Quadratische Ergänzung

Kapitel aktualisiert am 03.10.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Quadratische Ergänzung als Teil der Funktionen im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, wie du eine quadratische Ergänzung durchführst, wie du diese anwendest und geben dir weitere veranschaulichende Beispiele und Aufgaben mit Lösungen.

Grundlegendes zu Gleichungen

In der Mathematik gibt es oft verschiedene Möglichkeiten, die gleichen mathematischen Objekte auszudrücken. Schon so etwas Simples wie die Zahl 2 lässt sich auf unendlich viele Arten schreiben.

Beispiel
  \( 2=1+1= (\frac{1}{8})\cdot 16=…\)

Normalerweise ist es sinnvoll, Gleichungen so weit wie möglich zu kürzen. Je nachdem, was du mit der Gleichung anfangen willst, können alternative Formulierungen hilfreich sein. Wenn du zum Beispiel die Frage stellst, wie viele Achtel in einer 2 enthalten sind, kannst du in dieser Formulierung die Antwort auf der rechten Seite direkt ablesen (16).

Gut zu wissen: In diesem Fall ist das Ergebnis so oder so nicht schwer nachzurechnen, für kompliziertere Gleichungen und Fragestellungen ist das aber nicht mehr automatisch der Fall. Dann kann ein Verfahren wie die quadratische Ergänzung dir dabei helfen, deine Gleichung so umzustellen, dass du interessante Dinge einer Gleichung einfacher herausfinden kannst.

Bei dem Verfahren der quadratischen Ergänzung wird nun ein Term, in dem eine quadratische Funktion auftaucht, ergänzt und umformuliert.

In dieser neuen Darstellung ist es möglich, den Scheitelpunkt der quadratischen Gleichung ohne Rechnung abzulesen oder die Lösung der quadratischen Gleichung in wenigen Schritten zu bestimmen.

Durchführung einer Quadratischen Ergänzung

Eine quadratischen Ergänzung geht von einer quadratischen Gleichung der Form \( y=ax^2+bx+c \) aus. Das ist die sogenannte Standardform einer quadratischen Gleichung, in der sich beispielsweise die pq-Formel oder Mitternachtsformel direkt anwenden lassen.

Ziel ist es, diese Gleichung so umzuformulieren, dass du sie in der Form \( y=a (x+d)^2+e \) neu schreiben kannst. Am Ende der quadratischen Ergänzung bist du angelangt, wenn du die Variablen d und e bestimmt hast.

Damit hängt eine quadratische Ergänzung immer mit der Anwendung einer binomischen Formel zusammen, genauer gesagt mit der ersten binomischen Formel \( (x+d)^2=x^2+2xd+d^2\) oder der zweiten binomischen Formel \( (x-d)^2=x^2-2xd+d^2\), die sozusagen rückwärts angewandt werden.

Wie, zeigen wir dir jetzt anhand eines Schemas, dem du bei jeder quadratischen Ergänzung folgen kannst.

Schema für eine quadratische Ergänzung
Ausgangspunkt:   \( y=ax^2+bx+c \rightarrow \)   Ziel:    \( y=a (x+d)^2+e \\\)

1. Ausklammern des Faktors a vor dem quadratischen Term.

Da du den zweiten Summanden mit a multiplizierst, musst du ihn wieder durch b teilen: \( y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c \)

2. Quadratische Ergänzung.

Dabei addierst/ergänzt du eine „gehaltvolle“ Null, indem du das Quadrat \((\frac{b}{2a})^2\) einmal hinzufügst und einmal abziehst: \( y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c \)

3. Bildung der Klammer

An dieser Stelle wird die binomische Formel „rückwärts“ angewandt, indem du die ersten drei Terme in der Klammer in der quadrierten Klammer zusammenfasst: \( y=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c \)

4. Ausmultiplikation der Terme

In diesem letzten Schritt multiplizierst du den Vorfaktor a mit dem letzten Summanden in der Klammer aus, um ihn als e in der neuen Form zusammenfassen zu können: \( y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right) \)

Die Gleichung, die du dann erhältst, kannst du schon vollständig auf die oben genannte Form \( y=a (x+d)^2+e \) bringen.

Vergleichst du die beiden Gleichungen, bedeutet es, dass \( 1. \;  \frac{b}{2a}=d  \\  2. \; -\frac{b^2}{4a}+c=e \)

Anwendungen der quadratischen Ergänzung

Es gibt zwei verschiedene Anwendungen der quadratischen Ergänzung: die Bestimmung des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion und die Lösung einer quadratischen Gleichung (was das gleiche ist wie die Bestimmung des Nullpunkts der quadratischen Gleichung).

Beide Methoden werden zuerst hier erläutert und anschließend anhand eines Beispiels vorgerechnet.

Bestimmung des Scheitelpunktes

Bist du bei der Form \( y=a (x+d)^2+e \) angelangt, ist der Großteil der Arbeit schon getan. Das ist die sogenannte Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung.

Der Name kommt daher, dass der Scheitelpunkt von quadratischen Gleichung durch

Scheitelpunkt einer quadratischen Gleichung
  \(  y=a (x+d)^2+e  \\
\rightarrow S =(-d|e)= (-\frac{b}{2a}|-\frac{b^2}{4a}+c)  \) 
gegeben ist, den du durch einen Blick auf die Gleichung ablesen kannst.

Bestimmung des Nullpunktes

Du kannst wieder von der quadratisch ergänzten Form \( y=a (x+d)^2+e \) der Gleichung ausgehen. Dann kannst du in drei Schritten die Lösung der Gleichung bestimmen.

1. Nullsetzen und durch a teilen

\( 0=a (x+d)^2+e  \rightarrow (x+d)^2= \frac{-e}{a}\).

Beachte hier, dass nicht alle quadratischen Gleichungen einen Nullpunkt haben. Diese existiert nur, wenn der rechte Teil der Gleichung positiv ist, da du sonst die Wurzel nicht ziehen darfst.

Falls dies aber der Fall ist, kannst du

2. Wurzelziehen

\(  x+d = \pm \sqrt{\frac{-e}{a}}\).

Subtrahierst du abschließend noch \(d\), gelangst du zu den zwei möglichen Lösungen deiner quadratischen Gleichung.

3. Subtrahieren

Damit erhältst du die zwei Lösungen: \(  x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{-e}{a}}-d\)

In der Regel ist dieses Verfahren viel umständlicher als die einfache Anwendung der pq-Formel oder der Mitternachtsformel. In der Mathematik führen häufig verschiedene Wege ans Ziel.

Falls du eine der Formeln vergisst, kannst du dir mit diesem Verfahren im Notfall behelfen. Tatsächlich wird die quadratische Ergänzung bei der Herleitung der pq-Formel und Mitternachtsformel gebraucht. Im Endeffekt machst du nichts anderes, als die Herleitung explizit nachzurechnen.

Beispielaufgabe

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel, für das \( c=0 \) ist. Ausgehend von \( y=4x^2+24x \) können wir nun dem Schema folgen.

  1. Ausklammern von a
    \( y=4\left(x^2+\frac{24}{4}x\right)=4\left(x^2+6x\right) \)
  2. Ergänzung der quadratischen Terme
    \( y=4\left(x^2+6x+\left(\frac{24}{8}\right)^2-\left(\frac{24}{8}\right)^2\right)  \\  y=4\left(x^2+6x+3^2-3^2\right) \)
  3. Anwendung der binomischen Formel
    \( y=4\left[\left(x+3\right)^2-3^2\right]\)
  4. Ausmultiplizieren des Resttermes
    \( y=4\left(x+3\right)^2-4\cdot 9=4\left(x+3\right)^2-36 \)

Damit sind wir bei der Form \( y=a (x+d)^2+e \) angelangt und können \(d=3\) und \(e=-36\) identifizieren.

Bestimmung des Scheitelpunktes

Damit lässt sich der Scheitelpunkt direkt aus der Gleichung ablesen: \(  y=4 (x+3)^2-36  \rightarrow S\left(  -3|-36 \right)  \).

Bestimmung des Nullpunktes

Ausgehend von \(  y=4 (x+3)^2-36 \) kannst du nun die Gleichung null setzen.

1. Null setzen und durch a teilen:

\( 0=4 (x+3)^2-36 \rightarrow (x+3)^2= \frac{36}{4}=9\).

Die rechte Seite der Gleichung ist positiv, woraus du schließen kannst, dass die Gleichung eine Lösung besitzen muss. Deshalb kannst du einfach mit dem Verfahren weitermachen.

2. Wurzelziehen

\(  x+3 = \pm 3 \\\)

3. Subtrahieren

Damit erhältst du die zwei Lösungen \(  x_1 = 0 \; ,\; x_2 =-6 \)

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Quadratische Ergänzung mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Führe eine quadratische Ergänzung durch und bestimme den Scheitelpunkt:

\( 1. \; y=x^2+x \\ 2.\; y=x^2+x+2 \\ 3.\; y=4x^2+24x+52\\  4. \; y=6x^2+6x-12 \\ 5. \; y=10x^2+x \\ 6.\; y= 3x^2+6x+9 \\ 7. \; y=x^2+3x+4 \\ \)

Führe eine quadratische Ergänzung durch und bestimme die Lösung der Gleichung:

\( \\ 8. \; y=2x^2-12x+32 \\ 9. \; y=3x^2+9x+5 \\ 10. \;   y=x^2-3x-40 \)

Lösungen
\( 1. \; S=\left(  \frac{-1}{2}| \frac{-1}{4} \right) \\ 2.\; S=\left(  \frac{-1}{2}| \frac{7}{4} \right) \\ 3.\; S=\left(  3 | 16 \right)\\  4.\; S=\left(  \frac{-1}{2}| \frac{-27}{2} \right) \\ 5. \; S=\left(  \frac{-1}{20}| \frac{-1}{40} \right) \\ 6.\;  S=\left(  -1| 6 \right) \\
7. \;  S=\left(  \frac{-3}{2}| \frac{7}{4} \right) \\ 8. \; x_1=-2, x_2=8 \\ 9.\;  x_1=-1, x_2=-2 \\ 10. \; x_1=8, x_2=-5 \)
Pirabel