Satz des Pythagoras

Kapitel aktualisiert am 03.10.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Satz des Pythagoras als Teil der Geometrischen Figuren im Bereich der Geometrie. Wir erklären dir, was der Satz des Pythagoras ist und wie du ihn beweist, erläutern seine Anwendung anhand von Beispielen und geben dir Aufgaben zum Lernen mit Lösungen.

Grundlegendes zum Satz des Pythagoras

Selbst wenn wir Leute fragen, die mit Mathematik nichts am Hut haben, ob sie noch einen mathematischen Satz auswendig kennen, dann ist es oft genau der Satz des Pythagoras.

Denn dieser ist eines der Ergebnisse der euklidischen Geometrie schlechthin und findet insbesondere in der Schulmathematik häufig seine Anwendung. Du hast wahrscheinlich auch schon öfters von ihm gehört.

Immer wenn es im Matheunterricht um Dreiecke geht, ist es gut möglich, dass in irgendeiner Weise auch der Satz des Pythagoras auftaucht.

Ob der Satz des Pythagoras wirklich auf den berühmten Mathematiker und Philosophen Pythagoras von Samos zurückgeht, ist umstritten.

Jedenfalls war der Satz schon deutlich vor Pythagoras Leben in Babylon und im alten Ägypten bekannt.

Allerdings ist es möglich, dass Pythagoras der erste Mensch war, der den Satz auch beweisen konnte, was in der Mathematik viel wichtiger ist als den Satz einfach nur aufzustellen.

Der Satz des Pythagoras

In Worten formuliert lautet der Satz des Pythagoras wie folgt:

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.

Anders ausgedrückt: in einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt der Quadrate über den beiden kürzeren Seiten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der langen Seite.

Mathematisch ausgedrückt gelangen wir damit zu der berühmten simplen Gleichung:

Satz des Pythagoras
\( a^2+b^2= c^2 \)

Der Satz des Pythagoras lässt sich anhand folgender Grafik veranschaulichen:

Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras (Bildquelle:  Rechtwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras von Petrus374 unter CC BY-SA 4.0

Dabei stehen die Buchstaben a, b und c stellvertretend für die Längen der einzelnen Seiten.

Ihr Quadrat, also ihre Multiplikation mit sich selbst, ist dementsprechend äquivalent zu einem Quadrat (dem gleichseitigen Viereck) mit der jeweiligen Seitenlänge a, b und c.

Eine schöne Veranschaulichung des Satzes siehst du in folgendem GIF, in dem das Volumen der Flüssigkeit über den Katheten \( a^2+b^2\) genau gleich dem Volumen über der Hypotenuse \( c^2 \) ist:

via GIPHY

Beweis des Satzes von Pythagoras

Für den Satz des Pythagoras gibt es mehrere hunderte mögliche Beweise, die ganze Bücher füllen.

Einen dieser Beweise gibt es sogar in Gedichtform, abgefasst unter dem Namen Der Formen ewige Magie (ihn findest du hier).

Wir haben einen Beweis für dich ausgewählt, der hoffentlich möglichst einfach und anschaulich zu verstehen ist.

Dieser Beweis beruht auf einem grafischen Ergänzungsverfahren. Dabei geht es darum, rechtwinklige Dreiecke so zu verschieben, dass durch ausgeklügelte Anordnung der Flächen das von uns angestrebte Ergebnis ganz natürlich dasteht.

Dafür beginnen wir mit einem Quadrat der Seitenlänge c, dessen Fläche damit genau  \( c^2 \) ausfüllt.

An den Seiten dieses Dreiecks haben wir nun viermal das gleiche gelbe Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c.

Dies ist in dieser Abbildung zu sehen.

Pythagorasergänzung

Pythagoras-Ergänzung (Bildquelle: Pythagorasergänzung von Hubi unter CC BY-SA 3.0; bearbeitet)

Die Fläche des gesamten Quadrates entspricht also der Fläche der vier gelben Dreiecke, die wir als \( 4d \) bezeichnen, plus der Fläche des roten Quadrates \( c^2 \).

Die Gesamtfläche liegt demnach bei \( c^2+4d \).

Wir versuchen nun zu beweisen, dass diese Fläche ebenso der Fläche der vier gelben Dreiecke plus der Fläche zwei kleineren Quadrate \( a^2 \) und \( b^2 \) entspricht.

Der Beweis erfolgt durch folgenden Trick:

Wir schieben jeweils zwei der gelben Dreiecke aneinander. Eines davon bildet ein Rechteck in der oberen linken Ecke, das andere ein Rechteck in der unteren rechten Ecke.

Das eine Rechteck wird dabei hingestellt, das andere hingelegt. Das bedeutet im Endeffekt nur, dass bei einem die Seite a unten ist, bei dem anderen die Seite b.

Pythagorasergänzung

Pythagoras-Ergänzung (Bildquelle: Pythagorasergänzung von Hubi unter CC BY-SA 3.0; bearbeitet)

Dadurch erhalten wir dieses Schaubild.

Neben der Fläche der vier gelben Dreiecke sind nun noch zwei Quadrate übrig:

Ein grünes mit der Seitenlänge a und ein blaues mit der Seitenlänge b.

Da deren Flächeninhalt genau durch \( a^2 \) und \( b^2 \) gegeben ist und sich die Gesamtfläche \( c^2+4d \) nicht geändert haben kann, muss also gelten:

\( a^2+b^2+4d= c^2+4d \\ \rightarrow a^2+b^2= c^2 \).

Diese Vorgehensweise beschreibt den geometrischen Beweis durch Ergänzung.

Anwendung des Satzes von Pythagoras

Da Dreiecke im Alltag oft auftreten, gibt es viele Beispiele, für die sich eine Anwendung des Satzes anbietet.

Eine solche Möglichkeit ist das Bestimmen der Bildschirmdiagonale eines Fernsehers. Wenn wir von einem xx-Zoll-Fernseher sprechen, meinen wir damit immer die Länge der Bildschirmdiagonale, angegeben in Zoll.

Wenn du die Diagonale nicht kennst, kannst du dir den Satz des Pythagoras behilflich machen, um sie zu bestimmen.

Dabei kommt dir zugute, dass der obere und der seitliche Rand eines Bildschirms die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden, dessen Hypotenuse genau durch die Bildschirmdiagonale gegeben ist.

Diese kannst du einfach mit einem Maßband ausmessen. Natürlich könntest du auch die Diagonale direkt ausmessen, aber das wäre ja langweilig.

Dann gilt:

\( \text{Bildschirmdiagonale}= \sqrt{\text{oberer Rand}^2+\text{seitlicher Rand}^2} \).

Allgemeiner spielt der Satz des Pythagoras bei der Herleitung der Länge eines Vektors eine wichtige Rolle, wie wir in demm Artikel Betrag eines Vektors genauer erklären.

Ganzzahlige Lösungen

Pythagoreische Tripel

Falls drei ganze Zahlen eine Lösung der Gleichung des Satzes des Pythagoras sind, haben sie einen besonderen Namen: wir sprechen dann von pythagoreischen Tripeln.

Schon in Babylon gab es Tabellen, in denen verschiedene dieser Tripel gefunden und zusammengefasst wurden.

Das einfachste und gleichzeitig kleinste Beispiel für ein Tripel sind die Zahlen 3, 4 und 5, denn für diese gilt: \( 3^2+4^2= 5^2 \).

Dabei gibt es aber viel größere Beispiele. Eine knapp 3500 Jahre alte Keilschrift aus Babylon enthält beispielsweise das Zahlentripel \( (12709, 13500, 18541) \).

Die Größe dieser Zahlen deutet darauf hin, dass in Babylon schon 1.000 Jahre vor Pythagoras die Bedeutung der Zahlen und Verfahren zu ihrer Berechnung schon bekannt waren, denn durch Zufall oder durch Ausprobieren brauchen wir sehr lange, um auf diese Zahlen zu kommen!

Es gibt unendlich viele pythagoreische Tripel, denn ein beliebiges pythagoreisches Tripel lassen sich mit folgender Formel berechnen:

\( a = u^2 – v^2 \\ b = 2uv \\   c= u^2 + v^2 \\ \)

Hierbei sind u und v jeweils natürliche Zahlen größer als 1 und ist u ist größer als v. Da es unendlich viele Zahlen gibt, die du in diese Formel einsetzen kannst, gibt es auch unendlich viele Tripel, die sich damit ausrechnen lassen.

Diese Formel war übrigens schon Euklid bekannt. Wenn du Lust hast, kannst du dich ja mal an ihrer Herleitung versuchen.

Tipp: quadriere dafür einfach die Terme aus, wende die erste und zweite binomische Formel an und schaue, was sich wegkürzt.

Satz des Pythagoras für höhere Potenzen

Wir können die quadratische Gleichung, die den Satz des Pythagoras ausmacht, auch für beliebige Potenzen erweitern:

\( a^n+b^n= c^n\).

Da es unendlich viele Tripel für die quadratische Variante gibt, mutet es vielleicht überraschend an, dass es für alle Potenzen, die größer sind als zwei, keine ganzzahlige Lösung mehr existiert.

Das heißt, schon für \( n=3 \) gibt es überhaupt keine ganzen Zahlen mehr, die diese Gleichung erfüllen!

Dieser Satz ist als Fermats Letzter Satz aus dem Jahre 1612 bekannt und hat eine gewisse Berühmtheit erlangt, weil es überaus schwer war, ihn zu beweisen, obwohl Fermat behauptete, einen einfachen und eleganten Beweis gefunden zu haben, den er aber nie aufgeschrieben hat.

Tatsächlich gelang der Beweis erst im Jahre 1995, also über 350 Jahre nach seiner ersten Formulierung.

Beispiel

Beispiel für den Satz des Pythagoras

Betrachten wir ein Dreieck mit den Seiten \( d = 5 \), \( e = 13 \), \( f = 12 \). Wir können nun mit Pythagoras überprüfen, ob dieses Dreieck rechtwinklig ist.

Wir haben hier absichtlich andere Buchstaben für die Bezeichnung der Seiten verwendet, um zu vermeiden, dass es sich bei der Anwendung des Satzes des Pythagoras nur um „blindes“ Einsetzen handelt.

Du musst vor der Verwendung des Satzes immer überprüfen, ob die mit a und b bezeichneten Seiten wirklich die Katheten sind, das heißt, ob sie auch wirklich an den rechten Winkel angrenzen.

In diesem Beispiel musst du  prüfen, ob die drei Seitenlängen ein pythagoreisches Tripel bilden.

Da \( e \) die längste Seite ist, muss es im Fall eines rechtwinkligen Dreiecks die Hypotenuse, also \( c \) sein.

Damit können wir einsetzen:

\( 5^2+12^2=25+144=169= 13^2\).

Tatsächlich bilden die Seitenlängen damit ein pythagoreisches Tripel und das Dreieck ist rechtwinklig.

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Satz des Pythagoras mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Bestimme die jeweils fehlende Seitenlänge des rechtwinklichen Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras:

  1. \( a=2, \; b=3 \)
  2. \( a=8, \; b=15\)
  3. \(a=16, \; b=63 \)
  4. \( a=9, \; b=40\)
  5. \(b=84, \; c=85 \)
  6. \( a=2, \; b=4\)
  7. \(a=3, \; c=4 \)
  8. \( a=57, \; c=185\)
  9. \(a=1, \; c=2 \)
  10. \(b=2, \;c=2 \)

Lösungen

Lösungen
  1. \( c=5 \)
  2. \( c=17 \)
  3. \( c=65 \)
  4. \( c=41 \)
  5. \( a=13 \)
  6. \( c=4,47 \)
  7. \( b=\sqrt{7} \)
  8. \( b=176 \)
  9. \( b=\sqrt{3} \)
  10. \( \text{nicht möglich} \) 
Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

Pirabel