pq-Formel

Kapitel aktualisiert am 27.07.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema pq-Formel als Teil der quadratischen Gleichungen im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir die pq-Formel mit Beispielen, der Vorgehensweise und Herleitung, Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Die pq-Formel

Die pq-Formel
\( x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \)

Erklärung

Die pq-Formel verwendest du, um quadratische Funktionen zu lösen. Was ist eine quadratische Gleichung? Allgemein sieht eine quadratische Gleichung so aus: \( ax^2+bx+c=0 \)

Dabei sind die Variablen a, b und c meist Platzhalter für Zahlen und die unbekannte Variable, nach der du auflösen willst, ist x. Eine Möglichkeit um quadratische Gleichungen nach x aufzulösen, ist also die pq-Formel.  Im Folgenden zeigen wir dir, wie das genau funktioniert:

Anwendung der pq-Formel

  1. Kontrolliere, ob die quadratische Gleichung in der Normalform vorliegt (das heißt, ob \( a=1 \)), denn nur dann darf man die pq-Formel anwenden. Falls die Gleichung nicht in der Normalform angegeben ist (das heißt \(  a \neq 1 \) ), musst du sie erst in die Normalform bringen, indem du die ganze Gleichung einfach durch a teilst.
  1. Dann kannst du die quadratische Gleichung folgendermaßen aufschreiben und sowohl p als auch q ablesen: \( x^2+px+q=0 \)
  1. Nun setzt du die Werte für p und q aus der quadratischen Gleichung in die pq-Formel ein und löst nach x auf.
1. Beispiel
\(2x^2+4x-16=0\)

Schritt 1: Die Gleichung liegt nicht in Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine 2 steht, also: \( a=2 \). Das heißt, du musst die ganze Gleichung erst mal durch 2 teilen, damit \( a=1 \) ist und du die pq-Formel anwenden kannst.

\(2x^2+4x-16=0| :2 \)  und erhältst somit \(x^2+2x-8=0\).

Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x-8=0\) p und q ablesen: \( p=2\) und \(q=-8 \)

Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:

\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(             =-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-8)} \) \(             =-1 \pm \sqrt{1^2+8}\) \(             =-1 \pm \sqrt{9}\) *

\(             =-1 \pm 3\)
  • \(x_{1}= -1+3= 2\)
  • \(x_{2}= -1 – 3= -4 \)
\( L=/{2, -4/} \)

Lösungsmengen

Im obigen Beispiel hast du gesehen, dass die quadratische Gleichung zwei Lösungen hat. Einmal \( x_{1}\) und \(x_{2}\).

Es gibt aber auch Fälle, in denen eine quadratische Gleichung nur eine Lösung oder sogar gar keine Lösung besitzt. Die Lösungsmenge hängt von der Diskriminante D ab.

Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel.

Also \(D = (\frac{p}{2})^2-q \)

  1. Wenn die Diskriminante positiv ist, also \( D >0\), erhältst du zwei Lösungen: \(L=/{x_{1},x_{2}/}\)
  2. Wenn die Diskriminante Null ist, also \( D = 0\), erhältst du genau eine Lösung: \(L=/{(\frac{p}{2})/}\)
  3. Wenn die Diskriminante negativ ist, also \( D <0\), erhältst du keine Lösung. \(L=/{ /}\)

Im 1. Beispiel konntest du schon in der Zeile mit dem Sternchen erkennen, dass es zwei Lösungen geben wird, da\(D = 9 > 0\) war.

Jetzt schauen wir uns zwei weitere Beispiele an, in denen die Diskriminante \(D = 0\) bzw. \(D < 0\) ist und es somit nur eine bzw. keine Lösung gibt:

2. Beispiel
\(x^2+2x+1=0\)

Schritt 1: Die Gleichung liegt in Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine „unsichtbare 1“ steht, also a=1. Also weiter zu Schritt 2:

Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x+1=0\) p und q ablesen \(p=2\) und \(q=1\)

Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:

\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(x_{1,2}=-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-1} \) \(x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1^2-1}\) \(x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{0}\) *

\(x_{1,2}=-1 \pm 0\) \(x = -1 \)

*Die Diskrimante \(D = 0\) also hat die Gleichung nur eine Lösung

\(L = /{-1/}\)
3. Beispiel
\(x^2+2x+3=0\)

Schritt 1: Die Gleichung liegt in der Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine „unsichtbare 1“ steht, also a=1. Also, weiter zu Schritt 2:

Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x+3=0\) p und q ablesen \(p=2\) und \(q=3\)

Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:

\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(             =-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-3} \) \(             =-1 \pm \sqrt{1^2-3}\) \(             =-1 \pm \sqrt{-2}\) *

Unter der Wurzel steht eine negative Zahl, deshalb können wir die Wurzel nicht ziehen und weiterrechnen, sprich:

*Die Diskriminante ist \(D<0\) und deshalb gibt es keine Lösung.

\(L=/{ /}\)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 pq-Formel-Aufgaben mit Lösungen für dich:

Aufgaben zum Lernen

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der pq-Formel nach x auf. Die Lösungen findest du unterhalb dieser.

Aufgaben
  1. \(x^2-2x-8=0\)
  2. \(x^2-2x+8=0\)
  3. \(x^2+4x-5=0\)
  4. \(4x^2+8x+4=0\)
  5. \(x^2-3x+10=0\)
  6. \(x^2-2x-3=0\)
  7. \(x^2-2x+1=0\)
  8. \(0,5x^2+2x-6=0\)
  9. \(x^2-2x+4=0\)
  10. \(x^2+4x+4=0\)

Lösungen

Lösungen
  1. L=\( \{-2,4 \} \)
  2. L={ }
  3. L={1,-5}
  4. L={-1}
  5. L={ }
  6. L={3,-1}
  7. L={1}
  8. L={2,-6}
  9. L={ }
  10. L={-2}
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