Umkehrfunktion

Kapitel aktualisiert am 14.01.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Umkehrfunktion als Teil der Differentialrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, was eine Umkehrfunktion ist, was die Umkehrfunktionen gängiger Funktionen sind sowie veranschaulichende Beispiele und Aufgaben mit Lösungen.

Funktionen im Alltag

Eine Funktion lässt sich in der Mathematik als eine Zuordnung von einem Element a auf ein anderes Element b verstehen. Das klingt erst einmal abstrakt, taucht im Alltag aber andauernd auf.

Bist du zum Beispiel im Supermarkt und kaufst einen Apfel a, dann wird der Preis b deinem Apfel von der Kasse zugeordnet. Die Funktion \( f: A\rightarrow B \; \; f(a)=b \) kann man als Abbildung von dem Raum A der Produkte in den Raum B der Preise verstehen.

In der Mathematik spielen Abbildungen eine wichtige Rolle, weil sie uns helfen, Elemente verschiedener Räume miteinander in Verbindung zu bringen.

Am häufigsten begegnen dir wahrscheinlich Abbildungen zwischen den reellen Zahlen, zum Beispiel bei quadratischen Funktionen \( f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \; f(x)=ax^2+bx+c=y \).

Wie du aber am Beispiel des Supermarktes siehst, können eine Vielzahl an möglichen Objekten mit Abbildungen verknüpft werden.

Umkehrfunktion
Eine Umkehrfunktion ist die Umkehrung einer Funktion, sprich die Abbildung \( f^{-1}: B\rightarrow A \; \; f^{-1}(b)=a \).

Wann diese existiert und wie sie sich für gängige Funktionen bilden lässt, erklären wir dir jetzt.

Grundlagen zur Umkehrfunktion

Die Grundvoraussetzung für die Existenz einer Umkehrfunktion ist die Eindeutigkeit der Zuordnung, die durch die Funktion f(x) gegeben ist. Dann ist das Kriterium der Invertierbarkeit erfüllt und du kannst eine Umkehrfunktion zu deiner Funktion finden.

Kehren wir zum Beispiel des Supermarktes zurück. Stell dir vor, du schaust nach dem Einkauf deinen Kassenzettel an. Auf diesem stehen nur die Preise, nicht aber die Namen der Produkte, die dazugehören. Nun willst du herausfinden, was du alles gekauft hast.

Das ist nur dann möglich, wenn du aus allen Preisen der Produkte eindeutig darauf schließen kannst, um welches Produkt es sich handelt. Kosten ein Apfel und eine Schokoladentafel beide genau 0,80 €, dann weißt du nicht mehr, welcher Preis zu welchem Produkt gehört.

Ein anderes Problem tritt auf, wenn ein Preis auf deinem Kassenzettel steht, zu dem es überhaupt kein Produkt gibt. Dann spricht man davon, dass ein Element b aus B kein Urbild in A hat, also kein Element, für das gilt f(a)=b.

In diesen Fällen ist deine Funktion nicht mehr invertierbar. Das heißt, es lässt sich keine Umkehrfunktion zu deiner Funktion finden.

Invertierbarkeit
Zusammenfassend lässt sich sagen: existiert für alle Elemente in B genau ein Urbild in A (gibt es also für alle Preise genau ein Produkt, das dem jeweiligen Preis entspricht), dann ist die Funktion \( f: A\rightarrow B  \;\; f(a)=b \) invertierbar.

In der höheren Mathematik spricht man dann übrigens davon, dass die Funktion f bijektiv ist.

Bilden von Umkehrfunktionen

Wir zeigen dir jetzt, wie du für einige der gängigsten Funktionen Umkehrfunktionen finden kannst.

Lineare Funktionen

Eine allgemeine lineare Funktion ist gegeben durch \( f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \;\; f(x)=ax+b=y \). Zuerst einmal musst du den Funktionswert \( f(x) \) als neue Variable \( y \) auffassen.

Die Umkehrfunktion erhältst du durch ein Umstellen der Gleichung: \(  ax+b=y  \rightarrow ax=y-b  \rightarrow  x=\frac{y-b}{a} \).

Ist der Zahlenwert y gegeben, kannst du den zugehörigen x-Wert direkt bestimmen. Damit gilt \(  f^{-1}(y) =x=\frac{y-b}{a} \).

Quadratische Funktionen

Bei quadratischen Funktionen ist das Finden der Umkehrfunktion nicht mehr so einfach. Wie oben beschrieben, ist eine der Grundvoraussetzungen für die Existenz einer Umkehrfunktion die Eindeutigkeit der Zuordnung zwischen Urbild und Bild.

Warum das bei quadratischen Funktionen nicht mehr der Fall ist, kannst du dir anhand eines Graphen verdeutlichen:

Quadratische Funktion: Graph

Graph einer Quadratischen Funktion

Der Graph auf der linken Seite der Null ist das Spiegelbild des Graphes auf der rechten Seite der y-Achse. Das bedeutet, dass für den ganzen Graphen \( f(x)=f(-x) \) gilt.

Das widerspricht aber unserer Bedingung für die Invertierbarkeit, da damit zu jedem y-Wert (zum Beispiel zu der 1) zwei verschiedene x-Werte existieren (zum Beispiel -1 und 1). Diese Blickweise lässt dich graphisch einsehen, ob eine Funktion wahrscheinlich eine Umkehrfunktion hat oder nicht.

Mit einem Trick kannst du für quadratische Funktionen trotzdem eine Umkehrfunktion bestimmen: du schneidest einfach eine Hälfte deines Graphen ab, wodurch du eine eindeutige Zuordnung zwischen x-Werten und y-Werten erhältst.

Für den dadurch verkleinerten Definitionsbereich ist damit das Kriterium der Invertierbarkeit wieder erfüllbar. Mathematisch ausgedrückt wird deine Funktion dann beschrieben als \( f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \;  f(x)=x^2 \).

Ein Umformen dieser Gleichung führt zu \( f(x)=y=x^2 \rightarrow x=\sqrt{y} \). Normalerweise gibt es für diese Wurzel zwei Lösungen (eine positive und eine negative). Da wir uns aber auf die positiven reellen Zahlen beschränkt haben, fällt die negative Lösung weg und die Umkehrfunktion ist eindeutig bestimmt.

Für allgemeine quadratische Funktionen musst du in der Regel eine quadratische Ergänzung durchführen, bevor du die Wurzel ziehen kannst. Wie genau das passiert, zeigen wir dir in den Beispielen.

e-Funktionen

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist so wichtig, dass sie einen eigenen Namen erhalten hat: man nennt sie den natürlichen Logarithmus \( f(x)=\ln(x) \).

Ausgehend von einer e-Funktion \(f(x)=e^x=y\) willst du wieder herausfinden, für welches x du dein jeweiliges y erhältst. Das ist mit \( x=f^{-1}(y)=\ln(y) \) direkt erfüllt.

Die Tatsache, dass die e-Funktion eine Umkehrfunktion hat, kannst du dir wieder graphisch verdeutlichen. Jeder Punkt in y-Richtung taucht im Graphen nur einmal auf.

Du musst aber aufpassen, welche y-Werte du in deine Umkehrfunktion einfügst. Da deine Exponentialfunktion nie negativ werden kann, ist der Logarithmus für negative Zahlen nicht definiert.

Allgemeine Exponentialfunktionen

Für allgemeine Exponentialfunktionen gilt im Prinzip das gleiche wie für e-Funktionen, nur musst du den Logarithmus der jeweiligen Basis anpassen.

Konkret bedeutet das, dass für eine beliebige Zahl \(f(x)=n^x=y\) die Umkehrfunktion gegeben ist durch \( x=f^{-1}(y)=\log_n(y) \).

Beispiele

Lineare Funktionen

Wir gehen aus von der linearen Funktion, gegeben durch \( f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} f(x)=3x+2=y \). Ein Umstellen der Gleichung liefert \(  3x+2=y  \rightarrow 3x=y-2  \rightarrow  x=\frac{y-2}{3} \). Damit gilt \(  f^{-1}(y) =x=\frac{y-2}{3} \).

Quadratische Funktionen

Wir gehen von einer etwas komplizierteren quadratischen Funktion aus: \( f:  \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\; \; f(x)=x^2+6x-1=y \).

In diesem Fall musst du eine quadratische Ergänzung durchführen, damit du später die Wurzel ziehen kannst. Falls du nicht mehr genau weißt, was das ist, haben wir einen eigenen Artikel, in dem quadratische Ergänzungen erklärt werden.

Ein Umformen der Gleichung ergibt \( y=x^2+6x+3^2-3^2-1 \). Daraus folgt \( y=(x+3)^2-3^2-1=(x+3)^2-10 \).

Um die Funktion zu invertieren, müssen wir wieder den Definitionsbereich auf die positive Hälfte des Graphen einschränken.

Beachte dabei den Verlauf der Spiegelachse: diese schneidet den Graphen im Scheitelpunkt. Im oberen Graph ist dieser auf der y-Achse. Der Scheitelpunkt kann aber auch im Raum verschoben sein.

Nach der quadratischen Ergänzung ist die Funktion glücklicherweise schon in Scheitelpunktform, wodurch wir die x-Koordinate des Scheitelpunktes direkt auslesen können: \( x=-3 \).

Einfacher ausgedrückt ist der Graph einfach um 3 nach links verschoben, da du zu jedem x, welches du in deinen Graphen steckst, erst einmal drei dazuaddierst.

Damit gilt insgesamt:

\(  f: (-3, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\; \; f(x)=x^2+6x-1=y \\
\rightarrow  y+10=(x+3)^2 \\
\rightarrow \sqrt{y+10}=x+3 \\
\rightarrow \sqrt{y+10}-3=x=f^{-1}(y) \).

e-Funktionen

Als letztes Beispiel betrachten wir die e-Funktion \(f(x)=e^{2x}=y \). Die Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten ergibt \( 2x=ln(y) \rightarrow x=f^{-1}(y)=\frac{\ln(y)}{2} \), wodurch direkt die Umkehrfunktion bestimmt ist.

Aufgaben & Lösungen

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Umkehrfunktion mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Bilde die Umkehrfunktion folgender Funktionen:

\( 1. \; f(x)=x+7 \\ 2.\; f(x)=x-2\\ 3.\; f(x)=3x-5\\  4.\; f(x)=10x-10 \\  5. f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \; f(x)=x^2+2 \\ 6.\;  f(x)=3x^2+5 \\ 7. f: (-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \; f(x)= 3x^2+6x+9 \\ 8. \; f(x)= e^x \cdot e^x \\ 9. \; f(x)= 2 \cdot e^{2x} \\ 10. \;   f(x)=e^{3x}   \)
Lösungen
\( 1. \; f^{-1}(y)=y-7 \\ 2.\;  f^{-1}(y)=y+2  \\ 3.\; f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3} \\  4. f^{-1}(y)=\frac{y+10}{10} \\ 5. \;  f^{-1}(y)=\sqrt{y-2}  \\ 6.\; \textit{nicht definiert} \\
7. \;  f^{-1}(y)=\sqrt{y-6}-1 \\ 8. \; f^{-1}(y)=\ln(y)/2 \\ 9. \; f^{-1}(y)=\ln(y/2)/2 \\ 10. \;  f^{-1}(y)=\ln(y)/3  \)
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Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

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