Matrizen multiplizieren

Kapitel aktualisiert am 01.11.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Matrixmultiplikation als Teil der Matrizenrechnung im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, wie du Matrizen mit Skalaren und Matrizen multiplizierst, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Matrix-Multiplikation: Skalar mal Matrix

Bei der Multiplikation von einem Skalar c mit einer m x n-Matrix werden alle Einträge der Matrix mit dem Skalar c multipliziert:

1. Beispiel:

Multipliziere die folgende 3×3-Matrix mit c=2. Du musst alle Einträge der Matrix mit der 2 multiplizieren:

\( 2 \cdot  \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 4 & -5 & 6 \\ -2 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2  & 2 \cdot 2  & -3 \cdot 2  \\ 4 \cdot 2  & -5 \cdot 2  & 6 \cdot 2  \\ -2 \cdot 2  & 3 \cdot 2  & 4 \cdot 2  \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 2 & 4& -6 \\ 8 & -10 & 12 \\ -4 & 6 & 8 \end{pmatrix} \)

Matrix-Multiplikation: Matrix mal Matrix

Bei der Multiplikation von Matrizen musst du 3 Dinge beachten:

  1. \( A \cdot B \): A ist eine m x n-Matrix (m Zeilen, n Spalten) und B ist eine n x r-Matrix (n Zeilen, r Spalten). Sprich: damit zwei Matrizen miteinander multipliziert werden können, muss die Anzahl der Spalten von der Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B sein.
  2. Das Ergebnis der Multiplikation (Matrixprodukt) ist eine m x r-Matrix (m: Anzahl der Zeilen von Matrix A, r: Anzahl der Spalten von Matrix B).
  3. \( A \cdot B \neq B \cdot A \) Das Kommutativgesetz gilt für Matrizen nicht.

Formale Definition

Sei A eine m x n-Matrix und B eine n x r-Matrix und das Ergebnis der Multiplikation von AB eine m x r-Matrix C. Dann funktioniert die Matrizenmultiplikation allgemein folgendermaßen:

\(  \begin{pmatrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & \cdots & b_{n,r} \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} c_{1,1} & \cdots & c_{1,r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m,1} & \cdots & c_{m,r} \end{pmatrix} \\ \)

Wobei die Einträge der Matrix C durch die Multiplikation der jeweiligen Zeile von Matrix A mit der Spalte von Matrix B zustande kommen:

\( c_{i,j} = \sum_{x=1}^{n} a_{i,x} \cdot b_{x,j} \\ \)

Sprich: Für den Eintrag in Zeile i, Spalte j der Ergebnismatrix C musst du Zeile i von Matrix A mit Zeile j von Matrix B multiplizieren.

2. Beispiel:

Wir multiplizieren eine 3 x 3-Matrix mit einer 3 x 3-Matrix. Das Ergebnis wird ebenfalls eine 3 x 3-Matrix sein.

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix}c_{1,1} & \cdots & c_{1,r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m,1} & \cdots & c_{m,r} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{1,1} \): Multipliziere die 1. Zeile der Matrix A mit der 1. Spalte der Matrix B: \( c_{1,1} = a_{1,1} \cdot b_{1,1} + a_{1,2} \cdot b_{2,1} + a_{1,3} \cdot b_{3,1} =  1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2+2+0 = 4 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & c_{1,2} & c_{1,3} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{m3,3} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{1,2} \): Multipliziere die 1. Zeile der Matrix A mit der 2. Spalte der Matrix B: \( c_{1,2} = a_{1,1} \cdot b_{1,2} + a_{1,2} \cdot b_{2,2} + a_{1,3} \cdot b_{3,2} =  1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2+4+0 = 6 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & 6 & c_{1,3} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{m3,3} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{1,3} \): Multipliziere die 1. Zeile der Matrix A mit der 3. Spalte der Matrix B: \( c_{1,3} = a_{1,1} \cdot b_{1,3} + a_{1,2} \cdot b_{2,3} + a_{1,3} \cdot b_{3,3} =  1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1+0+0 = 1 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{m3,3} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{1,1} \): Multipliziere die 2. Zeile der Matrix A mit der 1. Spalte der Matrix B: \( c_{2,1} = a_{2,1} \cdot b_{1,1} + a_{2,2} \cdot b_{2,1} + a_{2,3} \cdot b_{3,1} =  0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0+1+0 = 1 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 \\ 1 & c_{2,2} & c_{2,3} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{m3,3} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{2,2} \): Multipliziere die 2. Zeile der Matrix A mit der 2. Spalte der Matrix B: \( c_{2,2} = a_{2,1} \cdot b_{1,2} + a_{2,2} \cdot b_{2,2} + a_{2,3} \cdot b_{3,2} =  0 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 0+2+2 = 4 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 \\ 1 & 4 & c_{2,3} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{m3,3} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{2,3} \): Multipliziere die 2. Zeile der Matrix A mit der 3. Spalte der Matrix B: \( c_{2,3} = a_{2,1} \cdot b_{1,3} + a_{2,2} \cdot b_{2,3} + a_{2,3} \cdot b_{3,3} =  0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0+0+2 = 2 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{m3,3} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{3,1} \): Multipliziere die 3. Zeile der Matrix A mit der 1. Spalte der Matrix B: \( c_{3,1} = a_{3,1} \cdot b_{1,1} + a_{3,2} \cdot b_{2,1} + a_{3,3} \cdot b_{3,1} =  1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2+0+0 = 2 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & c_{3,2} & c_{m3,3} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{3,2} \): Multipliziere die 3. Zeile der Matrix A mit der 2. Spalte der Matrix B: \( c_{3,2} = a_{3,1} \cdot b_{1,2} + a_{3,2} \cdot b_{3,2} + a_{2,3} \cdot b_{3,2} =  1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 2+0+1 = 3 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & c_{m3,3} \end{pmatrix} \\ \)

Für den Eintrag \( c_{3,3} \): Multipliziere die 3. Zeile der Matrix A mit der 3. Spalte der Matrix B: \( c_{3,3} = a_{3,1} \cdot b_{1,3} + a_{3,2} \cdot b_{2,3} + a_{3,3} \cdot b_{3,3} =  1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1+0+1 = 2 \) :

\(  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2  & 3  & 2 \end{pmatrix} \\ \)

Von Hand ausrechnen: Falksches Schema

Für die Matrizenmultiplikation kannst du auch das sogenannte Falk-Schema anwenden. Hierbei zeichnest du ein Kreuz auf, sodass 4 Felder entstehen, in denen die 3 Matrizen folgendermaßen eingetragen werden:

Die erste Matrix schreibst du in das Feld links unten, die zweite Matrix in das Feld rechts oben. Die Ergebnismatrix von der Multiplikation kommt in das Feld rechts unten.

Die Berechnung führst du genau so aus, wie wir es oben schon formal beschrieben haben: Zeilen der 1. Matrix mit den Spalten der 2. Matrix multiplizieren.

Der einzige Unterschied ist, dass die Matrizen so im Feld stehen, dass du die Einträge der Ergebnismatrix nicht vertauschen kannst, da die Zeilen und Spalten der beiden Matrizen genau zu dem Eintrag der Ergebnismatrix führen.

So sieht das dann aus:

3. Beispiel:

Nun wollen wir dir das Falkschema für die Beispielmultiplikation \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) verwenden:

Dazu trägst du die erste Matrix in das Feld links unten ein und die zweite Matrix in das Feld rechts oben. Das Ergebnis der Multiplikation ist eine 2×3 -Matrix, welche im Feld rechts unten stehen wird.

Eintrag Zeile 1, Spalte 1: Multipliziere die 1.Zeile von der 1. Matrix mit der 1. Spalte von der 2. Matrix.

\( 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3 = 1+3 = 4 \)

Matrizen multiplizieren: Beispiel 1

Eintrag Zeile 1, Spalte 2: Multipliziere die 1.Zeile von der 1. Matrix mit der 2. Spalte von der 2. Matrix.

\( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2+2+3 = 7 \)

Matrizen multiplizieren: Beispiel 2

Eintrag Zeile 1, Spalte 3: Multipliziere die 1.Zeile von der 1. Matrix mit der 3. Spalte von der 2. Matrix.

\( 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 1+4+6 = 11 \)

Matrizen multiplizieren: Beispiel 3

Eintrag Zeile 2, Spalte 1: Multipliziere die 2.Zeile von der 1. Matrix mit der 1. Spalte von der 2. Matrix.

\( 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 3 = 4+18 = 22 \)

Matrizen multiplizieren: Beispiel 4

Eintrag Zeile 2, Spalte 2: Multipliziere die 2.Zeile von der 1. Matrix mit der 2. Spalte von der 2. Matrix.

\( 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 = 8+5+6 = 19 \)

Matrizen multiplizieren: Beispiel 5

Eintrag Zeile 2, Spalte 3: Multipliziere die 2.Zeile von der 1. Matrix mit der 3. Spalte von der 2. Matrix.

\( 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 2 = 4+10+12 = 26 \)

Matrizen multiplizieren: Beispiel 6

Also: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 11 \\ 22 & 19 & 26 \end{pmatrix} \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Matrizenmultiplikation mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die Ergebnismatrizen folgender Multiplikationen, falls die Matrizen multipliziert werden können:

  1. \( -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \)
  2. \( 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
  3. \( \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \\ 6 & 0 & 10 \end{pmatrix} \)
  4. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}  \)
  5. \( \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}  \)
  6. \( \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix}  \)
  7. \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4  \\3 \end{pmatrix}  \)
  8. \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix}    \)
  9. \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}  \)
  10. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1  \\ 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
Lösungen
  1. \( \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ -4 & -5 & -6 \end{pmatrix} \)
  2. \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 6 & 2 & 4 \end{pmatrix} \)
  3. \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix}  \)
  4. Zeilenanzahl 1. Matrix \( \neq \) Spaltenanzahl 2. Matrix
  5. \( \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}  \)
  6. Zeilenanzahl 1. Matrix \( \neq \) Spaltenanzahl 2. Matrix
  7. \( 5 \)
  8. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}   \)
  9. Zeilenanzahl 1. Matrix \( \neq \) Spaltenanzahl 2. Matrix
  10. \( \begin{pmatrix} 10 & 8  \\ 9 & 6 \end{pmatrix}  \)
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