Wurzel ableiten

Kapitel aktualisiert am 05.11.2018

In diesem Kapitel behandeln wir das Thema Wurzel ableiten als Teil der Differentialrechnung im Bereich der Analysis. Wir zeigen dir, wie du Wurzelfunktionen ableiten kannst, veranschaulichende Beispiele sowie Aufgaben zum Lernen und deren zugehörige Lösungen.

Ableitung einer Wurzel

Die Ableitung der Wurzel zweiten Grades von x lautet:

Wurzel zweiten Grades
\( f(x) = \sqrt{x} \qquad \rightarrow \qquad f’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Für Wurzelfunktionen beliebigen Grades kannst du die Potenzschreibweise für Wurzeln nutzen:

Wurzel beliebigen Grades
\( f(x) = \sqrt[m]{x^n} = x^\frac{n}{m} \qquad \rightarrow \qquad f’(x) = \frac{n}{m} \cdot x^{\frac{n}{m}-1} \)

Tipp: Wenn unter der Wurzel nicht nur eine Potenz von x steht, sondern eine längere „innere Funktion“, sollest du für die Ableitung die Kettenregel verwenden, da die Wurzelfunktion oft als „äußere Funktion“ bei Anwendungsaufgaben der Kettenregel verwendet wird.

Beispiele

1. Beispiel:

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x+1} \)

Hier solltest du die Kettenregel verwenden: \( f(x) = u(v(x)) \rightarrow f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x))\)

Äußere Funktion: \( u(x) = \sqrt{x} \qquad \rightarrow \qquad u’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Innere Funktion: \( v(x) = 2x+1 \qquad \rightarrow \qquad v‘(x)=2 \)

Durch Einsetzen in die Kettenregel ergibt sich die Ableitung: \( f‘(x) = v‘(x) \cdot u‘(v(x)) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \)

2. Beispiel:

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion: \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \)

Hier solltest du die Potenzschreibweise verwenden: \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^\frac{2}{3} \qquad \rightarrow \qquad f’(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{-1}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}  \)

Alles verstanden? Jetzt bist du an der Reihe: Wir haben 10 Aufgaben zur Ableitung von Wurzeln mit Lösungen für dich:

Aufgaben & Lösungen

Aufgaben

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen:

  1. \( f(x) = \sqrt{x^3} \)
  2. \( f(x) = \sqrt[3]{x} \)
  3. \( f(x) = \sqrt{2x{-3}} \)
  4. \( f(x) = \sqrt[4]{x^5} \)
  5. \( f(x) = \sqrt{9x^3} \)
  6. \( f(x) = \sqrt{x^3-1} \)
  7. \( f(x) = \sqrt{z} \)
  8. \( f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \)
  9. \( f(x) = \sqrt{7x^3+2}\)
  10. \( f(x) = \sqrt{2} \cdot x \)
Lösungen
  1. \( f‘(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} \)
  2. \( f‘(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)
  3. \( f‘(x) = \frac{-3}{x^4\sqrt{x^3}} \)
  4. \( f‘(x) = \frac{5}{4} \cdot \sqrt[4]{x} \)
  5. \( f‘(x) = \frac{9\sqrt{x}}{2} \)
  6. \( f‘(x) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3-1}} \)
  7. \( f‘(x) = 0 \)
  8. \( f‘(x) = 1 \)
  9. \( f‘(x) = \frac{21x^2}{2\sqrt{7x^3+2}} \)
  10. \( f’(x) = \sqrt{2}   \)
Hat dir die Erklärung weitergeholfen?
[Bewertungen: 0 Durchschnitt: 0]
Weitere Themen aus diesem Bereich:
We will be happy to hear your thoughts

Hast du eine Anmerkung, Frage oder einen Verbesserungsvorschlag zum Thema? Wir antworten – versprochen!

Pirabel