Partielle Integration

Kapitel aktualisiert am 30.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema partielle Integration als Teil der Integralrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir die benötigte Formel für die Produktintegration, Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der partiellen Integration, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Stammfunktion mit partieller Integration berechnen

Die partielle Integration (Produktintegration) verwendest du genau dann, wenn du ein Produkt integrieren musst. Genauso wie du auch beim Ableiten von Produkten die Produktregel nutzt, musst du beim Integrieren von Produkten die sogenannte Produktintegration beachten und dabei partiell integrieren:

Produktintegration
\( \int f‘(x) \cdot g(x) dx = f(x) \cdot g(x) – \int f(x) \cdot g‘(x) dx \)

Partielle Integration: Schritt für Schritt-Vorgehensweise

Vorgehensweise:

  1. Schritt: Bei der partiellen Integration wird die Funktion f(x) aufgeleitet und die Funktion g(x) abgeleitet. Deshalb: Wähle als g(x) die Funktion aus, die du durch Ableiten vereinfachen willst.
  2. Schritt: \( f‘(x) \rightarrow f(x),\quad g(x) \)

Für den ersten Teil \( f(x) \cdot g(x) \) musst du f‘(x) aufleiten zu f(x) und g(x) einfach übernehmen.

  1. Schritt: \( f‘(x), \quad g(x) \rightarrow g‘(x) \)

Für den zweiten Teil \( \int f(x) \cdot g‘(x) dx \) musst du f(x) einfach übernehmen und g(x) ableiten.

  1. Schritt: Setze beide Teile in die Formel ein. Nun kannst du das vereinfachte Integral berechnen.

Tipps für die Wahl von g(x):

Funktionen, die durch Ableiten einfacher werden:

  • \( g(x) = x^n, g(x) = ln(x), g(x) = arcsin(x) \)

Funktionen, die durch Aufleiten nicht schwieriger werden:

  • \( f(x) = sin(x), f(x) = cos(x), f(x) = e^x \)

Beispiele

Stammfunktion berechnen

1. Beispiel: Kehrwertfunktion
\( \int e^x \cdot x dx \\ \)
  1. Schritt: Wir wählen \(f‘(x) = e^x\) und \(g(x) = x\)
  2. Schritt: f‘(x) aufleiten: \( f‘(x)=e^x \rightarrow f(x)= e^x \)
  3. Schritt: g(x) ableiten \( g(x)=x \rightarrow g‘(x)=1 \)
  4. Schritt: Beide Teile in die Formel einsetzen und das vereinfachte Integral berechnen:
\( \int e^x \cdot x dx = e^x \cdot x – \int e^x \cdot 1 dx \\ = e^x \cdot x –  e^x  \\ = e^x \cdot (x-1) \)

Also: \( \int e^x \cdot x dx = e^x \cdot (x-1) + C \)

2. Beispiel: Logarithmusfunktion
\( \int ln(x) \cdot 1 dx \\\)
  1. Schritt: Wir wählen \(f‘(x) = 1\) und \(g(x) = ln(x)\)
  2. Schritt: f‘(x) aufleiten: \( f‘(x)=1 \rightarrow f(x)= x \)
  3. Schritt: g(x) ableiten \( g(x)=ln(x) \rightarrow g‘(x)= \frac{1}{x} \)
  4. Schritt: Beide Teile in die Formel einsetzen und das vereinfachte Integral berechnen:
\( \int ln(x) \cdot x dx = x \cdot ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} dx \\ = x \cdot ln(x) – \int 1 dx \\ = x \cdot ln(x) – x \)

Also: \( \int ln(x) \cdot 1 dx = x \cdot ln(x) – x + C \)

Bestimmte Integrale

3. Beispiel: Trigonometrische Funktion
\( \int_{0}^{\pi} cos(x) \cdot x dx \\\)
  1. Schritt: Wir wählen \(f‘(x) = cos(x)\) und \(g(x) = x\)
  2. Schritt: f‘(x) aufleiten: \( f‘(x)=cos(x) \rightarrow f(x)= -sin(x) \)
  3. Schritt: g(x) ableiten \( g(x)=x \rightarrow g‘(x)= 1 \)
  4. Schritt: Beide Teile in die Formel einsetzen und das vereinfachte Integral berechnen:
\( \int_{0}^{\pi}  cos(x) \cdot x dx = \left[ sin(x) \cdot x \right] _{0}^{\pi}  – \int_{0}^{\pi}  sin(x) \cdot 1 dx \\ = \left[ sin(x) \cdot x \right] _{0}^{\pi}  – \int_{0}^{\pi}  sin(x) dx \\ = \left[sin(x) \cdot x + cos(x) \right]_{0}^{\pi}   \)

Also:  \( \int_{0}^{\pi} cos(x) \cdot x dx = \left[sin(x) \cdot x + cos(x) \right]_{0}^{\pi} \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 5 Aufgaben zur partiellen Integration mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die folgenden Integrale mithilfe der partiellen Integration:

  1. \( \int ln(x) \cdot 1 dx \)
  2. \( \int_{0}^{\pi} x \cdot sin(x) dx \)
  3. \( \int sin(x) \cdot cos(x) dx \)
  4. \( \int_{0}^{\infty} x \cdot e{-x} dx \)
  5. \( \int x^2 \cdot e^x dx \)
Lösungen
  1. \( ln(x) \cdot x – x + C \)
  2. \( \pi \)
  3. \( \frac{1}{2} sin^2(x) + C \)
  4. \( 1 \)
  5. \( (x^2-2x+2) \cdot e^x + C \)
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