Winkel berechnen

Kapitel aktualisiert am 19.10.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Winkelberechnung im Bereich der Geometrie. Wir zeigen dir, wie du Winkel verschiedener Figuren berechnest, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörigen Lösungen.

Innenwinkelsumme berechnen

Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Innenwinkel von einer Figur. Wie viele Innenwinkel eine Figur besitzt, hängt von der Anzahl der Ecken ab. Ein Dreieck hat 3 Ecken und somit 3 Innenwinkel, ein Viereck hat 4 Ecken und somit 4 Innenwinkel. Dementsprechend ändern sich natürlich auch die Summen.

N-eck berechnen: Innenwinkelsumme

Du hast bestimmt schon gehört, dass alle Winkel in einem Dreieck immer 180° ergeben. Je nachdem, wie diese 180° auf die 3 Winkel im Dreieck aufgeteilt sind, entstehen verschiedene Dreiecke. Diese haben aber alle noch die Winkelsumme 180°. Analog gilt das auch für Vierecke, Fünfecke, Sechsecke usw…

Die Innenwinkelsumme ist also bei Figuren mit derselben Anzahl an Ecken immer gleich. Wenn du die Anzahl der Ecken n nennst, kannst du mit der folgenden Formel ganz einfach berechnen, bei welchem n-Eck was für eine Innenwinkelsumme herauskommen muss.

Merke: Die Formel zur Innenwinkelsumme eines n-Ecks lautet: \(  (n-2) \cdot 180° \)

Hier haben wir eine Übersicht mit den entsprechenden Innenwinkelsummen für dich:

Innenwinkelsummen

Dreieck: \(  (3-2) \cdot 180° = 180° \)

Viereck: \(  (4-2) \cdot 180° = 360°\)

Fünfeck: \(  (5-2) \cdot 180° = 540°\)

Sechseck: \(  (6-2) \cdot 180° = 720° \)

Dreieck berechnen: Innenwinkelsumme

Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ergibt immer 180°. Wenn ein Winkel fehlt und alle anderen Innenwinkel gegeben sind, kannst du die fehlende Winkelgröße berechnen, indem du von 180° alle gegebenen Innenwinkel abziehst:

Beispiel:

Von 3 Winkeln sind 2 Winkel gegeben, und zwar 45° und 30°. Um die fehlende Winkelgröße zu berechnen, ziehst du die beiden gegebenen Innenwinkel von der Innenwinkelsumme eines Dreiecks ab: \( 180° – 45° – 30° = 105° \)

Die gesuchte Winkelgröße beträgt also 105° .

Viereck berechnen: Innenwinkelsumme

Die Innenwinkelsumme eines Vierecks ergibt immer 360°. Wenn ein Winkel fehlt und alle anderen Innenwinkel gegeben sind, kannst du die fehlende Winkelgröße ganz einfach berechnen, indem du von 360° alle gegebenen Innenwinkel abziehst:

Beispiel:

Von 4 Winkeln sind 3 Winkel gegeben, und zwar 55°, 120° und 65°. Um die fehlende Winkelgröße zu berechnen, ziehst du die gegebenen Innenwinkel von der Innenwinkelsumme eines Vierecks ab: \( 360° – 55° – 120° – 65°  = 120° \)

Die gesuchte Winkelgröße beträgt also 120° .

Fünfeck berechnen: Innenwinkelsumme

Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks ergibt immer 540°. Wenn ein Winkel fehlt und alle anderen Innenwinkel gegeben sind, kannst du die fehlende Winkelgröße ganz einfach berechnen, indem du von 540° alle gegebenen Innenwinkel abziehst:

Beispiel:

Von 5 Winkeln sind 4 Winkel gegeben, und zwar 45°, 110°, 90° und 35°. Um die fehlende Winkelgröße zu berechnen, ziehst du die gegebenen Innenwinkel von der Innenwinkelsumme eines Fünfecks ab: \( 540° – 45° – 110° – 90° – 35° = 260° \)

Die gesuchte Winkelgröße beträgt also 260° .

Sechseck berechnen: Innenwinkelsumme

Die Innenwinkelsumme eines Sechsecks ergibt immer 720°. Wenn ein Winkel fehlt und alle anderen Innenwinkel gegeben sind, kannst du die fehlende Winkelgröße ganz einfach berechnen, indem du von 720° alle gegebenen Innenwinkel abziehst:

Beispiel:

Von 6 Winkeln sind 5 Winkel gegeben, und zwar 115°, 110°, 190°, 80° und 95°. Um die fehlende Winkelgröße zu berechnen, ziehst du die gegebenen Innenwinkel von der Innenwinkelsumme eines Sechsecks ab: \( 720° – 115° – 110° – 190° – 80° – 95° = 130° \)

Die gesuchte Winkelgröße beträgt also 130°.

Rechtwinkliges Dreieck berechnen: Die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens

Nun schauen wir uns ein rechtwinkliges Dreieck an:

Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Die Seite, die gegenüber von einem bestimmten Winkel liegt, heißt Gegenkathete und die Seite, die an einem bestimmten Winkel anliegt, heißt Ankathete.

Je nachdem, welche Seite und welcher Winkel gegeben ist, kannst du mit den folgenden Winkelfunktionen die fehlende Winkelgröße berechnen:

\( sin (\alpha) = \frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} \\  cos (\alpha) = \frac {Ankathete}{Hypotenuse} \\ tan (\alpha) = \frac {Gegenkathete}{Ankathete} \\ \)
Beispiel:

Sei \(\alpha = 30° \) und \( a = 2cm\). Berechne die fehlenden Seiten des Dreiecks:

Die Seite a ist die Gegenkathete zum Winkel \( \alpha \). Das heißt, du musst nur noch die Ankathete und die Hypotenuse berechnen. Um die Hypotenuse b zu bestimmen, kannst du die Sinusfunktion verwenden:

\(sin(\alpha) = \frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} \\sin(30°) = 0,5 = \frac {2cm}{b} \\b= \frac {2cm}{0,5} = 4cm \\ \)

Sinussatz und Cosinussatz

Dreieck: Sinussatz und Cosinussatz

Um die trigonometrischen Funktionen anwenden zu können, war ein rechtwinkliges Dreieck notwendig. Der Sinus– und Cosinussatz gilt nicht nur für rechtwinklige Dreiecke, sondern für alle Dreiecke:

Sinus- und Cosinussatz: \( \frac{sin(\alpha)}{a} = \frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\gamma)}{c} \)

 

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Winkelberechnung mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Berechne jeweils die fehlenden Winkel der folgenden Figuren:

  1. Dreieck: \( \alpha = 30°, \beta = 90° \)
  2. Dreieck: \( a = 2cm, c = 5cm, \beta = 90° \)
  3. Dreieck: \( a = 5 cm, b = 5 cm, \gamma= 90 ° \)
  4. Dreieck: \( \beta = 100°, \gamma = 50° \)
  5. Viereck: \( \alpha = 20°, \beta=100°, \gamma=50° \)
  6. Viereck: \( \alpha = 110°, \beta= 90°, \gamma = 40° \)
  7. Fünfeck: \( \alpha = 66°, \beta=, 38° \gamma=108°, \delta= 234° \)
  8. Fünfeck: \( \alpha =74°, \beta=145°, \gamma=94°, \delta=62° \)
  9. Sechseck: \( \alpha =70°, \beta=136°, \gamma=197°, \delta=132°, \epsilon =55° \)
  10. Sechseck: \( \alpha =165°, \beta=176°, \gamma=66°, \delta=97°, \epsilon =157° \)
Lösungen
  1. \( \gamma = 60° \)
  2. \( \alpha =21,8° , \gamma = 68,2° \)
  3. \( \alpha= 45°, \beta=45°\)
  4. \( \alpha= 30°, \)
  5. \( \delta= 190° \)
  6. \( \delta= 120° \)
  7. \( \epsilon = 94° \)
  8. \( \epsilon = 165° \)
  9. \( \zeta = 130° \)
  10. \( \zeta = 59° \)  
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