pq-Formel

Kapitel aktualisiert am 27.07.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema pq-Formel als Teil der quadratischen Gleichungen im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir die pq-Formel mit Beispielen, der Vorgehensweise und Herleitung, Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Die pq-Formel

Die pq-Formel
\( x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \)

Erklärung

Die pq-Formel verwendest du, um quadratische Funktionen zu lösen. Was ist eine quadratische Gleichung? Allgemein sieht eine quadratische Gleichung so aus: \( ax^2+bx+c=0 \)

Dabei sind die Variablen a, b und c meist Platzhalter für Zahlen und die unbekannte Variable, nach der du auflösen willst, ist x. Eine Möglichkeit um quadratische Gleichungen nach x aufzulösen, ist also die pq-Formel.  Im Folgenden zeigen wir dir, wie das genau funktioniert:

Anwendung der pq-Formel

  1. Kontrolliere, ob die quadratische Gleichung in der Normalform vorliegt (das heißt, ob \( a=1 \)), denn nur dann darf man die pq-Formel anwenden. Falls die Gleichung nicht in der Normalform angegeben ist (das heißt \(  a \neq 1 \) ), musst du sie erst in die Normalform bringen, indem du die ganze Gleichung einfach durch a teilst.
  1. Dann kannst du die quadratische Gleichung folgendermaßen aufschreiben und sowohl p als auch q ablesen: \( x^2+px+q=0 \)
  1. Nun setzt du die Werte für p und q aus der quadratischen Gleichung in die pq-Formel ein und löst nach x auf.
1. Beispiel
\(2x^2+4x-16=0\)

Schritt 1: Die Gleichung liegt nicht in Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine 2 steht, also: \( a=2 \). Das heißt, du musst die ganze Gleichung erst mal durch 2 teilen, damit \( a=1 \) ist und du die pq-Formel anwenden kannst.

\(2x^2+4x-16=0| :2 \)  und erhältst somit \(x^2+2x-8=0\).

Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x-8=0\) p und q ablesen: \( p=2\) und \(q=-8 \)

Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:

\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(             =-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-8)} \) \(             =-1 \pm \sqrt{1^2+8}\) \(             =-1 \pm \sqrt{9}\) *

\(             =-1 \pm 3\)
  • \(x_{1}= -1+3= 2\)
  • \(x_{2}= -1 – 3= -4 \)
\( L=/{2, -4/} \)

Lösungsmengen

Im obigen Beispiel hast du gesehen, dass die quadratische Gleichung zwei Lösungen hat. Einmal \( x_{1}\) und \(x_{2}\).

Es gibt aber auch Fälle, in denen eine quadratische Gleichung nur eine Lösung oder sogar gar keine Lösung besitzt. Die Lösungsmenge hängt von der Diskriminante D ab.

Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel.

Also \(D = (\frac{p}{2})^2-q \)

  1. Wenn die Diskriminante positiv ist, also \( D >0\), erhältst du zwei Lösungen: \(L=/{x_{1},x_{2}/}\)
  2. Wenn die Diskriminante Null ist, also \( D = 0\), erhältst du genau eine Lösung: \(L=/{(\frac{p}{2})/}\)
  3. Wenn die Diskriminante negativ ist, also \( D <0\), erhältst du keine Lösung. \(L=/{ /}\)

Im 1. Beispiel konntest du schon in der Zeile mit dem Sternchen erkennen, dass es zwei Lösungen geben wird, da\(D = 9 > 0\) war.

Jetzt schauen wir uns zwei weitere Beispiele an, in denen die Diskriminante \(D = 0\) bzw. \(D < 0\) ist und es somit nur eine bzw. keine Lösung gibt:

2. Beispiel
\(x^2+2x+1=0\)

Schritt 1: Die Gleichung liegt in Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine „unsichtbare 1“ steht, also a=1. Also weiter zu Schritt 2:

Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x+1=0\) p und q ablesen \(p=2\) und \(q=1\)

Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:

\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(x_{1,2}=-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-1} \) \(x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1^2-1}\) \(x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{0}\) *

\(x_{1,2}=-1 \pm 0\) \(x = -1 \)

*Die Diskrimante \(D = 0\) also hat die Gleichung nur eine Lösung

\(L = /{-1/}\)
3. Beispiel
\(x^2+2x+3=0\)

Schritt 1: Die Gleichung liegt in der Normalform vor, da vor dem \(x^2\) eine „unsichtbare 1“ steht, also a=1. Also, weiter zu Schritt 2:

Schritt 2: Nun kannst du aus der allgemeinen Form \( x^2+px+q=0 \) und unserem Beispiel \(x^2+2x+3=0\) p und q ablesen \(p=2\) und \(q=3\)

Schritt 3: Du setzt in die pq-Formel ein:

\(x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) \(             =-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-3} \) \(             =-1 \pm \sqrt{1^2-3}\) \(             =-1 \pm \sqrt{-2}\) *

Unter der Wurzel steht eine negative Zahl, deshalb können wir die Wurzel nicht ziehen und weiterrechnen, sprich:

*Die Diskriminante ist \(D<0\) und deshalb gibt es keine Lösung.

\(L=/{ /}\)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 pq-Formel-Aufgaben mit Lösungen für dich:

Aufgaben zum Lernen

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der pq-Formel nach x auf. Die Lösungen findest du unterhalb dieser.

Aufgaben
  1. \(x^2-2x-8=0\)
  2. \(x^2-2x+8=0\)
  3. \(x^2+4x-5=0\)
  4. \(4x^2+8x+4=0\)
  5. \(x^2-3x+10=0\)
  6. \(x^2-2x-3=0\)
  7. \(x^2-2x+1=0\)
  8. \(0,5x^2+2x-6=0\)
  9. \(x^2-2x+4=0\)
  10. \(x^2+4x+4=0\)

Lösungen

Lösungen
  1. L=\( \{-2,4 \} \)
  2. L={ }
  3. L={1,-5}
  4. L={-1}
  5. L={ }
  6. L={3,-1}
  7. L={1}
  8. L={2,-6}
  9. L={ }
  10. L={-2}
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Enes Witwit

Enes hat an der Universität Heidelberg seinen Abschluss in Mathematik gemacht. Er unterrichtete auch an der Universität begeistert junge Studenten und verhalf ihnen, komplexe Sachverhalte leicht zu verstehen. Zudem arbeitete er als Hilfswissenschaftler und forschte an aktuellen mathematischen Problemen.

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