Trapez – Flächeninhalt & Umfang berechnen

Kapitel aktualisiert am 29.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Trapez als Teil der geometrischen Figuren im Bereich der Geometrie. Wir zeigen dir die Eigenschaften von einem Trapez, wie du dessen Flächeninhalt und Umfang berechnest, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Eigenschaften eines Trapezes

Was ein Viereck ist, weißt du bereits. Es gibt besondere Arten von Vierecken, wie zum Beispiel Rechtecke, Quadrate, Rauten und Parallelogramme, die bestimmte Eigenschaften aufweisen. Ein weiteres spezielles Viereck ist das Trapez.

Definition
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende (nicht gleich lange) Seiten parallel zueinander sind.

Höhe und Mittelparallele eines Trapezes

Höhe h: Die Höhe h ist hierbei der Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten.

Berechnung: Mit dem Satz von Pythagoras oder den Winkelfunktionen sinus und cosinus.

Mittelparallele m: Die Mittelparallele m verläuft (ebenfalls parallel) genau in der Mitte der beiden Parallelen.

Berechnung: \( m = \frac{1}{2} (a+c) \)

Flächeninhalt eines Trapezes berechnen

Genauso wie du den Flächeninhalt von verschiedenen geometrischen Figuren berechnest, kannst du auch den Flächeninhalt von einem Trapez berechnen. Für die Berechnung der Trapezfläche verwendest du folgende Formel:

Flächeninhalt Trapez:
\( A = m \cdot h  \)

Umfang eines Trapezes berechnen

Den Flächeninhalt von einem Trapez kannst du ebenfalls ganz einfach berechnen. Dazu musst du alle Seitenlängen addieren.

Umfang Trapez:
\( U = a+b+c+d  \)

Beispiele

1. Beispiel:

Um den Umfang des Trapezes zu bestimmen, musst du die Seiten a, b, c und d addieren:

Umfang: \( U = a+b+c+d \\= 5 cm + 3 cm + 4 cm + 2 cm = 14 cm \)

Der Umfang U des Trapzes beträgt also 14 cm.

Für den Flächeninhalt musst du die Formel \( A = m \cdot h \) anwenden. Dazu musst du zuerst die Länge der Mittelparallelen m und der Höhe h berechnen:

Mittelparallele: \( m = \frac{1}{2} \cdot (a+c) = \frac{1}{2} \cdot (5 cm + 4 cm) = \frac{1}{2} \cdot 9 cm = 4,5 cm \)

Um die Höhe zu ermitteln, schaust du dir das Dreieck an, welches entsteht, wenn du direkt vom Eckpunkt der Seite c aus die Höhe einzeichnest. Dazu nutzen wir den Winkel alpha und die Sinus-Funktion, wobei die Seitenlänge d die Hypotenuse ist und die gesuchte Höhe der Gegenkatheten entspricht:

Höhe: \( sin( \alpha) = \frac{GK}{Hypothenuse} \\ sin(30°) = \frac{h}{d} \\ 0,5 = \frac{h}{4 cm}   | \cdot 4 cm \\ 2 cm = h \\ \)

Nun kannst du die Mittelparallele m und die Höhe h in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen:

Flächeninhalt: \( A = m \cdot h = 4,5 cm \cdot 2 cm = 9 cm^2 \)

2. Beispiel:

Umfang: \( U = a + b + c + d \\=  7 cm + 4 cm + 5 cm + 4 cm = 20 cm \)

Um den Flächeninhalt zu bestimmen, brauchst du wieder die Höhe h und die Mittelparallele m:

Mittelparallele: \( m = \frac{1}{2} \cdot (a+c) = \frac{1}{2} \cdot (7 cm+5cm) = \frac{1}{2} \cdot 12 cm = 6 cm \)

Höhe: Da dieses Trapez gleichschenklig ist (die beiden nicht-parallelen Seiten b und c sind gleich lang), kannst du die Höhe mit dem Satz des Pythagoras ermitteln. Dazu schaust du dir das Dreieck an, welches entsteht, wenn du direkt vom Eckpunkt der Seite c aus die Höhe einzeichnest.

Die Differenz der beide Seiten a = 7 cm und c = 5 cm beträgt 2 cm, also ist Seite a 2 cm länger als Seite c. Da dieses Trapez gleichschenklig ist, ist die Seite a oben 1 cm und unten 1 cm länger als die Seite c. Mit diesem Wissen kannst du den Satz des Pythagoras anwenden:

Satz des Pythagoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Die Seite d entspricht hierbei der Hypotenuse c, eine der Katheten sind die 1 cm von der Seitenlänge a und nach der anderen Kathete musst du auflösen, da sie der Höhe h entspricht. Setzen wir das ganze ein, erhältst du:

\( (1cm)^2 + h^2 = (4cm)^2 \\ 1cm^2 + h^2 = 16cm^2 | -1cm^2 \\ h^2 = 15cm^2 | \sqrt{} \\ h=3,87cm \\ \)

Also beträgt die Höhe h 3,87 cm und gemeinsam mit der Mittelparallelen m kannst du nun den Flächeninhalt berechnen:

Flächeninhalt: \( A = m \cdot h = 6 cm \cdot 3,87 cm = 23,24 cm^2 \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zu Trapezen mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne den Umfang der folgenden Trapeze:

  1. \( a = 2cm, b = 2,5 cm, c = 6 cm, d = 5 cm \)
  2. \( a = 3,5cm, b = 5 cm, c = 7 cm, d = 5,5 cm \)
  3. \( a = 4cm, b = 15 cm, c = 9 cm, d = 3 cm \)
  4. \( a = 1cm, b = 2 cm, c = 8 cm, d = 2 cm \)
  5. \( a = 10cm, b = 1,5 cm, c = 4,5 cm, d = 1 cm \)

Berechne den Flächeninhalt der folgenden Trapeze:

  1. \( a = 5cm, c = 3cm, d = 1cm, \alpha = 33° \)
  2. \( a = 9cm, c = 4,5cm, d = 3cm, \alpha = 49°   \)
  3. \( a = 10cm, b = 5 cm, c = 6 cm, d = 5 cm \)
  4. \( a = 5cm, b = 4 cm, c = 8 cm, d = 4 cm \)
  5. \( a = 8cm, b = 3,5 cm, c = 7 cm, d = 3,5 cm \)
Lösungen
  1. \( U = 15,5cm \)
  2. \( U= 21cm \)
  3. \( U= 31cm \)
  4. \( U=13cm \)
  5. \( U= 30cm \)
  6. \( A= 2,2 cm^2(h=0,55cm, m=4cm) \)
  7. \( A= 15,28 cm^2(h=2,26cm, m=6,75cm) \)
  8. \( A= 36,67 cm^2(h=4,58cm, m=8cm) \)
  9. \( A= 24,1 cm^2(h=3,71cm, m=6,5cm) \)
  10. \( A= 25,98 cm^2(h=3,46cm, m=7,5cm) \)  
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