Vergleichsoperatoren

Kapitel aktualisiert am 03.10.2019

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Vergleichsoperatoren als Teil der Operatoren im Bereich der Analysis. Wir erklären dir, welche verschiedenen Einheiten es gibt, wie du Maßeinheiten umrechnest, geben dir Beispiele und anschließend Aufgaben zum Lernen mit Lösungen.

Grundlagen zu den Vergleichsoperatoren

In der Mathematik fasst man oft nützliche Konzepte aus dem Alltag in einer formalen Sprache zusammen, um sie auf mathematische Objekte anwenden zu können.

Menschen vergleichen gerne Dinge miteinander: schon Kleinkinder fangen frühzeitig an, Gegenstände miteinander zu vergleichen.

Vergleiche anzustellen ist zum Beispiel auch die Grundlage für einen funktionierenden Handel, denn wir können nur mit Gegenständen handeln, indem wir sie miteinander vergleichen.

Durch den Vergleich können wir einen Preis festlegen. So wissen wir, ob etwas mehr oder weniger Wert ist als ein anderer Gegenstand.

Alle Vergleichsoperatoren, die wir hier vorstellen, sind dir also bestimmt seit langer Zeit vertraut. Es kann nur manchmal schwierig scheinen, diese in einem mathematischen Zusammenhang anzuwenden.

Das muss es aber nicht, wie wir dir in folgendem Artikel erläutern werden.

Gleich und ungleich

Der Gleich-Operator, auch Ist-Gleich-Zeichen genannt, tritt immer in Gleichungen auf, die in der Mathematik die ganze Zeit vorkommen.

Ein simples Beispiel ist die Gleichung \( 4=4 \).

Bedingung für das Gleichzeichen ist die Gleichheit beider Seiten des Ausdrucks.

Das Symbol stammt übrigens vom Mathematiker Robert Recorde und ist dadurch inspiriert, dass beide Striche des Gleichzeichens selbst einander gleich sind.

Dabei muss jedoch nicht auf beiden Seiten genau das gleiche stehen, die Seiten müssen nur im mathematischen Sinne gleich sein.

Zum Beispiel ist auch die Gleichung \( (1+\frac{5}{2}-1,5)\cdot 2=4 \) richtig, da sich die linke Seite der Gleichung weiter verkürzen lässt.

Ein Gleichzeichen kann für ganz unterschiedliche mathematische Objekte gelten.

In der Physik gibt es einige berühmte Gleichungen, die ganz anders aussehen können, so wie die Schrödinger-Gleichung: \( \mathrm i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = – \frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi + V \psi \).

Du wirst mit den Zeichen, die hier auftauchen, wahrscheinlich nicht viel anfangen können.

Trotzdem kannst du hier eine Eigenschaft des Gleichzeichens einsehen: denn die Variablen auf beiden Seiten der Gleichung müssen so eingesetzt werden, dass das Gleichzeichen seine Richtigkeit behält.

Dadurch lässt sich die Gleichung lösen und mit der Lösung kann man sehr viele interessante Dinge in der Welt erklären.

Das Gegenteil des Gleichheitsoperators ist der Ungleichheitsoperator, der ganz einfach geschrieben als ein durchgestrichenes Gleichzeichen wird:

Zum Beispiel gilt \( 2+3 \neq 4 \).

Größer und kleiner

Falls zwei Dinge nicht gleich sind, können wir manchmal entscheiden, ob eines der beiden größer ist.

Beispielsweise kann ich sagen: „Ich bin größer als Enes“ (Enes ist unser anderer Redakteur). Umgekehrt ist es auch richtig zu sagen: „Enes ist kleiner als ich“.

Dabei müssen wir uns auf eine Größe, die zu vergleichen ist, festlegen. Das kann die Körpergröße sein.

Mathematisch ausdrücken können wir das über das Zeichen \( > \), was für größer steht und das Zeichen \( < \), was für kleiner steht, ausdrücken.

In der Schule hab ich damals gelernt, dass du dir das Zeichen wie einen geöffneten Mund vorstellen kannst, der immer in die Richtung zeigt, wo es mehr zu holen gibt.

Auf Beispiele angewendet gilt dann: \( 5>4 \\ 5 cm < 20cm \).

Größer gleich und kleiner gleich

Es existiert auch noch eine Kombination aus den beiden Operatoren, der größer gleich- und kleiner gleich-Operator.

Diese bedeuten, dass eine Größe entweder größer oder aber gleich der anderen Größe ist, bzw. entweder kleiner oder gleich der anderen Größe.

Wir können den Operator also in beiden Umständen verwenden und das Symbol unterscheidet nicht zwischen den beiden Fällen.

Wir können in die Gleichungen aus vorherigem Beispiel einsetzen:

\( 5 \geq 4 \\ 4 \leq 5\).

Gleichzeitig können wir die beiden Zeichen aber auch wie ein Gleichzeichen verwenden:

\( 4 \geq 4 \\ 4\leq 5\).

Das heißt, im Falle einer Gleichheit sind sogar beide Zeichen möglich:

\( 4 \geq 4 \\ 4 \leq 4\).

Identisch und nicht identisch

Das Gleichzeichen lässt sich noch erweitern, indem wir es mit drei Strichen schreiben. Das bedeutet, dass zwei Objekte identisch sind.

Ein anderer Begriff dafür ist der Ausdruck kongruent. Als Zeichen ergänzen wir das bekannte Gleichzeichen um einem weiteren Querstrich: ≡.

Dieses Zeichen wird in der Mathematik nicht ganz einheitlich eingesetzt. Es ist ähnlich einem Gleichzeichen, aber nicht ganz so stark.

Wir eeden von kongruenten Dreiecken, wenn diese nicht genau gleich groß sind und genau die gleiche Form haben.

In der Logik können wir das Identisch-Zeichen wie einen Folgepfeil in beide Richtungen darstellen: \( <–> \). Das heißt, zwei Aussagen implizieren sich gegenseitig, sind aber nicht genau gleich.

In der Zahlentheorie kann der Operator so etwas wie modular kongruent bedeuten. Dabei geht es darum, dass zwei Zahlen nicht gleich sind, aber nach Teilung durch eine bestimmte Zahl den gleichen Rest haben.

Zum Beispiel können wir die Identität \( 16 ≡ 34 \mod 9 \) aufstellen.

Das heißt, \( 16 \) und \( 34 \) sind nicht die gleiche Zahl, nach Teilung durch \( 9\) gilt aber \( 16/9= 1 \text{ Rest } 7 \) und \( 34/9= 3 \text{ Rest } 7 \) haben sie aber den gleichen Rest.

Die Umkehrung des Identitätszeichens ist wiederum einfach das durchgestrichene Identitätszeichen.

Beispiele

Beispiele

Im Folgenden siehst du noch ein paar Beispiele für die sechs Zeichen, die wir in dem Artikel erklärt haben:

  • \( 30=30 \)
  • \( 28\geq 4 \)
  • \( 3 \leq 3 \)
  • \( 2 <3 \)
  • \( 2 \geq 1 \)
  • \( 4\leq 4 \)
  • \( 6 ≡ 16 \mod 5 \)
  • \( 6 ≡ 21 \mod 15 \)

Aufgaben

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zum Thema Vergleichsoperatoren mit Lösungen für dich:

Aufgaben

Setze alle möglichen Vergleichsoperatoren in die Gleichungen ein:

  1. \( 1  \text{ __ } 1 \)
  2. \( 2  \text{ __ } 1 \)
  3. \( 3  \text{ __ } 4 \)
  4. \( 100  \text{ __ } 101 \)
  5. \( 5  \text{ ___ } 0 \)
  6. \( 0  \text{ __ } -1 \)
  7. \( 0  \text{ __ } 0 \)
  8. \( 4 \text{ __ } 19\mod 3 \)
  9. \( 5  \text{ __ } 5 \)
  10. \( 7 \text{ __ } 21 \mod 7 \)

Lösungen

Lösungen
  1. \(\; =, \geq, \leq \; \)
  2. \(\; \leq, \, < \, \neq \; \)
  3. \( \;\geq, \, > \, \neq \; \)
  4. \( \; \geq, \; \)
  5. \(\; \leq, \, < \, \neq \; \)
  6. \( \;\geq, \, > \, \neq \; \)
  7. \( \; =, \geq, \leq \;\)
  8. \( \;  ≡  \; \)
  9. \( \;=, \geq, \leq \; \)
  10. \( \;  ≡  \; \)
Manuel

Manuel hat in Heidelberg Physik studiert. Dabei konnte er sich davon überzeugen, dass die häufig getroffene Aussage, dass man Mathematik im späteren Leben nicht mehr braucht, ziemlich ungerechtfertigt ist.

Mathematik ist die Sprache der Physik und damit im übertragenen Sinn die Sprache der Natur. Dadurch legt sie faszinierende Zusammenhänge offen und vermittelt eine Denkweise, die auch im Alltag oft sehr hilfreich ist.

In seiner Freizeit macht Manuel Musik, liest viel (von Goethe bis zu Fantasy-Romanen über Oger) und reist gerne durch die Welt.

Pirabel