Scheitelpunktform

Kapitel aktualisiert am 17.01.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Scheitelpunktform als Teil der Funktionen im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, wie du den Scheitelpunkt einer quadratischen Gleichung auf zwei verschiedene Arten berechnen kannst und geben dir weitere, veranschaulichende Beispiele und Aufgaben mit Lösungen.

Einleitung

Quadratische Gleichungen treten in der Mathematik häufig auf. Sie sind dadurch definiert, dass in ihnen ein quadratischer Term, also ein Term proportional zu \(x^2 \) auftaucht.

Außerdem muss die Eigenschaft erfüllt sein, dass der quadratische Term die Potenz höchster Ordnung darstellt (sprich, dass keine Terme höherer Potenz wie \(x^3\), \(x^4\) usw. in deiner Gleichung auftreten).

Als Erinnerung: jede quadratische Gleichung hat eine Standardform, die durch \(f(x)= ax^2+bx+c \) definiert ist.

Quadratische Gleichungen haben, wenn du sie aufzeichnest, eine charakteristische Parabelform, wie du am Beispiel der Abbildung einsehen kannst.

Quadratische Funktion: Graph

Graph einer Quadratischen Funktion

Je nach Vorzeichen vor dem quadratischen Term ist diese Parabel entweder nach oben (für positives Vorzeichen wie im Beispiel) oder nach unten geöffnet (für negatives Vorzeichen).

Die Spitze deiner Parabel wird als Scheitelpunkt bezeichnet, um dessen Berechnung es jetzt gehen wird.

Eigenschaften des Scheitelpunkts

Der Scheitelpunkt

Im Scheitelpunkt der quadratischen Gleichung ist die Ableitung der Gleichung gerade null: \( f'(x)=0\).

Das kannst du dir dadurch verdeutlichen, dass die Ableitung einer Funktion ihrer Steigung entspricht. Wenn du im Schaubild in dem Bereich um die Spitze der Parabel schaust, siehst du, dass hier die Steigung immer geringer wird. An der Spitze flacht sie ganz ab, wird null.

Weiterhin ist, je nach Vorzeichen des quadratischen Terms, der Scheitelpunkt der höchste Punkt (für negatives Vorzeichen) oder der niedrigste Punkt (für positives Vorzeichen) deines Graphen. In der Mathematik spricht man dann auch von einem globalen Maxima bzw. globalen Minima.

Scheitelpunkt berechnen

Es gibt verschiedene Verfahren, den Scheitelpunkt eines Graphen zu berechnen.

Wie oben schon erklärt, ist die Ableitung des Graphen im Scheitelpunkt gleich null, weshalb du über das Berechnen und Nullsetzen der Ableitung den Scheitelpunkt bestimmen kannst.

Außerdem kannst du mit Hilfe des Verfahrens der quadratischen Ergänzung deine quadratische Gleichung auf die sogenannte Scheitelpunktform oder einfach Scheitelform bringen, die es dir dann ermöglicht, den Scheitelpunkt des Graphen direkt abzulesen.

Ableitung berechnen

Wie wir im Graphen gesehen haben, ist die Steigung deiner Parabel im Scheitelpunkt gleich null. Das kannst du dir zunutze machen, indem du, anstatt zu schauen, wo der Scheitelpunkt liegt, stattdessen schaust, an welchem Punkt die Ableitung null ist.

Da es für quadratische Gleichungen nur genau einen Punkt mit einer Ableitung von null gibt, ist dort automatisch dein Scheitelpunkt.

Ausgehend von der Standardform \(f(x)= ax^2+bx+c \)  kannst du immer dem gleichen Verfahren folgen.

Bestimmung des Scheitelpunkts durch Ableitung
Ausgangspunkt:   \( y=ax^2+bx+c \rightarrow \)  Ziel: x-und y-Koordinate des Scheitelpunktes

1. Ableiten der quadratischen Gleichung

Bilden der Ableitung mit Hilfe der üblichen Ableitungsregeln: \(f'(x)= 2ax+b \)

2. Nullsetzen der Ableitung

\(f'(x)= 2ax+b=0 \\ \)

3. Auflösen der Gleichung nach x

\(2ax+b=0 \;\rightarrow \; 2ax=-b \; \rightarrow x = \frac{-b}{2a} \\ \)

Damit ist der x-Wert \( x = \frac{-b}{2a} \) bestimmt!

4. Ausrechnen des entsprechenden Funktionswertes

Nachdem du den x-Wert, an dem die Ableitung null ist, bestimmt hast, musst du diesen noch in die Funktion einsetzen, um den entsprechenden y-Wert zu erhalten.

\(y=f(x=\frac{-b}{2a})= a(\frac{-b}{2a})^2+b\cdot (\frac{-b}{2a})+c \\ \)

5. Kürzen des Bruches

Dieser Ausdruck sieht erst einmal sehr chaotisch aus. Davon solltest du dich nicht abschrecken lassen, denn der Term lässt sich kürzen und zusammenfassen.

\(y=f(x=\frac{-b}{2a})= \frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c= -\frac{b^2}{4a}+c \\ \)

Damit ist auch der y-Wert \( y = -\frac{b^2}{4a}+c \) bestimmt!

6. Scheitelpunkt ablesen

Damit bist du am Ziel angelangt. Den x-Wert, den du in Schritt 3 erhalten hast und den y-Wert aus Schritt 5 kannst du nun zu den Koordinaten deines Scheitelpunkt zusammenfassen.

\(  \rightarrow S = (x|y) = (-\frac{b}{2a}|-\frac{b^2}{4a}+c) \\ \)

Scheitelpunktform

Jetzt erklären wir dir, wie du für jede quadratische Gleichung die Scheitelpunktform berechnen kannst.

Dabei machst du dir das Verfahren der quadratischen Ergänzung zu Nutze, mit dem du die Normalform der quadratischen Gleichung in Scheitelpunktform umformen kannst.

Wir haben einen eigenen Artikel zur quadratischen Ergänzung, falls du das Verfahren und seine Hintergründe noch einmal genauer nachlesen möchtest. Zur Wiederholung sei hier aber das Schema, dem du bei jeder quadratischen Ergänzung folgen kannst, noch einmal zusammengefasst.

Bestimmung des Scheitelpunkts durch Ergänzung
Ausgangspunkt:   \( y=ax^2+bx+c \rightarrow \)   Ziel:    \( y=a (x+d)^2+e \\\)

1. Ausklammern des Faktors a vor dem quadratischen Term.

Da du den zweiten Summanden mit a multiplizierst, musst du ihn wieder durch b teilen: \( y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c \)

2. Quadratische Ergänzung

Dabei addierst/ergänzt du eine „gehaltvolle“ Null, indem du das Quadrat \((\frac{b}{2a})^2\) einmal hinzufügst und einmal abziehst: \( y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c \)

3. Bildung der Klammer

An dieser Stelle wird die binomische Formel „rückwärts“ angewandt, indem du die ersten drei Terme in der Klammer in der quadrierten Klammer zusammenfasst: \( y=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c \)

4. Ausmultiplikation der Terme

In diesem letzten Schritt multiplizierst du den Vorfaktor a mit dem letzten Summanden in der Klammer aus, um ihn als e in der neuen Form zusammenfassen zu können: \( y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right) \)

Die Gleichung, die du dann erhältst, kannst du schon vollständig auf die oben genannte Form \( y=a (x+d)^2+e \) bringen.

Vergleich der beiden Gleichungen liefert dir \( 1. \;  \frac{b}{2a}=d  \\  2. \; -\frac{b^2}{4a}+c=e \)

5. Scheitelpunkt bestimmen

Bist du bei der Form \( y=a (x+d)^2+e \) angelangt, ist der Großteil der Arbeit schon getan. Das ist nämlich die sogenannte Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung.

Der Name kommt daher, dass der Scheitelpunkt von quadratischen Gleichung durch \( \rightarrow S = (-d|e) \) gegeben ist, den du nun durch einen Blick auf die Gleichung ablesen kannst.

Vergleichst du die beiden Ausdrücke für den Scheitelpunkt, die du aus den beiden unterschiedlichen Verfahren erhältst, fällt auf, dass sie genau gleich ist. Das muss natürlich auch so sein, da du ja den gleichen Scheitelpunkt bestimmt hast.

Beispiele

Ziel ist es nun, für die Gleichung \( y=3x^2+6x+12 \) den Scheitelpunkt zu bestimmen. Dafür können wir für beide Verfahren unsere „Kochrezepte“ anwenden.

Ableitung berechnen

1. Ableiten der quadratischen Gleichung

\(f'(x)= 6x+6 \\ \)

2. Nullsetzen der Ableitung

\(f'(x)= 6x+6=0\\  \)

3. Auflösen der Gleichung nach x

\(6x+6=0 \;\rightarrow \; 6x=-6 \; \rightarrow x = -1 \\ \)

Damit ist der x-Wert \( x = -1 \) bestimmt.

4. Ausrechnen des entsprechenden Funktionswertes

\(y=f(x= -1)= 3\cdot (-1)^2-6+12=9 \\ \)

Damit ist auch der y-Wert \( y = 9 \\ \) bestimmt.

6. Scheitelpunkt ablesen

\( \rightarrow S = (-1|9) \) 

Scheitelpunktform

Im besten Fall solltest du für dieses Verfahren den gleichen Scheitelpunkt herausbekommen. Prüfen wir es nach!

  1. Ausklammern von a

    \( y=3\left(x^2+\frac{6}{3}x\right)+12=3\left(x^2+2x\right)+12 \\ \)
  2. Ergänzung der quadratischen Terme

    \( y=3\left(x^2+2x+1^2-1^2\right)+12 \\  \)
  3. Anwendung der binomischen Formel

    \( y=3\left[\left(x+1\right)^2-3\right]+12 \\ \)
  4. Ausmultiplizieren des Resttermes

    \( y=3\left(x+1\right)^2=3\left(x+1\right)^2+9 \\ \)

Damit sind wir bei der Form \( y=a (x+d)^2+e \) angelangt und können \(d=1\) und \(e=9\) ablesen. Damit ist auch der Scheitelpunkt bestimmt: \( S=\left(  -1|9 \right)  \).

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Scheitelpunkt berechnen mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Berechne die Ableitung und bestimme den Scheitelpunkt:

\( 1. \; y=x^2+x+1 \\ 2.\; y=4x^2+4x \\ 3.\; y=4x^2+4x+1\\  4. \; y=2x^2+1 \\ 5. \; y=5x^2+4 \\  \)

Führe eine quadratische Ergänzung durch und bestimme den Scheitelpunkt:

\(6.\; y= 3x^2+6x+9 \\ 7. \; y=2x^2+x \\  \\ 8. \; y=4x^2+4x+1 \\ 9. \; y=3x^2+6x+1 \\ 10. \;   y=4x^2-8x-4 \)

Lösungen
\( 1. \; S=\left(  \frac{-1}{2}| \frac{3}{4} \right) \\ 2.\; S=\left(  \frac{-1}{2}| -1 \right) \\ 3.\; S=\left(  \frac{-1}{2}| 0 \right)\\  4.\; S=\left( 0| 1 \right) \\ 5. \; S=\left(  0| 4 \right) \\ 6.\;  S=\left(  -1| 6 \right) \\ 7. \;  S=\left(  \frac{-1}{4}| \frac{-1}{8} \right) \\ 8. \; S=\left(  \frac{-1}{2}| 2 \right) \\ 9.\;  S=\left(  -1| -2 \right) \\ 10. S=\left(  1| -8 \right) \)
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Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

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