Standardabweichung berechnen

Kapitel aktualisiert am 10.09.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Standardabweichung als Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Bereich der Stochastik. Wir zeigen dir, in welchen Fällen die Standardabweichung verwendet wird, diese berechnet wird, veranschaulichende Beispiele mit der diskreten sowie stetigen Verteilung sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Grundlegendes zur Standardabweichung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik besitzen Wahrscheinlichkeitsverteilungen charakteristische Werte, die uns den Umgang mit den zum Teil stark komplexen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsdichten erleichtern. Du kennst bestimmt zum Beispiel den Erwartungswert oder die Varianz, die Alltags-Werkzeuge eines jeden Statistikers.

Die Standardabweichung gehört genauso zu den Standardwerkzeugen eines jeden Statistikers. Wir erklären dir in diesem Abschnitt, was die Standardabweichung ist und wie Du sie berechnest.

Stelle dir folgende Situation vor: In den Klassen A und B sind jeweils 30 Schüler. In beiden Klassen liegt der Durchschnitt der Klassenarbeit bei einer 3,5. Der Unterschied ist jedoch: In Klasse A kamen die Noten 1, 2, 3, 4, 5, 6 alle jeweils 5 mal vor; in der Klasse B haben alle 30 Schüler eine 3,5 geschrieben.

Der Durchschnitt der Klassen ist gleich, doch die Abweichung der einzelnen Noten vom Durchschnitt ist unterschiedlich. Das beschreibt die Standardabweichung und du kannst an diesem Beispiel auch feststellen, wie aussagekräftig die Standardabweichung sein kann.

Die Standardabweichung für Klasse B beträgt 0, während diese bei der Klasse A wesentlich höher ist. Also ist die Standardabweichung eine Maßzahl für die durchschnittliche Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.

Definition der Standardabweichung

Definition
Die Standardabweichung beschreibt, wie stark die Streuung der Werte um den Mittelwert ist: \( \sigma_X = \sqrt {var(X)} \)

Standardabweichung berechnen

Vorgehensweise:

  1. Arithmetisches Mittel (also den Durchschnitt)\( \overline{x} =\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum _{i=1}^{n} x_i \) berechnen (du teilst die Summe aller Werte durch die Anzahl)
  2. Varianz (also die mittlere quadratische Abweichung der Ergebnisse um ihren Mittelwert) \( var(X) = \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (\overline{x} – x_i)^2 \) berechnen
  3. Standardabweichung (= Wurzel aus der Varianz) \( \sigma_X = \sqrt{var(X)} \) berechnen

Beispiele

1. Beispiel: Diskrete Verteilung

Berechnen wir doch gleich die Standardabweichung der Noten aus Klasse A von dem Beispiel aus der Einführung.

  1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen
\( \overline{x} =\frac{1}{n} \cdot  \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i  \\ = \frac{5\cdot1 + 5\cdot 2 + 5\cdot 3 + 5\cdot 4 + 5\cdot 5 + 5\cdot 6 }{30} \\ =\frac{105}{30} \\ = 3,5 \)
  1. Schritt: Varianz berechnen
\( var(X) = \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (\overline{x} – x_i)^2 \\ = \frac{5\cdot(3,5-1)^2+ 5\cdot(3,5-2)^2+ 5\cdot(3,5-3)^2+ 5\cdot(3,5-4)^2+ 5\cdot(3,5-5)^2+ 5\cdot(3,5-6)^2}{30} \\ = \frac{31,25+11,25+1,23+1,25+11,25+31,25}{30} \\ = \frac{87,5}{30} \\ = 2,9 \)

3. Schritt: Standardabweichung berechnen

\( \sigma = \sqrt{var(X)} = \sqrt{2,9} \\ = 1,7 \)

Das heißt, die Standardabweichung der Noten vom Durchschnitt ist 1,7.

2. Beispiel: Stetige Verteilung

Als Beispiel für stetige Verteilungen betrachten wir die Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit Mittelwert µ = 0 und verschiedene Werte für die Varianz \( \sigma^2 \)

Dichtefunktionen der Normalverteilung

Um die Standardabweichungen zu bestimmen, musst du jetzt einfach nur die Wurzel aus der gegebenen Varianz ziehen:

Die Standardabweichung zu der Varianz \( \sigma^2 = 0,2 \) ist \( \sigma = 0,45 \).

Die Standardabweichung zu der Varianz \( \sigma^2 = 1 \) ist \( \sigma = 1 \).

Die Standardabweichung zu der Varianz \( \sigma^2 = 5 \) ist \( \sigma = 2,24 \).

Und die Standardabweichung zu der Varianz \( \sigma^2 = 0,5 \) ist \( \sigma = 0,71 \).

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Berechnung der Standardabweichung mit Lösungen für dich.

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die Standardabweichung folgender diskreter Verteilungen:

  1. Sarah trainiert ihre Ausdauer und misst folgende Laufzeiten:
Tag 1 2 3 4 5
Minuten 10 9 8 7 6

  1. Ihre Freundin Anna hat folgende Zeiten gemessen:
Tag 1 2 3 4 5
Minuten 15 12 13 10 8

  1. Tom übt Weitwurf. Bei allen 5 Würfen hat er die Weite 15 m erreicht.

4.5.6.:

Poisson-Verteilung

Tipp: Das sind Poisson-Verteilungen mit Varianz = \( \lambda \).

Berechne die Standardabweichung folgender Normalverteilungen:

7. 8. 9. 10.:

Normalverteilung

Lösungen
  1. \( \sigma =1,41\)
  2. \( \sigma = 2,42\)
  3. \(  \sigma = 0 \)
  4. rot: \(\sigma = 1 \)
  5. grün: \(\sigma = 2,24 \)
  6. blau: \(\sigma = 3 \)
  7. blau: \(\sigma = 0,45\)
  8. rot: \(\sigma =1\)
  9. gelb: \(\sigma =2,24\)
  10. grün: \(\sigma =0,71\)
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