Mitternachtsformel

Kapitel aktualisiert am 03.10.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Mitternachtsformel als Teil der quadratischen Gleichungen im Bereich der Algebra. Wir erklären dir die Herleitung der Formel, erläutern ihre Anwendung an Beispielen und geben dir Aufgaben zum Lernen mit Lösungen.

Einleitung

Die  abc-Formel, die auch unter dem Namen Mitternachtsformel bekannt ist, hat in der Schulmathematik einen hohen Stellenwert.

Dieser ist so hoch, dass sie sich in einigen Teilen Deutschlands den Namen Mitternachtsformel verdient hat: Schüler sollen die Formel selbst dann fehlerfrei aufsagen können, wenn man sie um Mitternacht frisch aufgeweckt hat (unter Studenten würde das wahrscheinlich nicht funktionieren, da sie um Mitternacht sowieso noch wach sind).

Mitternachtsformel
Durch Anwendung der Mitternachtsformel erhältst du die Lösungen von quadratischen Gleichung. Damit dient sie zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Gleichung.

Als Erinnerung: die Nullstelle einer Funktion ist genau der Ort, an dem gilt: \( f(x)=0 \).

Grundlegendes zur Mitternachtsformel

Herleitung

Die Herleitung der Mitternachtsformel beruht auf dem Verfahren der quadratischen Ergänzung, das wir in einem eigenen Artikel genauer erklären.

Als Erinnerung: bei einer quadratischen Ergänzung addierst du eine gehaltvolle Null, um die binomische Formel rückwärts anwenden und damit Terme in einem Quadrat zusammenfassen zu können.

Wir beginnen die Herleitung nun mit der Standardform einer allgemeinen quadratischen Gleichung und setzen diese null:

\( ax^2+bx+c  =  0  \\
ax^2+bx = \,  -c \\ \)

Nun multiplizierst du mit 4a. Das wirkt zunächst einmal ziemlich willkürlich, wird sich aber im Laufe der Herleitung lohnen, da sich die Terme sinnvoll kürzen lassen:

\( 4a^2x^2+4abx  = -4ac \\ \)

An dieser Stellen findet die quadratische Ergänzung statt. Dafür addierst du eine gehaltvolle Null \( b^2 \) auf beiden Seiten des Gleichzeichens:

\(  4a^2x^2+4abx + b^2  =  b^2-4ac\\\)

Nun kannst du die Terme umformulieren, um sie mithilfe der binomischen Formel zusammenfassen zu können:

\(  (2ax)^2+2\cdot 2ax\, b + b^2  =  b^2-4ac\\\)

Wie für quadratische Ergänzungen üblich, fasst du den Term zusammen, indem du die binomische Formel rückwärts anwendest und die drei Terme auf der linken Seite in der quadrierten Klammer einsammelst:

\( (2ax+b)^2  =  b^2-4ac\\\).

Nun ziehst du die Wurzel. Dabei sind immer zwei verschiedene Lösungen möglich, wodurch das Plus-Minus-Zeichen auf der rechten Seite auftaucht (in anderen Worten: wenn du eine negative Zahl quadrierst, kommt das gleiche raus, wie wenn du die entsprechende positive Zahl quadrierst.

Deshalb gibt es nach dem Wurzelziehen immer zwei mögliche Zahlen, deren Quadrat die entsprechende Zahl ergibt):

\(  2ax+b =  \pm\sqrt{b^2-4ac} \\ \)

Jetzt gilt es nur noch, die Gleichung nach x aufzulösen:

\(  2ax  = -b \pm\sqrt{b^2-4ac} \\
x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \)
Mitternachtsformel
Damit sind wir bei der Mitternachtsformel angelangt: Die Mitternachtsformel ist durch \( x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \) gegeben.  

Mitternachtsformel zur Lösung quadratischer Gleichungen

Um die Mitternachtsformel anzuwenden, brauchen wir zunächst einmal eine quadratische Gleichung. Damit die Anwendung gelingt, müssen wir die quadratische Form auf die sogenannte Standardform für quadratische Gleichungen bringen.

Diese ist durch \( f(x)=ax^2+bx+c\) gegeben.

Wenn wir zum Beispiel die Gleichung \( f(x)= (x+2)^2\) in die Mitternachtsformel einsetzen wollen, müssen wir zuerst ausmultiplizieren: \( f(x)= (x+2)^2= x^2+4x+4 \)

Diese Gleichung können wir nun in die Mitternachtsformel einsetzen.

Das Anwenden der Mitternachtsformel gibt dir nun die Nullstellen der quadratischen Funktion, die einfach als Lösungen bezeichnet werden.

Nullstellen mit der abc-Formel

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Lösungen der Mitternachtsformel: \( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \). 

Die Lösungen der quadratischen Gleichung gibst du anschließend in der Lösungsmenge an. Dabei schreibst du einfach (wenn vorhanden) die beiden Lösungen in eine geschweifte Klammer:

L=\( \{-x_1, x_2 \} \).

Wie vorher erklärt, gibt es nun verschiedene Möglichkeiten, wie viele Nullstellen die quadratische Funktion haben kann. Es kann auch sein, dass es für die quadratische Gleichung überhaupt keine Lösung gibt.

Diskriminante einer quadratischen Gleichung

Um die Frage nach der Anzahl der Nullstellen zu lösen, konzentrieren wir uns auf die sogenannte Diskriminante  \( (b^2-4ac)\), die unter der Wurzel steht.

Der Ausdruck Diskriminante stammt daher, dass dieser Teil der Gleichung Unterscheidungen (lat. discriminare=unterscheiden) über die Anzahl und Existenz von Lösungen der Gleichung ermöglicht.

Es gibt in der Mathematik ganz verschiedene Diskriminanten. Beispielsweise gibt es auch bei der pq-Formel, die man alternativ zur Lösung quadratischer Gleichungen verwendet, eine Diskriminante.

Es gibt drei verschiedene Diskriminanten, die zu 3 Szenarien führen:

  • A: Die Diskriminante ist positiv. Dann gibt die Mitternachtsformel dir die zwei Lösungen für die Nullstellen der quadratischen Gleichung.
  • B: Die Diskriminante ist null: \( (b^2-4ac)=0\). Dadurch reduziert sich die Anzahl deiner Lösungen um eins. Weil du einmal null addierst und einmal null abziehst, gibt es keinen Unterschied mehr zwischen den Lösungen und du erhältst nur eine Lösung. Diese ist durch \( x = \frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}= \frac{-b}{2a}\) gegeben.
  • C: Die Diskriminante ist negativ: \( (b^2-4ac) < 0\). Da du die Wurzel einer negativen Zahl nicht ziehen darfst, folgerst du, dass deine Gleichung überhaupt keine Nullstelle hat.

Die drei Beispiele sind in folgender Grafik eingezeichnet:

Hier kannst du grafisch die drei verschiedenen Möglichkeiten nachvollziehen, die mit A, B und C gekennzeichnet sind. Eine Parabel kann also entweder über, auf oder unter der x-Achse liegen, was darin resultiert, dass sie null, eine oder zwei Nullstellen hat.

Beispiele

1. Beispiel
Betrachten wir das Polynom \( f(x)=x^2+5x-4\).

Da dieses schon in Standardform vorliegt, können wir direkt in die Mitternachtsformel einsetzen.

\( x_{1,2} = \frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 4}}{2}= \frac{-5\pm\sqrt{9}}{2} \).
\( x_{1,2} = \frac{-5 \pm 3}{2} \).

Das kannst du noch kürzen und dann die zwei Nullstellen angeben. Das geschieht wie oben erwähnt über die Lösungsmenge:

\(  L=\{-1, -4\} \).
2. Beispiel
Nun schauen wir uns das Polynom \( f(x)=(x+2)^2-8\) an.

Dieses müssen wir zuerst in die Standardform überführen. Dabei verwenden wir für den quadratischen Term die erste binomische Formel:

\( f(x)=x^2+4x+4-8= x^2+4x-4 \).

Damit sind wir bei der Standardform angelangt, wodurch dem Einsetzen in die Mitternachtsformel nichts mehr im Wege steht.

\( x_{1,2} = \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 4}}{2}= \frac{-4\pm\sqrt{0}}{2} \).
\( x_{1,2} = -2 \).

Damit haben wir nur eine Lösung der quadratischen Gleichung, weil die Diskriminante gleich null ist. Damit gilt für die Lösungsmenge:

\(  L=\{-2\} \).

Aufgaben

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Mitternachtsformel mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der Mitternachtsformel:

  1. \(f(x)= x^2-4\)
  2. \(f(x)= 2x^2-4x+4\)
  3. \(f(x)= 5x^2-5x\)
  4. \(f(x)= 3x^2-4x+12\)
  5. \(f(x)= (x-4)^2-x^2\)
  6. \(f(x)= (2x+3)^2\)
  7. \(f(x)= (2x+3)^2-4\)
  8. \(f(x)= 0,5x^2+2x-6\)
  9. \(f(x)= x^2\)
  10. \(f(x)= 2x^2-10x+25\)

Lösungen

Lösungen
  1. L=\( \{2, -2 \} \)
  2. L=\( \{ \} \)
  3. L=\( \{0, 1\} \)
  4. L=\( \{2/3-\sqrt{20}, 2/3+ \sqrt{20} \} \)
  5. L=\( \{2\} \)
  6. L=\( \{-3/2 \} \)
  7. L=\( \{-5/2, -1/2 \} \)
  8. L=\( \{-6,2 \} \)
  9. L=\( \{0\} \)
  10. L=\( \{ \} \)
Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

Pirabel