Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus und Tangens

Kapitel aktualisiert am 07.08.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Winkelfunktionen mit Sinus, Cosinus und Tangens als Teil der trigonometrischen Funktionen im Bereich der Geometrie. Wir zeigen die Grundlagen eines Dreiecks, die Berechnung des Winkels mit Sinus, Cosinus und Tangens mit Beispielen, Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Winkelfunktionen

Die bekanntesten Winkelfunktionen sind Sinus, Cosinus und Tangens. Winkelfunktionen kannst du verwenden, um in einem rechtwinkligen Dreieck die Seiten oder Winkel zu bestimmen.

Grundlagen eines Dreiecks

Ein Dreieck hat, wie der Name schon sagt, 3 Ecken und somit auch 3 Winkel und 3 Seiten. Alle Winkel ergeben zusammen immer 180° bei einem Dreieck. Ein Dreieck heißt genau dann rechtwinklig, wenn die Größe eines Winkels 90° beträgt.

Nun schauen wir uns ein rechtwinkliges Dreieck an:

Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Die Seite im Dreieck, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse.

Die Seite, die gegenüber von einem bestimmten Winkel liegt, heißt Gegenkathete.

Und die Seite, die an einem bestimmten Winkel anliegt, heißt Ankathete.

Einheitskreis

Winkelfunktionen – EinheitskreisEin Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1. Wenn du ein Koordinatensystem in die Mitte setzt, kannst du für verschiedene Winkelgrößen Dreiecke mit einem rechten Winkel in den Kreis zeichnen.

Dabei hat die Hypotenuse immer die Länge 1, weil es genau dem Radius des Einheitskreises entspricht. Die Ankathete entspricht den x-Koordinaten, und die Gegenkathete den y-Koordinaten.

Je nachdem, wie du den Winkel wählst, variieren die Werte für die x- und y-Koordinaten. Den Zusammenhang zwischen der Größe des Winkels und den Seitenlängen stellen die Winkelfunktionen dar.

Sinus

Sinus
\( sin (\alpha) = \frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} \)

Wichtige Werte:

\( \alpha\) 30° 90°
\( sin(\alpha)\) 0 0,5 1

Cosinus

Cosinus
\( cos (\alpha) = \frac {Ankathete}{Hypotenuse} \)

Wichtige Werte:

\( \alpha\) 60° 90°
\( sin(\alpha)\) 1 0,5 0

Tangens

Tangens
\( tan (\alpha) = \frac {Gegenkathete}{Ankathete} \)

Wichtige Werte:

\( \alpha\) 45° 90°
\( sin(\alpha)\) 0 1 nicht definiert

Beispiele

1.Beispiel:

Sei \(\alpha = 30° \) und \( a = 2cm\)

Berechne die fehlenden Seiten des Dreiecks:

Die Seite a ist die Gegenkathete zum Winkel \( \alpha \). Das heißt, du musst nur noch die Ankathete und die Hypotenuse berechnen. Um die Hypotenuse b zu bestimmen, kannst du die Sinusfunktion verwenden:

\(sin(\alpha) = \frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} \\sin(30°) = 0,5 = \frac {2cm}{b} \\b= \frac {2cm}{0,5} = 4cm \\\)

Und um die Ankathete c zu bestimmen, kannst du die Tangensfunktion verwenden:

\(tan(\alpha) = \frac {Gegenkathete}{Ankathete} \\tan(30°) = 0,58 = \frac {2cm}{c} \\ c = \frac {2cm}{0,58} = 3,46 cm \\\)

Das heißt, das Dreieck hat die Seitenlängen:

\(a = 2cm, b = 4cm, \)  und \(  c = 3,46cm\)
2.Beispiel:

Gegeben: Hypotenuse \( a = 4cm \) und die Seite \(b = 8cm \)

Berechne die fehlenden Winkel des Dreiecks: Gegeben ist einmal die Hypotenuse und die Ankathete zum Winkel \(\gamma\). Da die Seite a die Hypotenuse ist, muss der gegenüberliegende Winkel \( \beta \)  rechtwinklig sein, also \( \beta = 90°\).

Um den Winkel \( \gamma\) zu berechnen, kannst du die Cosinusfunktion verwenden:

\(cos(\gamma) = \frac {Ankathete}{Hypotenuse} \\= \frac {4cm}{8cm} \\= 0,5  \\\gamma= cos^{-1}(0,5) \\= 60° \\\)

Nun hast du die Winkel \( \beta = 90°\)  und \( \gamma = 60°\) berechnet. Alle Winkel in einem Dreieck ergeben zusammen 180°. Also gilt: \( \alpha = 180° – 90° – 60° = 30° \)

Das heißt, das Dreieck hat die Winkelgrößen: \( \alpha= 30°\), \( \beta = 90°\) und \( \gamma = 60°\)  

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Dreiecksberechnung mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die fehlenden Seiten der folgenden Dreiecke mit rechtem Winkel \( \gamma \) :

  1. Hypotenuse c \(= 2cm, \alpha = 30° \)
  2. Ankathete a \(= 4cm, \beta = 30°  \)
  3. Ankathete b \(= 3cm, \alpha = 60°   \)
  4. Gegenkathete b \(= 2cm, \beta = 60°   \)
  5. Hypotenuse \(c = 5cm, \alpha = 45°   \)

Berechne die fehlenden Winkel der folgenden Dreiecke:

  1. Hypotenuse a \(= 5cm, b= 4cm \)
  2. Hypotenuse \(b = 3cm, c = 1cm \)
  3. Hypotenuse \(c = 2,5 cm, a = 2cm \)
  4. \( b = 8 cm, a = 4 cm, \gamma = 90° \)
  5. \( c = 1,5 cm, b = 6 cm, \alpha = 90° \)  
Lösungen
  1. Gegenkathete a \(= 1,73cm\), Ankathete \(b = 1cm \)
  2. Hypotenuse \(c = 4,62cm\), Gegenkathete \(b = 2,31cm \)
  3. Hypotenuse \(c = 6cm\), Gegenkathete \(a = 5,2cm \)
  4. Hypotenuse \(c = 2,31cm\), Ankathete \(a = 1,15cm \)
  5. Gegenkathete \(a = 3,54cm\), Ankathete \(b = 3,54cm \)
  6. \( \alpha= 90°\), \( \beta = 53,13°\)  und \( \gamma = 36,87°\)
  7. \( \alpha= 70,53°\), \( \beta = 90°\)  und \( \gamma = 19,47°\)
  8. \( \alpha= 53,13°\), \( \beta = 36,87°\)  und \( \gamma = 90°\)
  9. \( \alpha= 26,57°\), \( \beta = 63,43°\)  und \( \gamma = 90°\)
  10. \( \alpha= 90°\), \( \beta = 14,04°\) und \( \gamma = 75,96°\)
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