Produktregel

Kapitel aktualisiert am 22.09.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Produktregel als Teil der Differentialrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, wie du die Produktregel anwendest, die konkrete Vorgehensweise der Ableitung, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Die Produktregel als Ableitungsregel

Beim Ableiten von Funktionen musst du die Ableitungsregeln beachten. Je nachdem, ob die Funktion nur eine Potenz, eine Summe von Polynomen oder ein Faktor von Polynomen ist, leitest du mit der entsprechenden Regel ab.

In diese Kapitel beschäftigen wir uns mit der Produktregel; Also mit der Regel für das Ableiten von Funktionen, welche ein Faktor (d.h. eine Multiplikation) von zwei Teilfunktionen ist.

Produktregel
 Funktion: \( f(x) = u(x) \cdot v(x)  \)

Ableitung: \( f‘(x) = u‘(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v‘(x) \)

Anwendung der Produktregel

Die Produktregel wendest du an, wenn du eine Multiplikation von Termen ableiten musst. Achtung: nicht zu verwechseln mit der Faktorregel! Bei der Faktorregel wird eine Zahl k mit einem Term multipliziert. Hier werden zwei Terme, die beide von einer Variable (meist x) abhängig sind, multipliziert. Also wendest du bei einem Ausdruck der Form \( u(x) \cdot v(x) \) die Produktregel an:

\( f(x) = u(x) \cdot v(x)  \rightarrow f‘(x) = u‘(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v‘(x) \\\)

Vorgehensweise der Ableitung

Wenn du eine Funktion der Form \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \) erkennst, gehst du folgendermaßen vor:

  1. Schritt: Schreibe \( u(x) \) und \( v(x) \) aus der Funktion heraus.
  2. Schritt: Bilde die Ableitungen \( u‘(x) \) und \( v‘(x) \).
  3. Schritt: Setze in die Formel ein: \( f‘(x) = u‘(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v‘(x) \)

Beispiele

1. Beispiel:
\( f(x) = sin(x) \cdot 2x^3 \\  \)

Hier erkennst du sofort, dass es sich in der Funktion um eine Multiplikation, also um ein Produkt von zwei Termen handelt. Also wendest du Schritt für Schritt die Produktregel an:

  1. Schritt: \( u(x) = sin(x), v(x) = 2x^3 \)
  2. Schritt: \( \rightarrow u‘(x) = cos(x) , \rightarrow v‘(x) = 6x \)
  3. Schritt: \( f‘(x) = u‘(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v‘(x) \\ = cos(x) \cdot 2x^3 + sin(x) \cdot 6x \)
2. Beispiel:
 \( f(x) = (x^2+1) \cdot e^x  \\ \)

Hier erkennst du ebenfalls, dass es sich in der Funktion um eine Multiplikation, also um ein Produkt von zwei Termen handelt. Also wendest du wieder Schritt für Schritt die Produktregel an:

  1. Schritt: \( u(x) = x^2+1, v(x) = e^x \)
  2. Schritt: \( \rightarrow u‘(x) = 2x , \rightarrow v‘(x) = e^x \)
  3. Schritt: \( f‘(x) = u‘(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v‘(x) \\ = 2x \cdot e^x + (x^2+1) \cdot e^x \\ = e^x \cdot ( 2x + x^2+1) \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Produktregel mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben
  1. \( f(x) = e^x \cdot 0,5x \)
  2. \( f(x) = sin(x) \cdot cos(x) \)
  3. \( f(x) = (2x+1) \cdot (-5x^2) \)
  4. \( f(x) = 0,5x^2 \cdot e^x \)
  5. \( f(x) = 3x^3 \cdot ln(x) \)
  6. \( f(x) = ln(x) \cdot (2,5x+3) \)
  7. \( f(x) = -cos(x) \cdot (x^2 + 3x -1) \)
  8. \( f(x) = e^x \cdot ln(7x-2) \)
  9. \( f(x) = e^{4x-1} \cdot e^{x+4} \)
  10. \( f(y) = ln(3y+3) \cdot xy \)
Lösungen
  1. \( f‘(x) = e^x \cdot (0,5x + 0,5) \)
  2. \( f‘(x) = cos(x)^2 – sin(x)^2 \)
  3. \( f‘(x) = -30x^2 -10x \)
  4. \( f‘(x) = e^x \cdot (0,5x^2 + x) \)
  5. \( f‘(x) = 9x^2 \cdot ln(x) + \frac{3x^2}{x} \)
  6. \( f‘(x) = \frac{2,5x+3}{x} + 2,5 \cdot ln(x) \)
  7. \( f‘(x) = sin(x) \cdot (x^2 + 3x -1) -cos(x) \cdot (2x+ 3) \)
  8. \( f‘(x) = e^x \cdot (ln(7x-2) + \frac{7}{7x-2}) \)
  9. \( f‘(x) = e^{x+4} \cdot (4e^{4x-1} + e^{4x-1})\)
  10. \( f‘(y) = \frac{3}{3y+3} \cdot xy + x \cdot ln(3y+3) \) 
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