Reelle Zahlen

Kapitel aktualisiert am 21.09.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Reelle Zahlen als Teil der Zahlen im Bereich der Algebra. Wir zeigen dir, was reelle Zahlen sind, welche Zahlenarten es gibt, die speziellen Teilmengen der reellen Zahlen und die Zahlenmengen als Tabelle im Überblick.

Reelle Zahlen

Was sind reelle Zahlen? Die Menge der reellen Zahlen umfasst alle „Zahlenarten“, wie die natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, rationalen und irrationalen Zahlen, die du schon kennengelernt hast.

Genauer gesagt besteht die Menge der reellen Zahlen aus der Menge der rationalen Zahlen und aus der Menge der irrationalen Zahlen und bildet somit die Zahlengerade.

Zahlenmengen mit reellen Zahlen

Zahlenmengen mit reellen Zahlen

Das Symbol für die reellen Zahlen ist: \( \mathbb{R} \)

Menge der reellen Zahlen

Es gibt spezielle Teilmengen der reellen Zahlen:

Reelle Zahlen ohne die Null  \( \mathbb{R}^* = \{ x | x \in \mathbb{R}, x \neq 0 \} \)
Positive reelle Zahlen  \( \mathbb{R}^+ = \{ x | x \in \mathbb{R}, x > 0 \} \) Alle positiven reellen Zahlen ohne die Null.
Nicht-negative reelle Zahlen  \( \mathbb{R}_0^+ = \{ x | x \in \mathbb{R}, x \geq 0 \} \) Alle positiven reellen Zahlen mit der Null.
Negative reelle Zahlen  \( \mathbb{R}^- = \{ x | x \in \mathbb{R}, x < 0 \}  \) Alle negativen reellen Zahlen ohne die Null.
Nicht-positive reelle Zahlen  \( \mathbb{R}_0^-= \{ x | x \in \mathbb{R}, x \leq 0 \} \) Alle negativen reellen Zahlen mit der Null

Zahlenmengen im Überblick

ZahlenmengeBeispieleErklärung
\( \mathbb{N} \) Natürliche Zahlen\( 0, 1, 2, ... \)Die natürlichen Zahlen bestehen aus den positiven ganzen Zahlen und der Null.
\( \mathbb{Z} \) Ganze Zahlen \( 0, 1, 2, ..., \\ -1, -2, ... \)Die ganzen Zahlen sind, wie der Name schon sagt, alle positiven und negativen ganzen Zahlen.
\( \mathbb{Q} \) Rationale Zahlen \( \\ \mathbb{Q} = \{\frac{m}{n}|m,n \in \mathbb{Z}\}\)\(0, 1, 2, ..., \\ -1, -2, ... \\ \frac{3}{2}, \frac{-1}{4}, \frac{-5}{-6}, ... \)Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die du als Bruch ganzer Zahlen schreiben kannst. 0,5 gehört dazu, weil du 0,5 auch als \( \frac{1}{2} \) schreiben kannst.
\( \mathbb{I} =\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) Irrationale Zahlen\( e = 2,71828182... , \\ \pi = 3,1415926..., \\ \sqrt{2} = 1,4142135..., \\ \sqrt{3} = 1,7320508..., \\ ...  \)Die irrationalen Zahlen sind alle anderen rellen Zahlen, die du nicht als solche Brüche schreiben kannst, weil sie unendlich viele Nachkommastellen haben.
\( \mathbb{R} \) Reelle Zahlen\( -2, -1, 0, 1, 2, \\ \frac{3}{2}, \frac{-1}{4}, \frac{-5}{-6}, \\ e, \pi, \sqrt{2}, \sqrt{3}, ...   \)Die Menge der reellen Zahlen ergibt sich aus den Mengen der rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen.
\( \mathbb{C} \) Komplexe Zahlen \( \\ \mathbb{C} = \{z=a+bi | a,b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1} \} \)\( \sqrt{-1}, \sqrt{-2}, ... \)
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