Polynomdivision

Kapitel aktualisiert am 03.09.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Polynomdivision als Teil der Kubischen Gleichungen im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, wie die Polynomdivision definiert wird, die genaue Vorgehensweise mit dem Erraten einer Nullstelle und der Polynomdivision, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Definition der Polynomdivision

Du kennst bereits die schriftliche Division aus der Grundschule und kannst auch schon Nullstellen von Funktionen berechnen. Bei der Polynomdivision wird das, was du schon kannst, miteinander verknüpft. Jetzt musst du nämlich Nullstellen von größeren Polynomen bestimmen und das machst du mit der Polynomdivision, die so ähnlich funktioniert wie die schriftliche Division.

Definition
Ein Polynom ist eine Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variable, die meist mit x bezeichnet wird: \( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_0 \\ \)

Die Polynomdivision ist ein Verfahren, um Nullstellen von Polynomen zu berechnen

Einführung in die Polynomdivision

Zunächst einmal eine kleine Einführung:

Der Grad eines Polynoms ist der Exponent von der höchsten Potenz im Polynom.

Beispiel 1: \( x^4 + 2x^3 – x^2 + 5x -1 \rightarrow \) hat den Grad \( 4 \)

Beispiel 2: \(  x^3 – x^2 + 5x + 2 \rightarrow \) hat den Grad \( 3 \)

Wenn du die Polynomdivision durchführst, also die Nullstellen des Polynoms berechnest, werden dann genauso viele Nullstellen rauskommen, wie der Grad des Polynoms.

So und wie genau geht die Polynomdivision? Hier die Vorgehensweise:

Vorgehensweise

1. Erraten einer Nullstelle: Setze dazu für das x in deinem Polynom Zahlen zwischen -4 und 4 ein. Meist liegt eine Nullstelle in diesem Intervall und durch Ausprobieren findest du sie heraus. Mit dieser Nullstelle bildest du ein zweites Polynom der Form (x – erratene Nullstelle), durch das du teilen wirst.

2. Polynomdivision: Du gehst ähnlich wie bei der schriftlichen Division vor:

  1. Setting: (Polynom) : (x – erratene Nullstelle) = hier wird das Ergebnis stehen. Achtung, nicht vergessen: Beide Polynome müssen eingeklammert werden!
  2. Division: Den ersten Summanden \( a_nx^n \) im Polynom teilst du durch x und schreibst das Ergebnis rechts \( a_nx^{n-1} \) auf.
  3. Multiplikation: Das multiplizierst du nun mit dem (x -erratene Nullstelle)-Polynom und schreibst das Ergebnis mit Klammern (!) und einem Minus vorneweg links unter dem Polynom in der nächsten Zeile auf.
  4. Subtraktion: Jetzt subtrahierst du diese Klammer von dem Term, der darüber steht und schreibst das Ergebnis darunter. Anschließend ziehst du (wie bei der schriftlichen Division) die nächste Zahl aus dem Polynom zum Ergebnis runter und wiederholst das Vorgehen, bis du das ganze Polynom dividiert hast und unten als Ergebnis der Subtraktion eine 0 steht.

3. Ergebnis: Somit hast du eine Nullstelle und das Ergebnis hinter dem „=“ ist ein Polynom mit einem Grad niedriger, welches die restlichen Nullstellen enthält. Um diese zu ermitteln, musst du wieder eine Nullstelle von dem neuen Polynom erraten und wiederholst du den Ablauf der Polynomdivision auch mit diesem Polynom.

Das ganze wiederholst du, bis du beim Grad 2 angekommen bist. Dann kannst du nämlich einfach die abc-Formel bzw. die pq-Formel zur weiteren Nullstellenermittlung anwenden.

Hier nochmal die Vorgehensweise an einem konkreten Beispiel für das bessere Verständnis:

Beispiele

Beispiel:

Polynom: \( x^3 – 6x^2 + 9x – 4 \rightarrow \) Grad: \( 3 \) (also 3 Nullstellen)

1. Schritt: Erraten einer Nullstelle:

Wenn du für x 1 einsetzt, kommt 0 raus: \( 1^3 – 6\cdot 1^2 + 9 \cdot 1 – 4 = 1 – 6 + 9 – 4 = 0 \)

Das heißt, eine Nullstelle ist bei x = 1 und du bildest damit das Polynom, durch das du gleich bei der Polynomdivision teilen wirst: (x – erratene Nullstelle) ist also (x-1).

2. Schritt: Polynomdivision:

a) Setting: \( (x^3 – 6x^2 + 9x – 4) : (x-1) =\\ \)

b) Division: Du betrachtest den ersten Summanden, also \( x^3 \), und teilst das durch x. Das ergibt \( x^2 \). Das schreibst du rechts hinter dem = auf:

\( (x^3 – 6x^2 + 9x – 4) : (x-1) = x^2\\ \)

c) Multiplikation: Jetzt multiplizierst du das Ergebnis \( x^2 \) mit \( (x-1) \) und das ergibt: \( (x^3 – 1x^2) \). Das schreibst du jetzt in die nächste Zeile unter das Polynom links auf:

\( \qquad (x^3 – 6x^2 + 9x – 4) : (x-1) = x^2 \\  \qquad \underline{-(x^3-x^2)} \\  \)

d) Subtraktion: Du rechnest \( x^3 – 6x^2 – (x^3-x^2) = -5x^2 \) und schreibst das Ergebnis unter den Strich. Jetzt wird noch die \( +9x \)  heruntergezogen:

\( \qquad (x^3 – 6x^2 + 9x – 4) : (x-1) = x^2 \\  \qquad \underline{-(x^3-x^2)} \\ \qquad \qquad -5x^2+9x\\ \)

Die Division des ersten Summanden wäre somit vollendet. Genau so geht’s nun weiter mit dem Rest des Polynoms:

Wiederholung der Schritte a,b, und c:

Du teilst also die Summanden \( -5x^2 \) links unten durch x und schreibst das Ergebnis \( -5x^2 : x = -5x \) wieder rechts hinter das \( = \), multiplizierst das anschließend wieder mit dem \( (x-1) \) und subtrahierst das erneut links unten:

\( \qquad (x^3 – 6x^2 + 9x – 4) : (x-1) = x^2-5x \\  \qquad \underline{-(x^3-x^2)} \\ \qquad \qquad -5x^2+9x\\ \qquad \qquad \underline{-(-5x^2+5x)} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad 4x-4 \\ \)

Jetzt musst du nur noch den letzten Summanden \( 4x \) durch x teilen, du erhältst \( 4x: x = 4\) und das schreibst du wieder rechts hinter das \( = \) dazu, und subtrahierst dann wieder die Multiplikation \( 4 \cdot (x-1) = 4x-1 \) links unten:

\( \qquad (x^3 – 6x^2 + 9x – 4) : (x-1) = x^2-5x+4\\  \qquad \underline{-(x^3-x^2)} \\ \qquad \qquad -5x^2+9x\\ \qquad \qquad \underline{-(-5x^2+5x)} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad 4x-4 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \underline{-(4x-4)} \\  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0   \\\)

Alle Summanden des Polynoms wurden dividiert und das Ergebnis der letzten Subtraktion ist 0. Die Polynomdivision ist somit beendet.

Die erste von den drei Nullstellen ist also \( x_1 = 1 \) und die anderen beiden berechnest du mit dem Ergebnis der Polynomdivision \( x^2-5x+4 \). Wie oben schon angemerkt, kannst du dafür jetzt einfach die abc-Formel oder die pq-Formel nutzen, weil der Grad des Polynoms nun 2 ist.

Wir rechnen das jetzt trotzdem mal mit der Polynomdivision weiter, um das besser zu üben:

1.Schritt: Erraten einer Nullstelle: Eine weitere Nullstelle ist 4, denn: \( 4^2-5 \cdot 4 +4 = 16-20+4 = 0 \)

2.Schritt: Polynomdivision: 

a) Setting:

\( \qquad (x^2-5x+4) : (x-4) = \\ \)

b) Division:

\( \qquad (x^2-5x+4) : ( x-4) = x  \\   \)

c) Multiplikation:

\( \quad (x^2-5x+4) : ( x-4) = x \\ \qquad -(x^2-4x) \\ \)

d) Subtraktion:

\( \quad (x^2-5x+4) : ( x-4) = x \\ \qquad \underline{-(x^2-4x)} \\ \qquad \qquad \qquad 1x \\ \)

Jetzt die \( 4 \) runterziehen und das Ganze wiederholen:

\( \quad (x^2-5x+4) : ( x-4) = x -1 \\ \qquad \underline{-(x^2-4x)} \\ \qquad \qquad \qquad -1x+4 \\ \qquad \qquad \qquad \underline{-(-1x+4)} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \)

Somit wäre auch die zweite Polynomdivision mit der Nullstelle \( x_2 = 4 \) beendet. Rechts steht das Polynom \( x-1 \) als Ergebnis und gibt auch die dritte Nullstelle an: \( x_3=1\).

Das heißt, das Polynom \( x^3 – 6x^2 + 9x – 4 \) hat eine doppelte Nullstelle bei 1 und eine Nullstelle bei 4.

\( \rightarrow x^3 – 6x^2 + 9x – 4 = (x-1)\cdot (x-1) \cdot (x-4) = (x-1)^2\cdot (x-4)\)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 5 Aufgaben zur Nullstellenberechnung mit Polynomdivision mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die Nullstellen der folgenden Polynome:

  1. \( x^3-2x^2-5x+6\)
  2. \( 3x^3-10x^2+7x-12\)
  3. \( 2x^2 +7x+3\)
  4. \( 2x^3-5x^2+7x-4\)
  5. \( 2x^3+4x^2-2x-4\) 
Lösungen
  1. \( L = \{1,2,-3\}\)
  2. \( L = \{3,-1,\frac{4}{3}\}\)
  3. \( L = \{-0.5,-3\}\)
  4. \( L = \{1\}\)
  5. \( L = \{1,-1,-2\}\) 
Hat dir die Erklärung weitergeholfen?
[Bewertungen: 1 Durchschnitt: 5]
We will be happy to hear your thoughts

Hinterlasse einen Kommentar

Pirabel