Schnittpunkte berechnen

Kapitel aktualisiert am 06.11.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Schnittpunkt-Berechnung als Teil der Linearen Funktionen im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen kannst, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Schnittpunkte zweier Geraden berechnen

Um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen (graphisch sind es Geraden) \( f(x) = m_f \cdot x + c_f \) und \( g(x) = m_g \cdot x + c_g \) zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:

Vorgehensweise:

1. Schritt: Überprüfe, ob ein Schnittpunkt existiert oder ob die beiden Geraden parallel zueinander liegen und somit keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen:

  • Schnittpunkt existiert: die Steigung m ist unterschiedlich \( \rightarrow m_f \neq m_g \)
  • Geraden sind parallel: die Steigung m ist gleich \( \rightarrow m_f = m_g \)

2. Schritt: Setze beide Funktionen gleich: \( f(x) = g(x) \).

3. Schritt: Löse mit Äquivalenzumformungen nach x auf: \( \rightarrow x-Koordinate \) des Schnittpunktes.

4. Schritt: Setze die x-Koordinate in eine der beiden Funktionen ein: \( \rightarrow y-Koordinate \) des Schnittpunktes.

Beispiele

1. Beispiel:

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden \( f(x) = 2x+1 \) und \( g(x) = -3x+6 \).

1. Schritt: Schnittpunkt existiert: die Steigung m ist unterschiedlich \( \rightarrow m_f = 2 \neq -3 = m_g \)

2. Schritt: Setze beide Funktionen gleich: \( f(x) = g(x) \\  2x+1 = -3x+6 \)

3. Schritt: Löse mit Äquivalenzumformungen nach x auf: \( f(x) = g(x) \\  2x+1 = -3x+6 |+3x \\ 5x +1 = 6 |-1 \\ 5x =5 | : 5 \\ x=1 \rightarrow x-Koordinate \)

4. Schritt: Setze die x-Koordinate in eine der beiden Funktionen ein. Da die Funktion f(x) einfacher aussieht, setzen wir \( x=1  \) in diese Funktion ein: \( f(1) = 2 \cdot 1+1 = 2+1 = 3 \rightarrow y-Koordinate \\ \)

Schnittpunkt: \( SP(1/3) \)

2. Beispiel:

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden \( f(x) = -\frac{1}{2}x+5 \) und \( g(x) = x+3 \).

1. Schritt: Schnittpunkt existiert: die Steigung m ist unterschiedlich \( \rightarrow m_f = -\frac{1}{2} \neq 1  m_g \)

2. Schritt: Setze beide Funktionen gleich: \( f(x) = g(x) \\  -\frac{1}{2}x+5 = x+3 \)

3. Schritt: Löse mit Äquivalenzumformungen nach x auf: \( f(x) = g(x) \\  -\frac{1}{2}x+5 = x+3 |  +\frac{1}{2}x  \\ 5 = \frac{3}{2}x + 3  | -3 \\  2 = \frac{3}{2}x | \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} = x \rightarrow x-Koordinate \)

4. Schritt: Setze die x-Koordinate in eine der beiden Funktionen ein. Da die Funktion g(x) einfacher aussieht, setzen wir \( x= \frac{4}{3} \) in diese Funktion ein: \( g(\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3} \rightarrow y-Koordinate \\ \)

Schnittpunkt: \( SP(\frac{4}{3} /\frac{13}{3}) \)

3. Beispiel:

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden \( f(x) = -2x- 5 \) und \( g(x) = -2x+3 \).

Die Geraden sind parallel, da die Steigung beider Geraden mit \( m_f  = -2 = m_g \) gleich ist.

\( \rightarrow \) Es existiert kein Schnittpunkt.

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Schnittpunktberechnung mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Bestimme der Schnittpunkt der Geraden f und g:

  1. \( f(x)= 2x+1 , g(x) = x-2 \)
  2. \( f(x)= 3x+5 , g(x) = x-5 \)
  3. \( f(x)= 6x-2 , g(x) = 6x+3 \)
  4. \( f(x)= 2,5x+5 , g(x) = 4x-3 \)
  5. \( f(x)= x+1 , g(x) = -x-1 \)
  6. \( f(x)= 2x , g(x) = 2x+15 \)
  7. \( f(x)= x , g(x) = 5x \)
  8. \( f(x)= 4x+4 , g(x) = -3x-3 \)
  9. \( f(x)= x-4 , g(x) = x+4 \)
  10. \( f(x)= x+10 , g(x) = 10x \) 
Lösungen
  1. \( SP(-3/-5 ) \)
  2. \( SP(-5 /-10 ) \)
  3. Es existiert kein Schnittpunkt.
  4. \( SP(5,3 /18,3 ) \)
  5. \( SP(-1 /0 ) \)
  6. Es existiert kein Schnittpunkt.
  7. \( SP(0 / 0) \)
  8. \( SP(-1 / 0) \)
  9. Es existiert kein Schnittpunkt.
  10. \( SP( 1,11/11,11 ) \)
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