Steigung berechnen

Kapitel aktualisiert am 10.03.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Steigung berechnen als Teil der Funktionen im Bereich der Analysis. Wir erklären dir, was wie man die Steigung einer Funktion aus einem Graphen, aus 2 gegebenen Punkten und aus dem Steigungswinkel berechnet, geben dir Beispiele und anschließend Aufgaben zum Lernen mit Lösungen.

Grundlegendes zur Steigung

Unter der Steigung einer Gerade versteht man ein Maß dafür, wie steil der Anstieg dieser Geraden verläuft.

Haben wir eine allgemeine linearen Funktion vor uns, entspricht ihr Graph genau einer solchen Geraden.

Diese können wir in der Standardform für lineare Funktionen schreiben als:

Allgemeine Form einer Geraden
\( f(x)= mx+ b \)

In dieser Schreibweise ist \( m \) genau die Steigung der Gerade.

Aus dem Alltag kennst Steigungsangaben beispielsweise, wenn du im Straßenverkehr an einen besonders steilen Berg gelangst.

Dann siehst du daneben ein Schild, was darauf hinweist, wie steil die Steigung des Anstieges in Prozent ist.

Diese Prozentangabe ist eine mögliche Variante, um eine Steigung auszudrücken. Sie hängt eng mit der Angabe eines Steigungswinkels zusammen.

Aus der Angabe der Steigung in Prozent kannst du die Steigung ausrechnen.

Du kannst die Steigung aber auch berechnen, wenn du nur den Graph der Gerade gegeben hast, ähnlich wie du aus einem Foto der Straße mit dem richtigen Maßstab die Steigung ausmessen kannst.

Außerdem kannst du aus 2 gegebenen Punkten den Anstieg berechnen.

Diese unterschiedlichen Verfahren stellen wir dir nun genauer vor.

Steigung berechnen (2 Punkte gegeben)

Die Steigung lässt sich ausrechnen, wenn du 2 Punkte gegeben hast, durch die die Gerade verläuft.

Man kann die Steigung auch als Angabe interpretieren, inwieweit sich der y-Wert der Funktion ändert, wenn sich der x-Wert der Funktion ändert.

Dafür musst du also den Höhenunterschied der Punkte in ein Verhältnis zu ihrer Entfernung setzen, das heißt du musst das Verhältnis

\( m=\frac{\text{Längenunterschied}}{\text{Höhenunterschied}} \) berechnen.

Genauer gesagt wendest du dafür den sogenannten Differenzenquotienten an.

Dieser wird beispielsweise auch dazu benutzt, die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, da die Ableitung im Endeffekt nichts anderes ist als der Verlauf der Steigung einer Funktion.

Da die Steigung der Tangenten und die Ableitung einer Geraden an jedem Punkt der Gerade gleich ist und genau der Steigung der Geraden entspricht, kannst du mit dem Differenzenquotienten also auch die Steigung der Geraden bestimmen.

Steigungsformel
\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}. \)

Das kommt in dieser Steigungsformel deutlich zum Ausdruck.

Für zwei Punkte \( P_1=(x_1|y_1) \) und \( P_2=(x_2|y_2) \) setzt du also einfach die vier Werte ein und erhälst direkt die gesuchte Steigung \( m \).

Beispiel

Wir haben die zwei Punkte \( P_1=(1|4) \) und \( P_2=(-2|10) \) gegeben.

Einsetzen liefert die Steigung \( m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{10-4}{-2-1}==\frac{6}{-3}= \; -2 \)

Steigung berechnen (Graph gegeben)

Nun erklären wir dir, wie du die Steigung einer Geraden berechnen kannst, wenn du den Graphen der Geraden vor dir hast.

Das Verfahren ist dabei im Prinzip ganz ähnlich wie, wenn du zwei Punkte gegeben hast, denn du kannst aus dem Graphen einfach zwei Punkte auswählen, um die Steigung abzulesen.

Um die Rechnung zu vereinfachen, wählst du zum Beispiel x-Werte aus, die einen Abstand von 1 zueinander haben. Dann ergibt die Differenz der entsprechenden y-Werte direkt die Steigung der Geraden.

Beispiel

Wir berechnen die Steigung des folgenden Graphen:

Graph: Steigung berechnen

Dafür lesen wir jetzt einfach zwei Punkte aus, zum Beispiel die Punkte (-1|-1) und (1|0), die beide von der blauen Linie geschnitten werden. Für die Steigung gilt damit:

\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-2}{-1}= \; 2 \)

Steigung berechnen (mit Steigungswinkel)

Du kannst die Steigung auch bestimmen, wenn du einen Steigungswinkel angegeben hast.

Dafür kannst du dir ein Dreieck in deinen Graphen eintragen.

Der x-Achsenabschnitt am untere Rand des Dreiecks ist die eine Kathete, der y-Achsenabschnitt am rechten Rand des Dreiecks ist die andere Kathete, und die Gerade bildet die Hypothenuse des Dreiecks.

Die folgende Grafik enthält noch einmal alle notwendigen Informationen zusammengefasst auf einen Blick:

Gerade mit Steigungsdreieck

Du kannst aus diesen Informationen nun rückschließen auf die Steigung m. Denn es ist nun möglich den x-Achsenschnitt und y-Achsenabschnitt über Verwendung der trigonometrischen Funktionen zu bestimmen, und diese anschließend in die Steigungsformel einsetzen.

Diese lauten (wobei h die Hypothenuse ist, die sich aber im Bruch herrauskürzt):

\( \Delta x= \cos(\alpha)\cdot h \\
\Delta y= \sin (\alpha) \cdot h \\\)

Wenn du nun wieder die beiden durcheinander teilst, kürzt sich die Hypothenuse, und du erhälst insgesamt direkt die Steigung.

\( m=\frac{\sin (\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan (\alpha) \)

Beispiel

Der Steigungswinkel beträgt \( \alpha= 45 ^\circ \). Wie lautet die Steigung?

Antwort: \( m= \tan (\alpha)= \tan (45^\circ)=1 \).

Aufgaben

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Steigung berechnen mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Berechne die Steigung von folgendem Graphen (als Übung ist es hilfreich, den Graphen erst zu zeichnen und dann m bestimmen. Natürlich könntest du m in dieser Schreibweise auch direkt abzulesen):

  1. \(f(x)=2x+3\)
  2. \(f(x)=x \)
  3. \(f(x)=-3x+1 \)
  4. \(f(x)=0,5x+1 \)
  5. Berechne die Steigung für eine Gerade durch folgende Punkte:

  6. \(P_1=(0|0) ; , \; P_2=(2|1) \)
  7. \(P_1=(2|0)  \, , \,  P_2=(4|-4) \)
  8. \(P_1=(10|9) \,  , \, P_2=(11|9) \)
  9. Berechne die Steigung für folgende Steigungswinkel:

  10. \(\alpha= 30^\circ\)
  11. \(\alpha= 120 ^\circ\)
  12. \(\alpha= 60^\circ \)

Lösungen

Lösungen
  1. \(m=2 \)
  2. \( m=1 \)
  3. \( m=\, -3 \)
  4. \( m=0,5 \)
  5. \(m=0,5 \)
  6. \( m=\,-2 \)
  7. \( m=0\)
  8. \( m=0,547\)
  9. \( m=-1,73\)
  10. \( m=1,73\)
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Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

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