Skalarprodukt

Kapitel aktualisiert am 27.07.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Skalarprodukt (auch inneres Produkt) als Teil der Vektorrechnung im Bereich der analytischen Geometrie. Wir erklären dir, wie ein Skalarprodukt definiert wird, wie ein Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet wird und welche Eigenschaften es hat.

Skalarprodukt: Definition

Zusammenfassung
Ein Skalarprodukt ist eine Verknüpfung von zwei Vektoren. Das Ergebnis der Verknüpfung ist eine Zahl, auch Skalar genannt.

Für Zahlen haben wir eine einfache Verknüpfung, die wir seit der Grundschule kennen: die Multiplikation.
Wie wir die Multiplikation kennengelernt haben, funktioniert sie aber nur für Zahlen. Mittlerweile haben wir aber ein neues mathematisches Objekt kennen gelernt: den Vektor.

Um die Multiplikation, die wir bereits für Zahlen kennen, auf den Vektor zu übertragen, brauchen wir das Skalarprodukt.

Schreibweise

Statt das normale Multiplikationszeichen \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) zu verwenden, lautet die Schreibweise nun \(\vec{a} \circ \vec{b}\).

Winkel zwischen zwei Vektoren

Geometrische Veranschaulichung des Skalarprodukts

Geometrische Veranschaulichung des Skalarprodukts

Von der geometrische Betrachtung berechnet man den Skalarprodukt zweier Vektoren nach folgender Formel: \(\vec{a} \circ \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \text{ cos } \angle \left(\vec{a},\vec{b}\right)\)

Dabei bezeichnen \(\left|\vec{a}\right|, \left|\vec{b}\right|\) die Länge der Vektoren und \(\text{ cos } \angle \left(\vec{a},\vec{b}\right)=\text{ cos } \varphi \) der von den Vektoren eingeschlossene Winkel.

Daraus kann man schließen, dass das Skalarprodukt 0 ist, wenn die Vektoren orthogonal sind.

Dies impliziert, dass das Skalarprodukt maximiert wird, wenn die Vektoren die gleiche Richtung haben.

Skalarprodukt berechnen

Seien \(\vec{a},\vec{b}\) beliebige Vektoren. Dann ist deren Skalarprodukt, in diesem Fall das Standardskalarprodukt gegeben durch

\(\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\)

Einfacher gesagt: Man multipliziert den ersten Eintrag von Vektor \(\vec{a}\) mit dem ersten Eintrag von Vektor \(\vec{b}\), den zweiten Eintrag von \(\vec{a}\) mit dem zweiten Eintrag von Vektor \(\vec{b}\) und so weiter und sofort. Und am Ende summiert man über alle Teilergebnisse.

Beispiel
Gegeben haben wir zwei Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) Dann berechnet sich deren Skalarprodukt durch\(\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) + 0 \cdot 3 = 8 + 3 + 0 = 11 \)

Orthogonal

Das Skalarprodukt wird oft zur Prüfung der Orthogonalität zwischen zwei oder mehr Vektoren zu überprüfen. Das heißt das Skalarprodukt von Vektoren sagt uns, ob Vektoren senkrecht bzw. orthogonal aufeinander stehen.

Merke: Ist das Skalarprodukt 0, sind die Vektoren orthogonal. Ist es das nicht, sind die Vektoren nicht senkrecht.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Für das Skalarprodukt gelten dieselben Rechenregeln wie für die Multiplikation mit Zahlen

1) Kommutativgesetz oder in anderen Worten die Verknüpfung ist symmetrisch: \(\vec{a} \circ \vec{b} = \vec{b} \circ \vec{a}\)

2) Distributivgesetz, das heißt die Verknüpfung ist additiv: \(\vec{a} \circ \left(\vec{b} + \vec{c}\right) = \vec{a} \circ \vec{b} + \vec{a} \circ \vec{c}\)

3) Gemischtes Assoziativgesetz, also homogen in jedem Argument: \(\left(k \cdot \vec{a}\right) \circ \vec{b} = k \cdot \left(\vec{a} \circ \vec{b}\right)\)

Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man als Bilinearität des Skalarprodukts zusammen.

Zusammenfassung
Ein Skalarprodukt bildet zwei Vektoren auf eine Zahl (Skalar) ab. Das Skalarprodukt ist definiert durch die Summe über alle komponentenweise miteinander multiplizierten Vektoreinträge. Für das Skalarprodukt gelten dieselben Rechenregeln, wie für die Multiplikation: Kommutativgesetz, Distributivgesetz und das gemischte Assoziativgesetz.
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