendermaßen:

1. Größe der echten Felgen in Zentimeter: \(  16 \text{Zoll} \cdot 2.54 \frac{\text{Zentimeter}}{\text{Zoll}}= 40,64 \text{ Zentimeter} \\\)

2. Berechnen des Maßstabs: \(  \text{Maßstab} = \frac{\text{echte Felgen}}{\text{Modellfelgen}}=  \frac{40,64 }{2} \approx 1:20 \). Somit bist du mit deinem Maßstab angelangt.

Echte Strecke aus Maßstab und Distanz auf Karte

Wir wollen jetzt die Frage beantworten, wie weit es von New York nach Los Angeles ist. Da dieses Beispiel in Amerika angesiedelt ist, sollst du am Ende die Entfernung in Meilen angeben.

Wir nehmen an, dass wir eine Karte Amerikas vor uns haben, auf der die Entfernung zwischen den beiden Städten 44,5 Zentimeter beträgt. Weiterhin haben wir einen Maßstab von \(1:100 000 000\) am unteren Rand der Karte angegeben.

Ein ähnliches Beispiel (Strecke von Paris nach Berlin) haben wir schon vorher betrachtet, nur dass wir nun umgekehrt rechnen müssen. Dank unserer Formel wissen wir \( 1:100 000 000 = \frac{\text{reale Distanz}}{\text{Distanz auf der Karte}} \).

Dadurch ist die Länge der realen Distanz \(  1:100 000 000 \cdot 44.5 \text{ cm}   = 44500000 \text{ cm}\).

Nun entnehmen wir obiger Tabelle den Umrechnungsfaktor zwischen Zentimetern und Meilen, um unser Ergebnis komfortabler ausdrücken zu können: \(  \frac{444983600 \text{ cm}}{160934\frac{\text{cm}}{\text{Meilen}}}\approx 2765 \text{ Meilen} \).

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Maßstab berechnen mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Berechne die reale Strecke in Kilometern:

\( 1. \;\text{Maßstab: } 1:4000, \text{Kartenstrecke: } 3\text{cm} \\ 2.\; \text{Maßstab: } 1:150000, \text{Kartenstrecke: } 4 \text{mm} \\ 3.\; \text{Maßstab: } 1:150000, \text{Kartenstrecke: } 4 \text{Inch} \\  4.\; \text{Maßstab: } 1:0.5, \text{Kartenstrecke: } 1000\text{cm}\\ \)

Berechne die Kartenstrecke in Zentimetern:

\(5. \; \text{Maßstab: } 1:40000, \text{reale Strecke: }4\text{km} \\ 6.\;  \text{Maßstab: } 1:160000, \text{reale Strecke: }6,4 \text{km} \\ 7. \; \text{Maßstab: } 1:10000, \text{reale Strecke: }2,485 \text{Meilen}  \\ \)

Berechne den Maßstab:

\( 8. \; \text{Kartenstrecke: } 3\text{cm},  \text{reale Strecke: }3\text{km} \\ 9. \; \text{Kartenstrecke: } 25\text{cm},  \text{reale Strecke: }5\text{km}\\ 10. \; \text{Kartenstrecke: } 1\text{cm},  \text{reale Strecke: }1\text{Meile} \)
Lösungen
\( 1. 0,012 km\\ 2.\; 0,06 km \\ 3.\; 1,524 km\\  4.\; 0,0005 km \\ 5. \; 100 cm \\ 6.\; 40 cm \\
7. \; 40cm\\ 8. \; 1:100000 \\ 9. \; 1:200000 \\ 10. \;   1:160934 \)
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Enes Witwit

Enes hat an der Universität Heidelberg seinen Abschluss in Mathematik gemacht. Er unterrichtete auch an der Universität begeistert junge Studenten und verhalf ihnen, komplexe Sachverhalte leicht zu verstehen. Zudem arbeitete er als Hilfswissenschaftler und forschte an aktuellen mathematischen Problemen.

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