In diesem Kapitel behandeln wir das Thema pq-Formel als Teil der quadratischen Gleichungen im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir die pq-Formel mit Beispielen, der Vorgehensweise und Herleitung, Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.
Die pq-Formel
Erklärung
Die pq-Formel verwendest du, um quadratische Funktionen zu lösen. Was ist eine quadratische Gleichung? Allgemein sieht eine quadratische Gleichung so aus: \( ax^2+bx+c=0 \)
Dabei sind die Variablen a, b und c meist Platzhalter für Zahlen und die unbekannte Variable, nach der du auflösen willst, ist x. Eine Möglichkeit um quadratische Gleichungen nach x aufzulösen, ist also die pq-Formel. Im Folgenden zeigen wir dir, wie das genau funktioniert:
Anwendung der pq-Formel
- Kontrolliere, ob die quadratische Gleichung in der Normalform vorliegt (das heißt, ob \( a=1 \)), denn nur dann darf man die pq-Formel anwenden. Falls die Gleichung nicht in der Normalform angegeben ist (das heißt \( a \neq 1 \) ), musst du sie erst in die Normalform bringen, indem du die ganze Gleichung einfach durch a teilst.
- Dann kannst du die quadratische Gleichung folgendermaßen aufschreiben und sowohl p als auch q ablesen: \( x^2+px+q=0 \)
- Nun setzt du die Werte für p und q aus der quadratischen Gleichung in die pq-Formel ein und löst nach x auf.
Schritt 1: Die Gleichung liegt nicht in Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine 2 steht, also: \( a=2 \). Das heißt, du musst die ganze Gleichung erst mal durch 2 teilen, damit \( a=1 \) ist und du die pq-Formel anwenden kannst.
\(2x^2+4x-16=0| :2 \) und erhältst somit \(x^2+2x-8=0\).Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x-8=0\) p und q ablesen: \( p=2\) und \(q=-8 \)
Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:
\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \( =-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-8)} \) \( =-1 \pm \sqrt{1^2+8}\) \( =-1 \pm \sqrt{9}\) * \( =-1 \pm 3\)- \(x_{1}= -1+3= 2\)
- \(x_{2}= -1 – 3= -4 \)
Lösungsmengen
Im obigen Beispiel hast du gesehen, dass die quadratische Gleichung zwei Lösungen hat. Einmal \( x_{1}\) und \(x_{2}\).
Es gibt aber auch Fälle, in denen eine quadratische Gleichung nur eine Lösung oder sogar gar keine Lösung besitzt. Die Lösungsmenge hängt von der Diskriminante D ab.
Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel.
Also \(D = (\frac{p}{2})^2-q \)
- Wenn die Diskriminante positiv ist, also \( D >0\), erhältst du zwei Lösungen: \(L=/{x_{1},x_{2}/}\)
- Wenn die Diskriminante Null ist, also \( D = 0\), erhältst du genau eine Lösung: \(L=/{(\frac{p}{2})/}\)
- Wenn die Diskriminante negativ ist, also \( D <0\), erhältst du keine Lösung. \(L=/{ /}\)
Im 1. Beispiel konntest du schon in der Zeile mit dem Sternchen erkennen, dass es zwei Lösungen geben wird, da\(D = 9 > 0\) war.
Jetzt schauen wir uns zwei weitere Beispiele an, in denen die Diskriminante \(D = 0\) bzw. \(D < 0\) ist und es somit nur eine bzw. keine Lösung gibt:
Schritt 1: Die Gleichung liegt in Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine „unsichtbare 1“ steht, also a=1. Also weiter zu Schritt 2:
Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x+1=0\) p und q ablesen \(p=2\) und \(q=1\)
Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:
\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(x_{1,2}=-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-1} \) \(x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1^2-1}\) \(x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{0}\) * \(x_{1,2}=-1 \pm 0\) \(x = -1 \)*Die Diskrimante \(D = 0\) also hat die Gleichung nur eine Lösung
\(L = /{-1/}\)Schritt 1: Die Gleichung liegt in der Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine „unsichtbare 1“ steht, also a=1. Also, weiter zu Schritt 2:
Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x+3=0\) p und q ablesen \(p=2\) und \(q=3\)
Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:
\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \( =-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-3} \) \( =-1 \pm \sqrt{1^2-3}\) \( =-1 \pm \sqrt{-2}\) *Unter der Wurzel steht eine negative Zahl, deshalb können wir die Wurzel nicht ziehen und weiterrechnen, sprich:
*Die Diskriminante ist \(D<0\) und deshalb gibt es keine Lösung.
\(L=/{ /}\)Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 pq-Formel-Aufgaben mit Lösungen für dich:
Aufgaben zum Lernen
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der pq-Formel nach x auf. Die Lösungen findest du unterhalb dieser.
- \(x^2-2x-8=0\)
- \(x^2-2x+8=0\)
- \(x^2+4x-5=0\)
- \(4x^2+8x+4=0\)
- \(x^2-3x+10=0\)
- \(x^2-2x-3=0\)
- \(x^2-2x+1=0\)
- \(0,5x^2+2x-6=0\)
- \(x^2-2x+4=0\)
- \(x^2+4x+4=0\)
Lösungen
- L=\( \{-2,4 \} \)
- L={ }
- L={1,-5}
- L={-1}
- L={ }
- L={3,-1}
- L={1}
- L={2,-6}
- L={ }
- L={-2}
