Potenzgesetze

Kapitel aktualisiert am 29.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Potenzgesetze als Teil der Potenzrechnung im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir eine Übersicht der Potenzregeln, wie das Rechnen mit Potenzen funktioniert, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Definition
Eine Potenz ist das wiederholte Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst.

Schreibweise: \( x^n \) (Sprich: x hoch n ) → x heißt die Basis → n ist der Exponent

Potenzregeln

Wenn du Potenzen vereinfachen möchtest, kannst du diese auch zu Brüchen oder Wurzeln umschreiben. In der folgenden Tabelle haben wir einige Regeln dazu aufgelistet:

\(x^n = x_1 \cdot x_2 \cdot … \cdot x_n \) So ist eine Potenz allgemein definiert.
\(x^0 = 1 \) Merke: Egal was die Basis x ist, wenn der Exponent 0 ist, kommt immer 1 raus!
\(x^1 = x \) „Hoch 1“ zu schreiben ist genau so unnötig, wie „mal 1“ zu schreiben: es kommt dasselbe wie davor raus: x.
\(x^{-n} = \frac{1}{n} \) Potenzen mit negativen Exponenten kannst du zu einem Bruch umschreiben. Gerade wenn du Brüche ableiten musst, ist das sehr hilfreich.
\( x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{n}\) Potenzen mit Brüchen als Exponent kannst du auch als Wurzel schreiben. Wenn du Wurzeln ableiten musst, ist das sehr hilfreich.

Rechnen mit Potenzen

Zum Rechnen mit Potenzen gibt es Potenzrechenregeln. In der Tabelle haben wir die wichtigsten Rechenoperatoren aufgelistet, mit denen du verschiedene Potenzen berechnen kannst:

Potenzen addieren \( a\cdot x^n + b\cdot x^n = (a+b) \cdot x^n \)
Potenzen subtrahieren  \( a\cdot x^n – b\cdot x^n = (a-b) \cdot x^n \)
Potenzen multiplizieren Wenn der Exponent n gleich ist: \(a^n \cdot b^n = (a\cdot b )^n \)

Wenn die Basis a gleich ist: \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \)

Potenzen dividieren Wenn der Exponent n gleich ist: \(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \)

Wenn die Basis a gleich ist: \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)

Potenzen potenzieren \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \)

Beispiele

1. Beispiel:

Grundlagen

\( 0^0=1, 1^0=1, 2^0 = 1, 3^0 =1, -0,217367^0 = 1, …  \\ 0^1=0, 1^1=1, 2^1 = 2, 3^1 =3,… \\ 2^2 = 2 \cdot 2 \\  2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ 2^4 = 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \\ 2^5 = 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ … \)

Addition von Potenzen

\( 2 \cdot x^3 + 5 \cdot x^3 = (2+5) \cdot x^3 = 7 \cdot x^3 \\ 3 \cdot x^0 + 4 \cdot x^0 = (3+4) \cdot x^0 = 7 \cdot x^0 = 7 \cdot 1 = 7 \)

Subtraktion von Potenzen:

\( 6 \cdot x^2- 5 \cdot x^2 = (6-5) \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2 \\ 8 \cdot x^0 – 9 \cdot x^0 = (8-9) \cdot x^0 = (-1) \cdot x^0 = (-1) \cdot 1 = -1 \)
2. Beispiel:

Multiplikation von Potenzen:

Exponent gleich:

\(2^n \cdot e^n = (2e)^n \\  (3y)^2 = 3^2 \cdot y^2  = 9y^2\)

Basis gleich:

\( x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\\ 2^s \cdot 2^t = 2^{s+t}  \)

Division von Potenzen:

Exponent gleich:

\(\frac{4^n}{2^n} = (\frac{4}{2})^n = 2^n\\  (\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}  \)

Basis gleich:

\( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \\ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)

Potenzen potenzieren:

\( (x^3)^2 = x^{3\cdot 2}=x^6 \\ 5\cdot (x^2)^4 = 5x^{2\cdot 4}= 5x^8 \)
3. Beispiel:

Für Fortgeschrittene: \( (4 \cdot \sqrt[2]{x^3} + \sqrt[3]{x^2})^2 \)

Beachte hier:

  1. Wurzel umschreiben zu Potenzen.
  2. Erste Binomische Formel anwenden.
  3. Potenzieren und Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis.
\( (4 \cdot \sqrt[2]{x^3} + \sqrt[3]{x^2})^2 \\ = (4 \cdot x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2}{3}} )^2 \\ =(4 \cdot x^{\frac{3}{2}})^2 + 2 \cdot (4 \cdot x^{\frac{3}{2}}) \cdot (x^{\frac{2}{3}} ) + (x^{\frac{2}{3}} )^2 \\ = 16x^3 + 8x + x^{\frac{4}{3}}   \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Potenzgesetzen mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
  1. Schreibe \( 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \) als Potenz
  2. Berechne \( 2x^2 \cdot 10x^2 \).
  3. Berechne \( 5x^3 – 9x^3 \).
  4. Berechne \( 4x^2 \cdot 3x^2\).
  5. Berechne \( \frac{15x^4}{3x^4} \).
  6. Berechne \( (x^4)^0,5\).
  7. Schreibe \( \sqrt[4]{x^7} \) als Potenz.
  8. Schreibe \( \frac{1}{x^3}\) als Potenz.
  9. Schreibe \( x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot 6 \cdot 6 \) als Potenz.
  10. Berechne \( -6\sqrt{x^0} + \frac{4}{2x^0+2} \) 
Lösungen
  1. \( 4^5 \)
  2. \( 20x^2 \)
  3. \( -4x^3 \)
  4. \( 12x^2 \)
  5. \( 5x^4 \)
  6. \( x^2 \)
  7. \( x^{\frac{7}{4}} \)
  8. \( x^{-3}\)
  9. \( 36 \cdot (xy)^3\)
  10. \( -4 \) 
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