Varianz berechnen

Kapitel aktualisiert am 02.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Varianz als Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Bereich der Stochastik. Wir zeigen dir, in welchen Fällen du die Varianz verwendest, wie du diese berechnest, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Grundlegendes zur Varianz

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik besitzen Wahrscheinlichkeitsverteilungen charakteristische Werte, die uns den Umgang mit den zum Teil stark komplexen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsdichten erleichtern. Du kennst bestimmt zum Beispiel den Erwartungswert oder die Standardabweichung – die Alltags-Werkzeuge eines jeden Statistikers.

Die Varianz gehört genauso zu den Standardwerkzeugen eines jeden Statistikers. Wir erklären dir in diesem Abschnitt, was die Varianz ist und wie du sie berechnest.

Stelle dir folgende Situation vor: In den Klassen A und B sind jeweils 30 Schüler. In beiden Klassen liegt der Durchschnitt der Klassenarbeit bei einer 3,5. Der Unterschied ist jedoch: In Klasse A kamen die Noten 1, 2, 3, 4, 5, 6 alle jeweils 5 mal vor; in der Klasse B haben alle 30 Schüler eine 3,5 geschrieben.

Der Durchschnitt der Klassen ist gleich, doch die Abweichung der einzelnen Noten vom Durchschnitt ist unterschiedlich. Das beschreibt die Varianz und du kannst an diesem Beispiel auch feststellen, wie aussagekräftig die Varianz sein kann.

Die Varianz für Klasse B beträgt 0, während diese bei der Klasse A wesentlich höher ist. Also ist die Varianz eine Maßzahl für die durchschnittliche Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.

Definition der Varianz

Definition
Die Varianz gibt die mittlere quadratische Abweichung der Ergebnisse um ihren Mittelwert an: \( var(X) = \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (\overline{x} – x_i)^2  = \frac{(\overline{x} – x_1)^2+…+(\overline{x} – x_n)^2}{n}  \)

Varianz berechnen

Vorgehensweise:

  1. Arithmetisches Mittel (also den Durchschnitt) \( \overline{x} =\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum _{i=1}^{n} x_i \) berechnen (du teilst die Summe aller Werte durch die Anzahl)
  2. Varianz (also die mittlere quadratische Abweichung der Ergebnisse um ihren Mittelwert) \( var(X) = \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (\overline{x} – x_i)^2 \) berechnen, indem du alle Ergebnisse und das arithmetische Mittel in die Varianz-Formel einsetzt.

Du kannst die Varianz auch empirische Varianz oder Stichprobenvarianz nennen, da du einzelne Stichproben verwendest, um deren mittlere quadratische Abweichung um ihren Mittelwert zu berechnen.

Beispiele

1. Beispiel:

Berechnen wir doch gleich die Varianz der Noten aus Klasse A von dem Beispiel aus der Einführung: In Klasse A kamen die Noten 1, 2, 3, 4, 5, 6 alle jeweils 5 mal vor.

Varianz berechnen: Beispiel mit Noten

1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen

\( \overline{x} =\frac{1}{n} \cdot  \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i  \\ = \frac{5\cdot1 + 5\cdot 2 + 5\cdot 3 + 5\cdot 4 + 5\cdot 5 + 5\cdot 6 }{30} \\ =\frac{105}{30} \\ = 3,5 \\ \)

2. Schritt: Varianz berechnen

\( var(X) = \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (\overline{x} – x_i)^2 \\ = \frac{5\cdot(3,5-1)^2+ 5\cdot(3,5-2)^2+ 5\cdot(3,5-3)^2+ 5\cdot(3,5-4)^2+ 5\cdot(3,5-5)^2+ 5\cdot(3,5-6)^2}{30} \\ = \frac{31,25+11,25+1,23+1,25+11,25+31,25}{30} \\ = \frac{87,5}{30} \\ = 2,9 \)
2. Beispiel:
Du übst den 100 m Sprint und schreibst dabei jeden Tag deine Zeiten auf:

  • 15 Sekunden
  • 17 Sekunden
  • 16 Sekunden
  • 14 Sekunden
  • 13 Sekunden

Nun möchtest du gerne wissen, wie hoch die Varianz deiner einzelnen Laufzeiten von deiner Durchschnittszeit ist. Dazu gehst du folgendermaßen vor:

1. Schritt: Arithmetisches Mittel bestimmen

\( \overline{x} =\frac{1}{n} \cdot  \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i  \\ = \frac{15 sek+17 sek+16 sek+14 sek+13 sek}{5} \\ =\frac{75 sek}{5} \\ = 15 sek \\ \)

Das heißt, du brauchst durchschnittlich 15 sek für den 100 m Lauf.

2. Schritt: Varianz berechnen

\( var(X) = \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (\overline{x} – x_i)^2 \\ = \frac{(15 sek – 15 sek)^2 + (15 sek – 17 sek)^2+(15 sek – 16 sek)^2+(15 sek – 14 sek)^2+(15 sek – 13 sek)^2}{5} \\ = \frac{0sek^2+4sek^2+1sek^2+1sek^2+4sek^2}{5} \\ = \frac{10sek^2}{5} \\ = 2 sek^2 \\  \)

Die Varianz beträgt also 2 Quadratsekunden.

Wenn du jetzt die Wurzel ziehen würdest, hättest du wieder Sekunden statt Quadratsekunden als Einheit und genau die Wurzel aus der Varianz beschreibt die Standardabweichung.

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Berechnung der Varianz mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne die Varianz folgender diskreter Verteilungen:

  1. Sarah trainiert ihre Ausdauer und misst folgende Laufzeiten:
Tag n 1 2 3 4 5
Minuten x 10 9 8 7 6
  1. Ihre Freundin Anna hat folgende Zeiten gemessen:
Tag n 1 2 3 4 5
Minuten x 15 12 13 10 8
  1. Tom übt Weitwurf. Bei allen 5 Würfen hat er die Weite 15 m erreicht.
  1. Tobias übt Weitwurf und hat 3 mal die Weite 10 m und 3 mal die Weite 16 m erreicht.
  1. Zara verkauft täglich Äpfel. Das sind ihre Verkaufszahlen innerhalb einer Woche:
Tag n Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag
Anzahl x 30 20 25 27 35 52
  1. Tina verkauft täglich Kaffee. Das sind ihre Verkaufszahlen innerhalb einer Woche:
Tag n Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag
Anzahl x 50 51 48 49 50 20
  1. Varianz berechnen – Beispiel 1

  2. Varianz berechnen – Beispiel 2

  3. Varianz berechnen – Beispiel 3

  4. Varianz berechnen – Beispiel 4
Lösungen
  1. \( var(x) = 2 \)
  2. \( var(x) = 5,86 \)
  3. \( var(x) = 0 \)
  4. \( var(x) = 9 \)
  5. \( var(x) = 105 \)
  6. \( var(x) = 123 \)
  7. \( var(x) = 0,89 \)
  8. \( var(x) = 2,24 \)
  9. \( var(x) = 3,89 \)
  10. \( var(x) = 2,96 \)  
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