Stammfunktion

Kapitel aktualisiert am 20.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Stammfunktionen als Teil der Integralrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, in welchen Fällen du die Stammfunktion verwendest, wie du diese berechnest, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Zusammenhang von f(x), f'(x) und F(x)

Die Stammfunktion ist einfach formuliert „das Gegenteil“ von der Ableitung. Durch Ableiten erhältst du die Ableitung einer Funktion (Differentialrechnung). Durch Aufleiten (Integrieren) erhältst du die Stammfunktion einer Funktion (Integralrechnung).

\( f(x) \quad \underrightarrow{\text{ aufleiten }} \quad F(x) \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad F'(x) = f(x) \\ \)

Graphisch: Die Funktion f(x) ist die Kurve, die du in das Koordinatensystem zeichnest. Die Ableitung f‘(x) ist die Steigung dieser Kurve. Die Stammfunktion F(x) dient zur Berechnung der Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse.

Verwendung der Stammfunktion

Die Stammfunktion wird zur Berechnung von Integralen verwendet.

Wenn du beispielsweise das Integral einer beliebigen Funktion berechnen möchtest, musst du dazu diese Funktion aufleiten, also die Stammfunktion \( \int f(x) dx = F(x) \) bilden.

Dazu musst du wissen, welche Funktion wie abgeleitet wird. Genauso wie es Regeln beim Ableiten mit der Kettenregel, der e-Funktion und anderen Funktionen gibt, gibt es diese auch beim Aufleiten.

Stammfunktion finden

Wenn du die Stammfunktion bildest, solltest du den folgenden Punkt beachten:

Am Ende der Stammfunktion darfst du die Konstante +C nicht vergessen, da jede beliebige Konstante in der Stammfunktion beim Ableiten wegfallen würde. Daher gibt es eigentlich unendlich viele Stammfunktionen für eine Funktion. Durch ein allgemeines +C am Ende verdeutlichst du genau dies, da C eine beliebige reelle Zahl sein kann, die beim Ableiten wieder wegfallen würde.

Wichtige Stammfunktionen

Konstante Funktion

Bei einer konstanten Funktion musst du die Konstante k (k kann hier eine beliebige Zahl sein) mit einem x multiplizieren und eine weitere Konstante C addieren:

Funktion: \( f(x) = k \)

Stammfunktion: \( F(x)= k \cdot x +C \)

Zur Kontrolle kannst du die Stammfunktion F(x) ableiten, dann sollte wieder die ursprüngliche Funktion f(x) rauskommen. Genau das ist auch der Fall, da die Konstante C (egal welche Zahl das ist, hauptsache es steht kein x dabei) beim Ableiten wegfällt und von kx nur die Konstante k übrigbleibt.

Beispiel:

Funktion: \( f(x) = 2 \) | Stammfunktion: \( F(x)= 2 \cdot x +C \)

Hier ist f eine konstante Funktion, da 2 eine Konstante ist. Die Stammfunktion erhältst du ganz einfach, indem du für k die Konstante 2 einsetzt.

Potenzfunktion

Bei Potenzfunktionen hast du beim Ableiten bisher immer die Hochzahl mit dem Faktor vor dem x multipliziert und den Exponenten anschließend um 1 verringert. Beim Aufleiten musst du den Spieß umdrehen: erst den Exponenten um 1 erhöhen und anschließend den Faktor vor dem x durch den neuen Exponenten teilen.

Funktion: \( a \cdot x^n \)

Stammfunktion: \( \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} +C \)

Beispiel:

Funktion: \( 2 \cdot x^3 \) | Stammfunktion: \( \frac{2}{4} \cdot x^{4} +C = 0,5 \cdot x^4 +C\)

Hierzu hast du ebenfalls den Exponenten von einer 3 auf eine 4 um 1 erhöht und anschließend den Vorfaktor 2 durch die erhöhte Potenz 4 geteilt.

e-Funktion

Die Stammfunktion der e-Funktion ist genauso einfach wie die Ableitung der e-Funktion:

Funktion: \( e^x \)

Stammfunktion: \( e^x +C \)

Wenn oben statt x ein längerer Term steht, findest du die Vorgehensweise bei der Kettenregel, da die e-Funktion dann mit dem Term verkettet worden ist.

Beispiel:

Funktion: \( 2 \cdot e^{3x} \)

Hierzu musst du die Kettenregel nutzen. Weiter unten findest du die Regel dazu.

Stammfunktion: \( F(x) = \frac{2}{3} \cdot e^{3x} + C  \)

Logarithmusfunktion

Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion ist etwas schwieriger:

Funktion: \( f(x) = ln(x) \)

Stammfunktion: \( F(x) = x \cdot ln(x) -x +C \)

Beispiel:

Funktion: \( f(x) = ln(5x) \)

Auch hier brauchst du die Kettenregel, welche du etwas weiter unten findest.

Stammfunktion: \( F(x) = \frac{1}{5} \cdot (5x \cdot ln(5x) -5x) +C = x \cdot ln(5x) -x +C \)

Trigonometrische Funktionen

Sinusfunktion:

  • Funktion: \( f(x) = sin(x) \)
  • Stammfunktion: \( F(x) = -cos(x) +C \)

Cosinusfunktion:

  • Funktion: \( f(x) = cos(x) \)
  • Stammfunktion: \( F(x) = sin(x) +C \)

Tangensfunktion:

  • Funktion: \( f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \)
  • Stammfunktion: \( F(x) = -ln|cos(x)| +C \)
Beispiel:

Funktion: \( f(x) = 4cos(x+1) \)

Die Kettenregel musst du auch hier verwenden:

Stammfunktion: \( F(x) = 4sin(x+1) +C \)

Polynomfunktionen

Bei Polynomen gehst du genauso vor wie bei Potenzfunktionen. Dazu musst du die einzelnen Summanden im Polynom einzeln aufleiten und diese addieren:

Funktion: \( f(x) = a_n x^n +a_{n-1} x{n-1} + …  + a_1 x + a_0 \)

Stammfunktion: \( F(x) = \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n} x^n + …  + \frac{a_1}{2} x^2 + a_0x  + C \)

Beispiel:

Funktion: \( f(x) = 2x^3 + 6x^2 -0,5x +1 \) | Stammfunktion: \( f(x) = 0,5x^4 + 2x^3 -0,25x^2 +1x +C \)

Bei dieser Funktion leitest du ebenfalls die einzelnen Summanden einzeln nach der Potenzregel auf und fügst sie alle wieder mit der Addition zur Stammfunktion zusammen.

Wurzelfunktion

Wenn du die Stammfunktion einer Wurzelfunktion berechnen willst, eignet sich dieser Trick immer sehr gut.

Funktion: \( f(x) = \sqrt[a]{x^n} \)

  1. Schreibe die Wurzel erst in der Potenz-Schreibweise: \( f = x^{ \frac{n}{m}} \)
  2. Bestimme die Stammfunktion von dieser Potenz.
  3. Schreibe die Stammfunktion wieder als Wurzel.
Beispiel:

Funktion: \( f(x) = \sqrt[(2)]{x^{(1)}} \)

  1. Schreibe die Wurzel erst in der Potenz-Schreibweise: \( f = x^{ \frac{1}{2}} \)
  2. Bestimme die Stammfunktion von dieser Potenz: \( f = \frac{3}{2} \cdot x^{ \frac{3}{2}} \)
  3. Schreibe die Stammfunktion wieder als Wurzel: \( f = \frac{3}{2} \cdot \sqrt[(2)]{x^{3}} \)

Kettenregel

Die Kettenregel gibt es auch beim Aufleiten von Funktionen. Wenn eine verkettete Funktion folgendermaßen vorliegt:

Funktion: \( f(x)= u(v(x)) \)

Dann lautet die entsprechende Stammfunktion zu dieser verketteten Funktion:

Stammfunktion: \( F(x) = \frac{1}{v`(x)} \cdot U(v(x)) \)

Beispiel: siehe oben bei der e-Funktion.

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Stammfunktionen mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Bestimme die Stammfunktion folgender Funktionen:

  1. \( f(x) = 3 \)
  2. \( f(x) = 10x \)
  3. \( f(x) = e^x+1 \)
  4. \( f(x) = 8cos(4x) \)
  5. \( f(x) = e^2x \)
  6. \( f(x) = cos(100x) \)
  7. \( f(x) = \sqrt[5]{x^3} \)
  8. \( f(x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[2]{x^7}  \)
  9. \( f(x) = x^3 + 2x^2 -5x +4  \)
  10. \( f(x) = 7x^2 -3x -5   \)
Lösungen
  1. \( F(x) = 3x + C \)
  2. \( F(x) = 5x^2 + C \)
  3. \( F(x) = e^x +x + C \)
  4. \( F(x) = 2sin(4x) + C   \)
  5. \( F(x) = 0,5e^2x + C   \)
  6. \( F(x) = – \frac{1}{100} \cdot sin(100x) + C   \)
  7. \( F(x) = \frac{5}{8} \cdot \sqrt[5]{x^8}  + C   \)
  8. \( F(x) = 9 \cdot \sqrt[2]{x^9}  + C   \)
  9. \( F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + 4x + C \)
  10. \( F(x) = \frac{7}{3}x^3 – \frac{3}{2}x^2  -5x + C   \)  
Hat dir die Erklärung weitergeholfen?
[Bewertungen: 0 Durchschnitt: 0]
Weitere Themen aus diesem Bereich:
We will be happy to hear your thoughts

Hast du eine Anmerkung, Frage oder einen Verbesserungsvorschlag zum Thema? Wir antworten – versprochen!

Pirabel