Nullstellen berechnen

Kapitel aktualisiert am 15.03.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Nullstellen berechnen als Teil der Funktionen im Bereich der Analysis. Wir erklären dir, was Nullstellen für Eigenschaften haben, wie du sie für verschiedene Funktionen bestimmst und geben dir Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Außerdem haben wir einen Nullstellen-Rechner programmiert, mit dem du problemlos die Nullstellen verschiedener Funktionen berechnen kannst.

Nullstellen-Rechner

Für die bequeme Nullstellenberechnung haben wir einen Nullstellen-Rechner programmiert, mit dem du die Nullstellen einer beliebigen Funktion bestimmen kannst.

Bei der Bedienung musst du beachten, dass alle Multiplikationen ausgeschrieben sind, das heißt du schreibst nicht 2x, sondern 2*x.

Nullstellenrechner
Von welcher Funktion willst du die Nullstellen berechnen?
f(x) =
Du berechnest die Nullstellen von
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  • Grundlegendes zu Nullstellen

    Eine Nullstelle ist eine Eigenschaft, die in der Mathematik einer Funktion zugeordnet werden kann – ähnlich wie ihre Steigung, ihr Scheitelpunkt, ihre Symmetrieachsen und viele andere Eigenschaften.

    Definition der Nullstelle
    Die Nullstelle einer Funktion ist genau der Ort an dem gilt: \( f(x)=0 \)  

    Die Nullstelle kannst du dir bildlich leicht vorstellen: wenn du die Funktion zeichnest, schneidet die Funktion in der Nullstelle genau die x-Achse.

    Verschiedene Funktionen können eine unterschiedliche Anzahl an Nullstellen haben. Beispielsweise gibt es Funktionen ohne Nullstellen.

    Betrachten wir zum Beispiel die konstante Funktion \( f(x)=1 \). Diese wird offenkundig keine Nullstelle haben, da niemals \( f(x)=1=0 \) erfüllt sein kann, während die Funktion \( f(x)=x \) für \( x=0 \) eine Nullstelle hat. Es gibt aber auch Beispiele für Funktionen mit mehr als einer Nullstelle bis hin zu unendlich vielen Nullstellen.

    Tatsächlich hängt die Anzahl die Nullstellen mit der Art deiner Funktion zusammen, d.h. ob es sich um eine lineare, quadratische Funktionen, trigonometrischen Funktionen usw. handelt.

    Im Prinzip ist das Prozedere zur Berechnung der Nullstellen ganz einfach: du musst deine Funktion mit Null gleichsetzen und den entsprechenden x-Wert ausrechnen. Das kann schwierig sein, weshalb wir dir für die gängigsten Funktionen genauer erklären, wie du auf die jeweiligen Nullstellen kommst.

    Nullstellen linearer Funktionen berechnen

    Für lineare Funktionen ist das Berechnen der Nullstellen relativ einfach. Jede lineare Funktion hat nämlich genau eine Nullstelle.

    Die Standardform einer linearen Funktion ist durch \( f(x)=mx+b\) gegeben. Wie oben erklärt, setzt man diese nun gleich Null: \( f(x)=ax+b=0\).

    Dann gilt es, die Gleichung so umzuformen, dass x auf der linken Seite alleine dasteht. Dafür substrahierst du zuerst b: \( ax=-b\).

    Anschließend teilst du durch m, wodurch die Nullstelle bestimmt ist: \(x= \frac{-b}{a}\).

    Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

    Für quadratische Funktionen ist das Bestimmen der Nullstellen schon ein wenig komplizierter. Allgemein kannst du die Nullstelle einer quadratischen Funktion mithilfe des Verfahrens der quadratischen Ergänzung berechnen.

    Da dieses Verfahren jedoch relativ aufwändig ist, kannst du in der Regel auf eine der zwei wichtigen Formeln zurückgreifen, die verwendet werden, um die Nullstellen quadratischer Gleichungen zu berechnen: entweder die pq-Formel oder die abc-Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird.

    Beide Formeln erfüllen den gleichen Zweck, unterscheiden sich aber in den Details ihrer Verwendung.

    Diese beiden Formeln werden mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet. Durch ihre Verwendung sparst du dir also, die quadratische Ergänzung noch einmal machen zu müssen.

    Wir gehen zuerst einmal aus von der Standardform einer quadratischen Gleichung \( f(x)=ax^2+bx+c\) und setzen diese Null. Quadratische Gleichungen haben entweder keine, eine oder maximal zwei Nullstellen.

    Warum, erklären wir dir gleich genauer. Zuerst widmen wir uns einem Sonderfall, der die Bestimmung der Nullstellen deutlich vereinfacht: das Ausklammern.

    Ausklammern

    Falls in der Standardform deiner Gleichung \( c=0\) gilt, vereinfacht sich die Nullstellenbestimmung, denn dann kannst du ein x ausklammern. Dies geschieht auf folgende Art und Weise:

    \( f(x)=ax^2+bx=0 \\ \) \( f(x)= x (ax+b)=0 \\ \)

    Die Idee dahinter ist, deine Gleichung in zwei Faktoren zu zerlegen. Falls einer dieser Faktoren null ist, ist deine gesamte Funktion gleich null, weil alles, was mit null multipliziert wird, automatisch null ergibt.

    Dadurch ist in dieser Form die erste deiner Nullstellen ganz simpel: für \( x=0\) multiplizierst du die ganze Gleichung mit einer Null, wodurch dein Funktionswert immer null ergeben wird. Damit hast du die erste Nullstelle bestimmt.

    Anschließend vereinfacht sich das Problem auf das Bestimmen der Nullstelle einer linearen Gleichung, da in der Klammer nun eine lineare Gleichung steht. Somit gilt es nur noch herauszufinden, an welchem Punkt \( f(x)=ax+b=0\) ist.

    Das ist für \(x= \frac{-b}{a}\) der Fall. Damit hast du auch deine zweite Nullstelle bestimmt.

    abc-Formel

    Die abc-Formel geht von der Standardform der quadratischen Gleichung \( f(x)=ax^2+bx+c=0\) aus.

    Sie spuckt dir dann, nachdem du die Parameter eingesetzt hast, automatisch die Nullstellen der quadratischen Gleichung aus:

    Nullstellen mit der abc-Formel

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Standardform finden sich bei \( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \). 

    Wie vorher erklärt, gibt es nun verschiedene Möglichkeiten, wie viele Nullstellen die quadratische Funktion haben kann.

    Um die Frage nach der Anzahl der Nullstellen zu lösen, konzentrieren wir uns auf die sogenannte Diskriminante \( (b^2-4ac)\), die unter der Wurzel steht.

    Dabei unterscheidet man nun 3 Szenarien:

    • A: Die Diskriminante ist positiv. Dann ist alles in Ordnung und die abc-Formel gibt dir die zwei Lösungen für die Nullstellen der quadratischen Gleichung.
    • B: Die Diskriminante ist null: \( (b^2-4ac)=0\). Dadurch reduziert sich die Anzahl deiner Lösungen um eins. Das liegt daran, dass du in der abc-Formel einmal null addierst und einmal null abziehst. Da das aber für die Null keinen Unterschied macht, erhältst du auch nicht zwei unterschiedliche Lösungen, sondern nur eine. Diese ist durch \( x = \frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}= \frac{-b}{2a}\) gegeben.
    • C: Die Diskriminante ist negativ: \( (b^2-4ac) < 0\). Da du die Wurzel einer negativen Zahl nicht ziehen darfst, erhältst du einen Widerspruch. Daraus folgerst du, dass die Gleichung überhaupt keine Nullstelle hat.

    Die drei Beispiele sind in folgender Grafik eingezeichnet:

    Hier kannst du grafisch die drei verschiedenen Möglichkeiten nachvollziehen, die mit A, B und C gekennzeichnet sind. Eine Parabel kann entweder über, auf oder unter der x-Achse liegen, was darin resultiert, dass sie null, eine oder zwei Nullstellen hat.

    pq-Formel

    Für die pq-Formel ist das Prozedere ähnlich, nur dass man dann von der Normalform einer quadratischen Gleichung \( f(x)=x^2+px+q=0\) ausgeht.

    Der einzige Unterschied zur abc-Formel ist also, dass in diesem Fall \(a=1\) gelten muss (p und q sind nur Platzhalter, die sich von b und c im Prinzip nicht unterscheiden und nur anders benannt sind, damit man die beiden Formeln nicht verwechselt).

    Falls das nicht der Fall ist, musst du die gesamte Gleichung noch durch a teilen, bevor du die pq-Formel anwenden kannst.

    Ansonsten gilt es wieder nur, die Parameter p und q in die Formel einzusetzen. Diese ist durch \( x_{1,2} = – \frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2 – q} \) gegeben.

    Auch hier lässt sich wieder eine Unterscheidung anhand der Diskriminante durchführen. Das ist genau wie bei der abc-Formel der Term unter der Wurzel.

    Wir unterscheiden:

    • A: Die Diskriminante ist positiv. Dann kannst du einfach in die pq-Formel einsetzen, die dir zwei Lösungen für die Nullstellen gibt.
    • B: Die Diskriminante ist null: \( \left(\frac{p}2\right)^2 – q=0\). Dadurch reduziert sich die Anzahl deiner Lösungen um eins. Das liegt daran, dass du dann in der pq-Formel einmal null addierst und einmal null abziehst. Deshalb erhältst du auch nicht zwei unterschiedliche Lösungen, sondern nur eine. Diese ist durch \( x=\frac{-p}{2}\) gegeben.
    • C: Die Diskriminante ist negativ: \( \left(\frac{p}2\right)^2 – q < 0\). Da du die Wurzel einer negativen Zahl nicht ziehen darfst, ergibt sich ein Widerspruch. Daraus folgerst du, dass deine Gleichung keine Nullstelle hat.

    Falls du direkt zur pq-Formel gesprungen bist, kannst du dir die drei Fälle veranschaulichen, indem du den Graph einen Abschnitt weiter oben anschaust.

    Höhere Polynome

    Auch für Polynome höheren Grades (also Polynome, die mindestens einen Term mit Potenzen dritter Ordnung wie \( x^3 \) oder noch höherer Ordnung enthalten) kannst du eine Nullstellenberechnung durchführen.

    Diese wird aber in der Regel mit höherem Grad deiner Potenzen komplizierter. Es gibt trotzdem ein paar Tipps und Tricks, wie das Berechnen der Nullstellen dennoch gelingen kann.

    Wir konzentrieren uns hier auf Polynome dritten Grades, das beschriebene Verfahren lässt sich aber für beliebig hohe Polynome anwenden.

    Dann musst du so lange Nullstellen erraten und Polynomdivison durchführen, bis du bei einem Polynom zweiten Grades angelangt bist, das dann über Mitternachtsformel oder pq-Formel gelöst werden kann.

    Ausklammern

    Dabei gehst du genauso wie bei quadratischen Gleichungen vor. Bedingung für erfolgreiches Ausklammern ist wieder, dass der Term nullten Grades (also der Term, in dem x nicht auftaucht) gleich null ist. Dann kannst du dein Polynom dritten Grades schreiben als \(  f(x)=ax^3+bx^2+cx \).

    Ausklammern von x gibt dir \(  f(x)=x\cdot (ax^2+bx+c) \). Damit ist wieder eine Nullstelle bei \( x=0 \) .

    Für die restlichen Nullstellen vereinfacht sich das Problem auf das Bestimmen der Nullstelle einer quadratischen Gleichung, das wir oben kennengelernt haben. Dadurch erhältst du, wenn vorhanden, deine restlichen Nullstellen.

    Die maximale Anzahl an Nullstellen entspricht dabei immer dem Grad des Polynoms. Das heißt, ein Polynom fünften Grades kann maximal fünf Nullstellen haben.

    Nullstellen durch Probieren herausfinden

    Falls du nicht ausklammern kannst, hast du anders vorzugehen.

    Jetzt musst du, bevor du allzu viel rechnest, erst einmal ausprobieren, ob ein paar einfach zu berechnende Kandidaten für Nullstellen infrage kommen. Dabei gehst du am besten erst einmal alle ganzen Zahlen von 1 bis 4 und dann von -1 bis -4 durch.

    Falls du so eine Aufgabe in der Mathe-Klausur zu lösen hast, ist es unwahrscheinlich, dass noch größere Zahlen oder nicht ganzzahlige Nullstellen auftreten, da sonst die Rechnung ohne Computer ziemlich kompliziert wird.

    Betrachten wir beispielsweise die Funktion \(  f(x)=x^3-6x^2+11x-6 \). Was für Kandidaten könnten für die Nullstellen infrage kommen?

    Wir fangen damit an, einmal \( x=1 \) einsetzen. Wir erhalten \(  f(1)=1^3-6\cdot 1^2+11\cdot 1-6=0 \) Damit ist für dieses Beispiel schon eine Nullstelle gefunden.

    Nehmen wir eine andere Funktion: \(  f(x)=x^3-x^2-22x+40 \) und probieren wieder aus. Es gilt: \(  f(1)=1^3-1^2-22+40=18 \).

    Das ist schon einmal keine Nullstelle.

    Gehen wir weiter „chronologisch“ nach oben weiter, berechnen wir \(  f(3)=3^3-3^2-44+40=0 \). Damit haben wir auch hier die erste Nullstelle erraten.

    An dieser Stelle gibt es einen wichtigen Tipp, den du dir merken kannst:

    Nullstellen erraten

    Jede ganzzahlige Nullstelle ist Teiler des sogenannten Absolutgliedes, also des Terms, in dem kein x mehr auftaucht. Im Falle eines Polynom dritten Grades  \(  f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \) muss also jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von d sein.

    Wenn du diesen Trick beachtest, kannst du in der Regel den Rateprozess vereinfachen. Die 1 wirst du nie ausschließen können, da sie ein Teiler aller Zahlen ist. Ist das Absolutglied aber zum Beispiel ungerade, kannst du es dir sparen, mit der 2 weiter zu rechnen und direkt weiterspringen.

    Natürlich müssen die Nullstellen nicht ganzzahlig sein. In üblichen Mathe-Klausuren wird das eigentlich immer der Fall sein, da sonst die Rechnung ohne Computer nicht mehr wirklich praktikabel ist.

    Polynomdivision

    Ausgehend von der erratenen Nullstelle können wir nun eine Polynomdivision durchführen. Dieses Verfahren ist relativ aufwändig und wird deshalb in einem eigenen Artikel genauer erklärt.

    Der Sinn hinter der Polynomdivision ist an dieser Stelle, unsere Funktion in zwei Teile zu zerlegen: der erste Teil stellt die schon erratene Nullstelle dar, der durch den Faktor \(  (x-\text{erratene Nullstelle}) \) ausgeklammert wird.

    Das ist im Prinzip das gleiche wie das Ausklammern eines Faktors x, nur dass für die Nullstelle \( x=0 \)  die Polynomdivision trivial ist, weil du direkt durch x teilen kannst und durch keine komplizierteren Terme.

    In anderen Worten: wenn du für das obere Polynom x ausklammerst, teilst du die ganze Gleichung einmal durch x, schreibst das Ergebnis hin und multiplizierst das alles wieder mit einem x vor der Klammer: \(  f(x)=x\cdot (ax^2+bx+c) \).

    Nachdem du die Polynomdivision für ein Polynom dritten Grades durchgeführt hast, ist dein Polynom in die ausgeklammerte Nullstelle und eine restliche quadratische Gleichung zerlegt.

    Für unser zweites Beispiel berechnen wir \( f(x)= (x-2) \cdot (x^2+x-20)\).

    Hier ist \( (x-2) \) die erste, erratene Nullstelle (da dieser Faktor für \(x=2\) null gibt) und der restliche Term wieder eine gewöhnliche quadratische Gleichung, die du mit der abc-Formel oder der pq-Formel lösen kannst.

    An dieser Stelle kannst du auch den Trick mit dem Teiler des Absolutglieds nachvollziehen: multiplizierst du das ausgeklammerte Polynom wieder aus, gibt es nur einen Term, in dem kein x auftaucht: \( f(x)= (x-2) \cdot (x^2+x-20)= \dots+40\).

    Dieser muss nun gleich dem Absolutglied des Polynoms in Standardform sein. Zur Erinnerung: dieses war durch \(  f(x)=x^3-x^2-22x+40 \) gegeben.

    Entsprechend muss die ganzzahlige Nullstelle bei \(x=2\) die \( 40 \) teilen können.

    Wie oben erwähnt, lässt sich dieses Verfahren auch für beliebig große Polynome durchführen. Du musst so lange raten und eine Polynomdivision durchführen, bis du bei dem Polynom zweiten Grades angelangt bist.

    Weitere Funktionen

    Trigonometrische Funktionen

    Wie in der Einleitung beschrieben kann es aber auch Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen geben. Ein klassisches Beispiel dafür sind die trigonometrischen Funktionen, also die Sinus-Funktion und die Cosinus-Funktion.

    Da die beiden Funktionen periodisch sind (das heißt immer wieder auf und ab gehen), schneiden sie die x-Achse unendlich oft.

    Im Falle der Sinus-Funktion kannst du deine Nullstellen dann auf folgende Weise angeben: \( \sin(x)=0 \text{ für } x=k \pi, \; k \, \epsilon \, \mathbf{Z}  \).

    Da es unendlich viel ganze Zahlen gibt, gibt es damit auch unendlich viele Nullstellen.

    Polynome mit negativen Potenzen

    Negative Potenzen bedeuten in der Mathematik, dass du durch die entsprechende positive Potenz von x teilst: \( f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\), oder \( f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}\).

    Funktionen, in denen nur negative Potenzen auftauchen, haben überhaupt keine Nullstellen, denn x muss unendlich groß sein, damit die Funktion wirklich 0 wird. Man spricht in der höheren Mathematik davon, dass für „x gegen unendlich“ die Funktion gegen 0 konvergiert. Das ist aber etwas anderes als eine Nullstelle.

    Beispiele

    Die oben vorgestellten Verfahren werden wir jetzt an Beispielen noch einmal beleuchten.

    Lineare Funktion

    Wir betrachten die Funktion \( f(x)=2x+6=0\).

    \( 2x=-6 \)

    Anschließend teilst du durch 2, wodurch die Nullstelle bestimmt ist: \(x= \frac{-6}{2}= \, -3\)

    Quadratische Funktion

    Nehmen wir uns nun die Funktion \( f(x)=2x^2+8x-6=0\) vor.

    Einsetzen in die abc-Formel liefert:

    \( x_{1,2} = \frac{-8\pm\sqrt{8^2-8\cdot 6}}{4}= \frac{-8\pm\sqrt{16}}{4} \).
    \( x_{1,2} = -2 \pm 1 \).

    Damit kannst du deine zwei Nullstellen angeben. Das geschieht in der für quadratische Gleichungen üblichen Schreibweise über die Lösungmenge: \(  L=\{-1, -3\} \).

    Aufgaben & Lösungen

    Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Nullstellen bestimmen mit Lösungen für dich:

    Aufgaben
    1. \(f(x)=2x-2\)
    2. \(f(x)=x+8\)
    3. \(f(x)=4x\)
    4. \(f(x)=4x^2\)
    5. \(f(x)=x^2-3x\)
    6. \(f(x)=x^2-2x+1\)
    7. \(f(x)=4 x^2-4x+1\)
    8. \(f(x)=4x^2-16\)
    9. \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\)
    10. \(f(x)=3x^3 – 10x^2+ 7x- 12\)

    Lösungen

    Lösungen
    1. L=\( \{1 \} \)
    2. L=\( \{-8 \} \)
    3. L=\( \{0\} \)
    4. L=\( \{0 \} \)
    5. L=\( \{0, 3 \} \)
    6. L=\( \{1 \} \)
    7. L=\( \{1/2 \} \)
    8. L=\( \{-2,2 \} \)
    9. L=\( \{-2,1,3 \} \)
    10. L=\( \{3 \} \)
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    Enes Witwit

    Enes hat an der Universität Heidelberg seinen Abschluss in Mathematik gemacht. Er unterrichtete auch an der Universität begeistert junge Studenten und verhalf ihnen, komplexe Sachverhalte leicht zu verstehen. Zudem arbeitete er als Hilfswissenschaftler und forschte an aktuellen mathematischen Problemen.

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